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古典概率教案



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题:

10.2.3 随机事件的概率 (古典概型)

教学目的: 1 巩固等可能性事件及其概率的概念; 2.掌握排列组合的基本公式计算等可能性事件概率的基本方法与求解的一般步骤 教学重点:等可能性事件概率的定义和计算方法 教学难点:排列和组合知识的正

确运用 一、复习引入: 11 事件的定义:随机事件: 必然事件: 不可能事件:
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2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率

m 总是接近 n

某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P ( A) . 3.概率的确定方法: 通过进行大量的重复试验, 用这个事件发生的频率近似地作为它的概率; 4.概率的 性质:必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 ,随机事件的概率 为 ,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 0 ? P (A ) ? 1
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51 基本事件: 一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件 A )称为一个基本事件 例如:投掷硬币出现 2 种结果叫 2 个基本事件,通常试验中的某一事件 A 由几个基本 事件组成(例如:投掷一枚骰子出现正面是 3 的倍数这一事件由“正面是 3”“正面是 6” 、 这两个基本事件组成) . 6.等可能性事件: 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每个
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基本事件的概率都是

1 ,这种事件叫等可能性事件 n

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7.等可能性事件的概率: 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个, 而且所有结果都是等可能的, 如果事件 A 包含

m 个结果,那么事件 A 的概率 P ( A) ?

m . n

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8.等可能性事件的概率公式及一般求解方法 二、讲解范例: 例 1.在 100 件产品中,有 95 件合格品,5 件次品,从中任取 2 件,计算: (1)2 件都是合格品的概率; (2)2 件是次品的概率; (3)1 件是合格品,1 件是次品的概率
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解: (1)记事件 A1 ? “任取 2 件,2 件都是合格品” ,=∴2 件都是合格品的概率为

P( A1 ) ?

2 C95 893 . (2)记事件 A2 ? “任取 2 件,2 件都是次品” , ? 2 C100 990

∴2 件都是次品的概率为 P( A3 ) ?

C52 1 . ? 2 C100 495

(3)记事件 A3 ? “任取 2 件,1 件是合格品,1 件是次品”
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∴1 件是合格品,1 件是次品的概率 P( A3 ) ?

1 1 C95 ? C5 19 . ? 2 C100 198

例 2.7 名同学站成一排,计算: (1)甲不站正中间的概率; (2)甲、乙两人正好相邻的概率; (3)甲、乙两人不相邻的概率
6 6 ? A6 6 解: (1)甲不站正中间的概率 P( A) ? ? ; 7 A7 7 6 2 A6 ? A2 2 ? ; 7 A7 7

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(2)甲、乙两人正好相邻的概率 P( B) ?

(3)甲、乙两人不相邻的概率 P(C ) ?

5 2 A5 ? A6 5 ? . 7 A7 7

例 3.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共设有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断题 4 个,甲、乙二人依次各抽一题,计算: (1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? 解: (1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率 P( A) ?
1 1 C6 ? C4 4 ? ; 2 A10 15 2 1 1 1 1 A6 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 13 ? 2 A10 15

(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率 P( B) ?

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三、课堂练习: 1. n 封信投入 m 个信箱,其中 n 封信恰好投入同一个信箱大概率是(C )

( A)

1 mn

(B)

1 nm

(C )

1 m n ?1 1 10
(B)

( D)

1 n
m ?1

2.有 5 种不同的作物,从中选出 3 种分别种在 3 种不同土纸的试验小区内,其中甲、乙两 种作物不宜种在 1 号小区内的概率为(C ) ( A)

1 2

(C )

3 5

( D) 1
3.4 本不同的书分给 3 个人,每人至少分得 1 本的概率为 4. 在一次口试中, 要从 10 道题中随机抽出 3 道题进行回答, 答对了其中 2 道题就获得及格, 某考生会回答 10 道题中的 6 道题,那么他(她)获得及格的概率是多少? 5.在 80 件产品中,有 50 件一等品,20 件二等品,10 件三等品,从中任取 3 件,计算: ⑴3 件都是一等品的概率;⑵2 件是一等品、1 件是二等品的概率; ⑶一等品、二等品、三等品各有一件的概率 6.将骰子先后抛掷 2 次, (1)朝上一面数之和为 6 的概率是 ; (2)朝上一面数之和小于 5 的概率是
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3、

3 2 1 1 2 3 2 C4 P3 / 34 ? 4 / 9 4、 C4C6 ? C6 ? 2 5、. ⑴ C50 ? 245 ;⑵ C50C20 ? 1225 ;⑶ 3 3 3 3 3 C80 1027 C80 4108 C10 C10 3

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1 1 1 C50C20C10 125 ? 3 C80 1027

6、(1)

5 36

(2)

1 6



题:

l0.2.3 互斥事件有一个发生的概率
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教学目的: 1 掌握互斥事件的概念;2.掌握互斥事件概率的求法 教学重点:互斥事件的概率的求法 教学难点:互斥事件的概念 教学过程: 一、复习引入:等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结
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果都是等可能的,如果事件 A 包含 m 个结果,那么事件 A 的概率 P ( A) ?

