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2013届高三数学二轮复习三角函数和解三角形学案


高三数学二轮复习三角函数和解三角形学案
考纲解读: 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三 角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

? ?? , ? ? ? 的正弦、余弦、正切的诱导公式; 2 sin x 2 2 理解同角的三角函数的基本关系式:sin x+cos x=1, ? tan x . cos x
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 3.能画出 y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数, 余弦函数在区间[0,2 ? ]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与 x 轴的交点等),理解正 切函数在区间(-

? ? , )内的单调性. 2 2

4.了解函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的物理意义;能画出 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象,了解

A, ? , ? 对函数图象变化的影响.
5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差 的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、 余弦、 正切公式, 了解它们的内在联系; 能运用上述公式进行简单的恒等变换 知识网络构建:

重点知识整合: 一、三角恒等变换与三角函数 1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想: sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? , sin ? cos ? 三者中,知一可求二;

1

2. 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的问题: (1)“五点法”画图:分别令 ? x ? ? ? 0 、

? 3? 、? 、 、 2? ,求出五个特殊点; 2 2

(2)给出 y ? A sin(? x ? ? ) 的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是 ? ,一般从“五 点法”中取靠近 y 轴较近的已知点代入突破;

二、解三角形 1.正弦定理 已知在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A、B、C 的对边,则 = = =2R(R 为 sinA sinB sinC 三角形外接圆的半径). 2.余弦定理 已知在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A、B、C 的对边,则 a =b +c -2bccosA,cosA =
2 2 2

a

b

c

b2+c2-a2 ,另外两个同样. 2bc
3.面积公式 已知在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A、B、C 的对边,则

2

1 (1)三角形的面积等于底乘以高的 ; 2 1 1 1 abc (2)S= abs inC= bcsinA= acsinB= (其中 R 为该三角形外接圆的半径); 2 2 2 4R 1 (3)若三角形内切圆 的半径是 r,则三角形的面积 S= (a+b+c)r; 2 考点突破: 考点一 三角函数的概念、诱导公式

1.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 2.对于形如 2kπ +α (k∈Z),-α ,π ±α ,2π -α 的三角函数值,等于角 α 的同 名三角函数值,前面加上一个将角 α 看成锐角时,原函数值的符号;对于形如 π 3π ±α , 2 2

±α 的三角函数值,等于角 α 的余名三角函数值,前面加上一个将角 α 看成锐角时,原 函数值的符号. 例 1、已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴.若 P(4,y)是角 θ 终边上 2 5 一点,且 sinθ =- ,则 y=_______ 5 变式探究:已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若

p ? 4, y ?

是角 ? 终边

sin ? ? ?
上一点,且

2 5 5 ,则 y=_______.

【方法技巧】1.用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单; 2.同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用,应 注意正确选择公式、注意公式的应用条件. 考点二 三角函数的性质

三角函数的单调区间:

y=sinx 的递增区间是[2kπ - ,2kπ + ](k∈Z),递减区间是[2kπ + ,2kπ +
3π ](k∈Z); 2

π 2

π 2

π 2

y=cosx 的递增区间是[2kπ -π ,2kπ ](k∈Z),
递减区间是[2kπ ,2kπ +π ](k∈Z);

y=tanx 的递增区间是(kπ - ,kπ + )(k∈Z).
例 2、 (1)已知 a=(sinx,-cosx),b=(cosx, 3cosx),函数 f(x)=a?b+
3

π 2

π 2

3 . 2

(1)求 f(x)的最小正周期,并求其图像对称中心与递增区间; π (2)当 0≤x≤ 时,求函数 f(x)的值域. 2

(2) (10 重庆文)下列函数中,周期为 ? ,且在 [ A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin( x ?

? ?

, ] 上为减函数的是 4 2

?
2 )

)

B. y ? cos(2 x ? D. y ? cos( x ?

?
2

)

?

?

2

变式:已知函数

f ( x) ? 2a sin x cos x ? 2b cos2 x ,且 f (0) ? 8, f ( ) ? 12 .学
6

) 2 ?

