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《8.2.3 椭圆的简单几何性质》.


一.基础知识复习:
1、椭圆的定义: ①第一定义 | MF | ? | MF |? 2a  ? c ? 0) (a 1 2

| MF | c ? ? e  为M点到相应准线的距离 ,0 ? e ? 1) (d ②第二定义 d a

2、a、b、c、e 2 的意义及关系 a 3、性质:

c ? b ? c , e ? (0 ? e ? 1) a
2 2
②对称性 ④离心率

①范围 ③顶点 ⑤准线方程

4、焦半径公式: x y ? 2 ?1 2 (a>b>0)左焦点为F1,右焦点为F2, a b a+ex0 a-ex0 P0(x0,y0)为椭圆上一点,则|PF1|=________,|PF2|=________。
2 2

y 2 x2 ? 2 ?1 2 (a>b>0)下焦点为F1,上焦点为F2, a b a+ey0 a-ey0 P0(x0,y0)为椭圆上一点,则|PF1|=________,|PF2|=________。
y
N1 K1 P

y

B2
O F2

N2
N2

P

F2

A1

F1

A2

K2

x

O
F1

x

B1
N1

5.利用焦半径公式,解下列各题:
①已知椭圆16x2+25y2=400,点M(4,y0)在椭圆上,则 M到两焦点的距离分别是_____. 13 37 ① 和
5 5

②在椭圆5x2+4y2=20上求一点P,使它到下焦点的距 离是它到上焦点距离的两倍.

4 5 ② P( ? , ) 3 3

③P是椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)上的点,F1、F2 为椭圆的两个焦点,求|PF1|. |PF2|的取值范围.

③  , a ] [b
2 2

二. 椭圆的参数方程
回顾 圆的参数方程及参数的几何意义

x2 y 2 1. 对于 2 ? 2 ? 1,能否进行三角换元? a b ? x ? acos? (?为参数)叫做椭圆的参数方程. 2. 方程 ? ? y ? bsin ?
3. 参数φ的几何意义

例1 如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0)为半径作两 个大圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作 AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时,点M的轨迹的参数方程。
解:设M(x,y), φ是以Ox为始 边,OA为终边的正角。 X=ON=|OA|cosφ y=NM=|OB|sinφ
O

y B ? A M N x

? x ? acosφ ? ? y ? bsinφ

练习2 1. 将下列参数方程化为普通方程,普通方程化 为参数方程: ?x ? 8cos? ?x ? 3cos? (2)? (0 ? ? ? ? ) (1)? (?为参数 ) ? ?y ? 6sin ? ?y ? 2sin 2 2 2 y x y 2 (4) x ? ? 1 (x ? 0) (3) ? ?1 16 4 9 2 2 2 2 x y x y (2) ? ? 1 (y ? 0) (1) ? ?1 64 36 9 4 ? x ? cos? ? ? ? x ? 2cos? (? ? ? ? ) (3)? (?为参数) (4)? 2 ? y ? 4sin? 2 ? y ? 3sin?

例2. 已知椭圆E: 16x2+25y2=400, 点P(x,y)是椭圆上一 点。(1)求x2+y2的最值;(2)若四边形ABCD内接于椭圆E, 点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四边形ABCD的 最大面积。
C O y

B
A x

(1) 25, 16

( 2) 20 2

D

? x ? acos? (?为参数) 小结:1。椭圆的参数方程 ? ? y ? bsin ?

例3.已知点P在圆C: x2+(y - 4)2=1上 移动,点Q在椭圆x2+4y2=4上移动,求 |PQ|最大值及相应的点Q的坐标。 6,Q(0, -1)

P

y C

P

O Q Q

x



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