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2014高考数学(新人教A版)大一轮复习特训:第6章 不等式、推理与证明第6讲 Word版含解析



第六章

第6讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 徐州检测] 析法证明:欲使①A>B,只需②C<D,这里①是②的( A. 充分条件 C. 充要条件 答案:B 解析:分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立,即②?①,所以①是②的必要条 件. 2. 设 a=lg2+lg5,b=ex(x&l

t;0),则 a 与 b 大小关系为( A. a>b C. a=b 答案:A 解析:∵a=lg2+lg5=lg10=1, 而 b=ex<e0=1,故 a>b. 3. [2013· 南宁质检]要证 a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明(
4

)用分

B. 必要条件 D. 既不充分也不必要条件

)

B. a<b D. a≤b

)

A. 2ab-1-a b ≤0 C. ?a+b?2 -1-a2b2≤0 2

2 2

a +b4 B. a +b -1- ≤0 2
2 2

D. (a2-1)(b2-1)≥0

答案:D 解析:因为 a2+b2-1-a2b2≤0,所以(a2-1)(b2-1)≥0,故选 D. 4. [2013· 长宁检测]用反证法证明命题“若 sinθ 1-cos2θ+cosθ· 1-sin2θ=1,则 sinθ≥0 且 cosθ≥0”时,下列假设的结论正确的是( A. sinθ≥0 或 cosθ≥0 C. sinθ<0 或 cosθ<0 答案:C 解析:由题意,考虑 sinθ≥0 且 cosθ≥0 的否定,由于 sinθ≥0 且 cosθ≥0 表示 sinθ,cosθ 大于等于 0 都成立,故其否定为 sinθ,cosθ 不都大于等于 0,选 C. 5. [2013· 青岛模拟]若 a、b、c 是不全相等的正数,给出下列判断 ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a>b 与 a<b 及 a=b 中至少有一个成立; ) B. sinθ<0 且 cosθ<0 D. sinθ>0 且 cosθ>0

③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立. 其中判断正确的个数是( A. 0 C. 2 答案:C 解析:①②正确,选 C 项. 1 1 1 6. [2013· 兰州调研]设 x、y、z>0,a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a、b、c 三数( y z x A. 至少有一个不大于 2 C. 至少有一个不小于 2 答案:C 解析:假设 a、b、c 都小于 2,则 a+b+c<6. 1 1 1 而事实上 a+b+c=x+ +y+ +z+ ≥2+2+2=6 与假设矛盾, x y z ∴a,b,c 中至少有一个不小于 2. 二、填空题 7. 用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于 60° ”时,假设应该是 ________. 答案:三角形的三个内角都大于 60° 8. [2013· 保定模拟]若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4,a≥0,则 P、Q 的大小关系是 ________. 答案:P<Q 解析:分析法,要证 P<Q,需证 P2<Q2 即可. 9. [2013· 陕西模拟]在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,则 a5 与 b5 的大小关系为________. 答案:a5>b5 解析:设公比为 q,公差为 d. 则 a3=a1q2,b3=b1+2d=a1+2d, 由 a3=b3, ∴2d=a1(q2-1), 又∵a1≠a3, ∴q2≠1. ∴a5-b5=a1q4-(a1+4d)=a1(q2-1)2>0, ∴a5>b5. 三、解答题 B. 都小于 2 D. 都大于 2 ) ) B. 1 D. 3

bc ac ab 10. 设 a,b,c 都是正数,求证: + + ≥a+b+c. a b c bc ca ab 证明:∵a,b,c 都是正数,∴ , , 都是正数. a b c bc ca ∴ + ≥2c,当且仅当 a=b 时等号成立, a b ca ab + ≥2a,当且仅当 b=c 时等号成立, b c ab bc + ≥2b,当且仅当 a=c 时等号成立. c a bc ca ab 三式相加,得 2( + + )≥2(a+b+c), a b c bc ca ab 即 + + ≥a+b+c. a b c 当且仅当 a=b=c 时等号成立. 1 1 1 11. 已知 a>0, - >1,求证: 1+a> . b a 1-b 1 1 1 证明:由已知 - >1 及 a>0 可知 0<b<1,要证 1+a> , b a 1-b 只需证 1+a· 1-b>1, 只需证 1+a-b-ab>1, a-b 只需证 a-b-ab>0 即 >1, ab 1 1 即 - >1,这是已知条件,所以原不等式得证. b a x-2 12. [2013· 南京联考]已知函数 f(x)=ax+ (a>1). x+1 (1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. 证明:(1)任取 x1,x2∈(-1,+∞),不妨设 x1<x2, 由于 a>1,ax1<ax2,∴ax2-ax1>0 又∵x1+1>0,x2+1>0, ∴ = = x2-2 x1-2 - x2+1 x1+1 ?x2-2??x1+1?-?x1-2??x2+1? ?x1+1??x2+1? 3?x2-x1? >0, ?x1+1??x2+1? x2-2 x1-2 - >0, x2+1 x1+1

于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+

即 f(x2)>f(x1), 故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. x0-2 (2)法一:假设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,则 ax0=- . x0+1 ∵a>1, ∴0<ax0<1. x0-2 1 ∴0<- <1,即 <x0<2,与假设 x0<0 相矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根. 2 x0+1 法二:假设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0, ①若-1<x0<0, 则 x0-2 <-2,0<ax0<1, x0+1

∴f(x0)<-1,与 f(x0)=0 矛盾. x0-2 ②若 x0<-1,则 >0,1>ax0>0, x0+1 ∴f(x0)>0,与 f(x0)=0 矛盾, 故方程 f(x)=0 没有负数根.



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