(1)求实数 a , b 的值; (2)求函数 f (x) 的最大值及取得最大值时 x 的值.学

【方法技巧】求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是在 定义域内,将三角函数式化为 y=Asin(ω x+φ )+B 的形式,然后再求解.

4

π 例 3、 (1)已知函数 f(x)=Atan(ω x+φ )(ω >0,|φ |< ),y=f(x)的部分图像如 图, 2

π 则 f( )=( 24 A.2+ 3

) B. 3 C. 3 3 D.2- 3

(2)要得到函数 y=cos(2x+ ( ) π A.向左平移 个单位 8 π C.向右平移 个单位 3

π 1 3 )的图象,只需将函数 y= sin2x+ cos2x 的图象 3 2 2

π B.向右平移 个单位 2 π D.向左平移 个单位 4

【点评】 (1)根据函数图象求函数的解析式,主要是根据函数的图象发现函数的性质, 如周期性、对称性、特殊点等,然后根据这些性质求出函数解析式中的未知数,在本题中的 π 函数 y=Atan(ω x+φ )的最小正周期是 ,注意这是近几年来考查的为数不多的一个正 |ω | 切型函数;(2)在进行三角函数的图象变换时,要把需要变换的两个函数化为同一种类型的

5

函数,再根据两个函数解析式的差别确定变换方法. 【变式探究】 已知函数 f1(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< (0,1),如图所示. π )的一段图像经过点 2

(1)求 f1(x)的表达式; π (2)将函数 f1(x)的图像向右平移 个单位长度得到函数 f2(x)的图像, y=f1(x)+f2(x) 求 4 的最大值,并求出此时自变量 x 的集合.

考点四 三角变换及求值 三角函数求值有以下类型: (1)“给角求值”,即在不查表的前提下,通过三角恒等变 换求三角函数式的值; (2)“给值求值”,即给出一些三角函数值,求与之有关的 其他三角函数式的值; (3)“给值求角”,即给出三角函数值,求符合条件的角. π π π 1 π β 3 例 4: (1)若 0<α < ,- <β <0,cos( +α )= ,cos( - )= ,则 cos 2 2 4 3 4 2 3 β (α + )=( 2 A. 3 3 ) B.- 3 3 5 3 C. 9 D.- 6 9

6

1 cos2α ? π? (2)已知 sinα = +cosα ,且 α ∈?0, ?,则 的值为________. 2? 2 ? ?α -π ? sin? 4? ? ? 【点评】 在进行三角恒等变换时,一个重要的技巧是进行角的变换,把求解的角用已知角 π 表示出来,把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来,常见的角的变换有,把 2

?π ? +2α 变换成 2? +α ?,α =(α +β )-β =(α -β )+β ,2α =(α +β )+(α -β ), ?4 ?
2α = (β +α )-(β -α ),α +β =2? β ? ?α α +β α +β ? , =?α - ?-? -β 2? ?2 2 2 ?

?等;在进行三角 ? ?

函数化简或者求值时,如果求解目标较为复杂,则首先要变换这个求解目标,使之简化,以 便看出如何使用已知条件. 1 π 【变式探究】:(1)已知函数 f(x)=2sin( x- ),x∈R. 3 6 (1)求 f (0)的值; π π 10 6 (2)设 α ,β ∈[0, ],f(3α + )= ,f(3β +2π )= . 2 2 13 5 求 sin(α +β )的值.

11 4 3 π π (2)已知:cos(2α -β )=- ,sin(α -2β )= ,0<β < <α < ,则 α +β 14 7 4 2 的值为________. 考点五 正、余弦定理的应用

解三角形的一般方法是: (1)已知两角和一边,如已知 A、B 和 c,由 A+B+C=π 求 C, 由正弦定理求 a、b. (2)已知两边和这两边的夹角,如已知 a、b 和 C,应先用余弦 定理求 c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用 A+B+C=π 求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角,如已知 a、b 和 A,应先用 正弦定理求 B,由 A+B+C=π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c,要注意解可能有
7

多种情况. (4)已知三边 a、b、c,可应用余弦定理求 A、B、C. π 1 例 5、 (1) (1)在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sinA= ,则 a=________. 4 3 (2)在△ABC 中,sin A≤sin B+sin C-sinBsinC,则 A 的取值范围是(
2 2 2

)

? π? A?0, ? 6? ?

?π ? B.? ,π ? ?6 ?

? π? C.?0, ? 3? ?

D.?

?π ,π ? ? ?3 ?

(3)△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 lga-lgb=lgcosB-lgcosA≠0. (1)判断△ABC 的形状; (2)设向量 m=(2a,b),n=(a,-3b),且 m⊥n,(m+n)?(-m+n)=14,求 a,b,

c.

变式探究:

8

cosA-2cosC 2c-a 3 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cosB b sinC (1)求 的值; sinA 1 (2)若 cosB= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4

考点 六

解三角形与实际应用问题

在实际生活中, 测量底部不可到达的建筑物的高度、 不可到达的两点的距离及航行中的 方位角等问题,都可通过解三角形解决. 例 6、如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点.现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且 与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援 船到达 D 点需要多长时间?

【方 法技巧】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步 (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语, 如坡度、仰角、俯角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等 有关知识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义, 对结果进行取舍,得出正确答案 【历届高考真题】 1(10 全国卷Ⅰ文) cos300? ?
9

A. ?

3 2

B.-

1 2

C.

1 2

D.

3 2

2.(10 全国卷Ⅱ文)已知 sin ? ? A. ?

2 ,则 cos( x ? 2? ) ? 3
1 9
?

5 3

B. ?

1 9

C.

D.

5 3
)

3.(10 福建文)计算 1 ? 2sin 22.5 的结果等于(

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3
2

D.

3 2


4. (10 浙江文)函数 f ( x) ? sin (2 x ? 5.为得到函数 y ? cos ? 2 x ? A.向左平移

?
4

) 的最小正周期是

? ?

π? ? 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象 3?

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
2

5π 个长度单位学 12 5π D.向右平移 个长度单位学 6
B.向右平移 。

6.(09 上海文)函数 f ( x) ? 2cos x ? sin 2 x 的最小值是 7.(10 江西文)函数 y ? sin x ? sin x ?1 的值域为(
2

) D. ? ?1,

8.A. ? ?1,1? 科网

B. ? ?

? 5 ? , ?1? ? 4 ?

C. ? ?

? 5 ? ,1? ? 4 ?

? ?

5 ? , 4 ? ?

8.(11 浙江文)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的 边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则
2 sin A cosA ? cos B ? (



1 C. -1 D. 1 2 9.(10 上海文)若△ ABC 的三个内角满足 sin A :sin B :sin C ? 5:11:13 则△ ABC ( )
A. B. A.一定是锐角三角形. C.一定是钝角三角形. B.一定是直角三角形. D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

1 2

10.(2010 山东文)在 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a ?

2,

b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为
11.(2010 年 宁 夏 卷 文 科 16) 在 ? ABC 中 , D
10

. 为 BC 边 上 一 点 ,

BC ? 3BD , AD ? 2 , ?ADB ? 135? .若 AC ? 2 AB ,则 BD=_____
12. ( 2010 年 全 国 Ⅰ 卷 文 科 14 ) 已 知 ? 为 第 二 象 限 的 角 , sina ?

3 , 则 tan 2? ? 5

. 13.(2010 年全国卷Ⅱ文科 13)已知α 是第二象限的角,tanα =1/2,则 cosα =__________

14. ( 2011 年 北 京 高 考 9 ) 在 ? ABC 中 , 若 .

b ? 5 ,?B ?

?
4

, s An i ?

1 3 , 则 a?

15.(2011 年浙江高考 5).在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,
2 则 sin A cos A ? cos B ? ( )

1 (A)- 2

1 (B) 2

(C) -1

(D) 1

? 16. (2011 年全国卷 1 高考 7) 设函数 f ( x) ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像向右平移 3 将
个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于

1 (A) 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

17.(2011 全国卷) ,设函数

π π (A)y= f (x) 在(0, 2 )单调递增,其图像关于直线 x = 4 对称 π π (B)y=f (x) 在(0, 2 )单调递增,其图像关于直线 x = 2 对称 π π (C)y= f (x) 在(0, 2 )单调递减,其图像关于直线 x = 4 对称 π π (D)y= f (x) 在(0, 2 )单调递减,其图像关于直线 x = 2 对称
2 2 2 18. (2011 四川高考 8)在△ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围


(0, ] (A) 6

?

[ ,? ) (B) 6

?

(0, ] (C) 3

?

[ ,? ) (D) 3

?

11

19. 09 重庆文) ( 设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos ? x(? ? 0) 的最小正周期为
2 2

(Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移

2? . 3

? 个单位长度得到,求 2

y ? g ( x) 的单调增区间.

20.(2009 浙江文)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

A 2 5 ? , 2 5

??? ???? ? AB ? AC ? 3 .
(I)求 ?ABC 的面积; (II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

f ( x) ? 4cos x sin( x ? ) ? 1. 6 21.(2011 年北京高考 17)已知函数
(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;

?

? ? ?? ?? , ? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? 6 4 ? 上的最大值和最小值。

22.(2011 年北京高考 17)已知函数 f ( x) ? 4cos x sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?

?
6

) ? 1.

? ? ?? , 上的最大值和最小值。 ? 6 4? ?

12

23. ( 2011 年 浙 江 高 考 18 ) 已 知 函 数 f ( x) ? A sin ( x ? ? ) , x ? R , A ? 0 , 3
0 ?? ?

?

?

2

. y ? f ( x) 的部分图像,如图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点和最

低点,点 P 的坐标为 (1, A) .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及 ? 的值; (Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1, 0) , ?PRQ ?
2? ,求 A 的值. 3

24. ( 2011 年山 东高考 17 ) 在 ?ABC 中,内 角 A, B, C 的对 边分 别为 a, b, c , 已知

cos A ? 2cos C 2c ? a , ? cos B b sin C 1 (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S。 sin A 4

25.(2011 年安徽高考 16)在 ? ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3 , b= 2 , 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,求边 BC 上的高.

13

26. (2011 年 全国卷 高考 18 )△ ABC 的内角 A、 B、 C 的对 边分别 为 a、 b、 c.己 知

a sin A? c sin ? C
(Ⅰ)求 B;

2 sin ? b sin a C B .

(Ⅱ)若 A ? 75 , b ? 2, 求a,c .
0

27. ( 2011 年 湖 南 高 考 17 ) 在 ? ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c 且 满 足

c sin A ? a cos C. (I)求角 C 的大小;
(II)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

28. (2011 年广东高考 16)已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求 f (

5? ) 的值; 4
14

1 3

?
6

) , x? R .

(2)设 ? , ? ? ?0,

? 10 6 ? ?? ? , f (3? ? 2 ) ? 13 , f (3? ? 2? ) ? 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2?

29. (2011 年广东高考 18)已知函数 f ( x) ? sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最小值;
4 5 4 5

7? 3? ) ? cos( x ? ) ,x ? R. 4 4

(Ⅱ) 已知 cos(? ? ? ) ? ,cos(? ? ? ) ? ? ,0 ? ? ? ? ?

?
2

. 求证: f (? )]2 ? 2 ? 0 . [

30.(2011 年江苏高考 17)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin(A ?
) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

?

31.(2011 年辽宁高考 17) △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2 a。

15

(I)求

b ; (II)若 c2=b2+ 3 a2,求 B。 a

32. (2011 年湖北高考 17)设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知

1 a? ,b?2 o C? 1 ,c s 4 (I) 求 ?ABC 的周长;
(II)求 cos(A?C 的值。 )

33. ( 2011 年浙江高考 18)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知

cos 2C ? ?

1 4

(I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

16


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