m n

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二、讲解新课: 1.事件的和的意义 对于事件 A 和事件 B 是可以进行加法运算的 A+B 表示这样一个事件:在同一试验下,A 或 B 中至少有一个发生就表示它发生 例如抛掷一个六面分别标有数字 1、2、3、4、5、6 的 正方体玩具,如果掷出奇数点,记作事件 A;如果掷出的点数不大于 3,记作事件 B,那么 事件 A+B 就是表示掷出的点数为 1、2、3、5 当中的一个
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事件“ A1 ? A2 ? ? ? An ”表示这样一个事件,在同一试验中, A1 , A2 ,?, An 中至少有 一个发生即表示它发生 2 互斥事件的概念 不可能同时发生的个事件叫做互斥事件 在一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球 现 从盒中任意摸出一个球,我们把得到红球叫事件A,得到绿球叫事件B,得到黄球叫事件C 若摸出的球是红的,就说事件A发生了;若摸出的球是绿的,就说事件B发生了,若摸出 的球是黄的,就说事件C发生了 在摸球的时候,若A发生,则B一定不发生;若B发生, 则A也一定不发生 即A、B不可能同时发生 这种不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事 件 在上面的问题中,A和B是互斥事件,A和C也是互斥事件;B和C也是互斥事件 一般
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地:如果事件 A1 , A2 ,?, An 中的任何两个都是互斥的,那么就说事件 A1 , A2 ,?, An 彼此互斥 3.对立事件的概念:事件A和事件 B 必有一个发生的互斥事件. 从盒中任意摸出一个球,若摸出的球不是红的,即事件A没发生,记作 A 由于事件A
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和事件 A 不可能同时发生,它们是互斥事件 又由于摸出的一个球要么是红球,要么不是红
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球,即事件A和事件 A 必有一个发生 象这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件
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4.互斥事件的概率的求法 若 “从盒中任意摸出一个球,摸出的球是红的或是绿的”是一个事件,当摸出的球是 红球或绿球时,表示这个事件发生,我们把这个事件记作A+B,现在问:事件A+B的概 率是多少? 因为从盒中任摸1个球有10种可能, 而得到红球或绿球的方法有2+7种, 所以得到
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红球或绿球的概率: P(A+B) =
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7?2 7 2 另一方面: P(A)= , P(B)= 10 10 10

所以 P(A+B)=P(A)+P(B)

一般地:如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生(即A,B中有一个发生)的概 率,等于事件A,B分别发生的概率的和
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如果事件 A1 , A2 ,?, An 彼此互斥, 那么事件 A1 ? A2 ? ? ? An 发生 (即 A1 , A2 ,?, An 中 有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率的和,即 P( A ? A2 ? ? ? An ) = 1

P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )
由对立事件的意义: A+ A 是一个必然事件, 它的概率等于1, 又由于A与 A 互斥, 我们得到:P(A)+P( A )=P(A+ A )=1对立事件的概率的和等于1 同样 P( A )=1-P(A)

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三、讲解范例: 例 1、 在 20 件产品中,有 15 件一级品,5件二级品,从中任取3件,其中至少有1件为二 级品的概率是多少? 解法1

P( A1 ? A2 ? A3 ) = P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 )
1 2 15 5 3

CC P( A1 ? A2 ? A3 ) = P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) = C
20

? C 5 C15 ? 3

2

1

C

20

C C

3

5 3 20

?

137 228

解法2:

P( A )=1-P(A)=1-

91 137 ? 228 228

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四、课堂练习: 1.若 A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件,B 表示废品不少于两件的事件,试问对立 事件 A 、 B 各表示什么?

A 表示四件产品中没有废品的事件; B 表示四件产品中没有废

品或只有一件废品的事件. 2.一个射手进行一次射击,试判断下面四个事件 A、B、C、D 中有哪些是互斥事件? 事件 A: 命中的环数大于 8;?事件 B:命中的环数大于 5;事件 C:命中的环数小于 4;?事件 D: 命中的环数小于 6. 事件 A 与 C、事件 A 与 D、事件 B 与 C 分别为互斥事件 3.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲乙两队夺取冠军的概率分别是 试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率.(

3 1 和 . 7 4

19 ) 28

五、小结 :1.互斥事件,对立事件的概念;2. 3.互斥事件有一个发生的和概率公式: 4.对立事件的概率的和等于 1, 即:P(A)+P( A )=1 六、课后作业:
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七、板书设计(略)

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八、课后记:

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题:

l0.2.3 互斥事件有一个发生的概率
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教学目的: 掌握互斥事件概率的求法 教学重点:互斥事件的概率的求法 教学难点:互斥事件的概率的求法
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教学过程: 一、复习引入: 1.等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果都是等可 能的,如果事件 A 包含 m 个结果,那么事件 A 的概率 P ( A) ? 2
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m n

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互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件 一般地:如果事件
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A1 , A2 ,?, An 中的任何两个都是互斥的,那么就说事件 A1 , A2 ,?, An 彼此互斥
3.对立事件的概念:事件A和事件 B 必有一个发生的互斥事件. 4.互斥事件的概率的求法:如果事件 A1 , A2 ,?, An 彼此互斥,那么

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P( A1 ? A2 ? ? ? An ) = P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )

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二、讲解范例: 例 1.袋中有 5 个白球,3 个黑球,从中任意摸出 4 个,求下列事件发生的概率: (1)摸出 2 个或 3 个白球;(2)至少摸出 1 个白球;(3)至少摸出 1 个黑球.
4 解:从 8 个球中任意摸出 4 个共有 C8 种不同的结果.记从 8 个球中任取 4 个,其中恰有 1

个白球为事件 A1,恰有 2 个白球为事件 A2,3 个白球为事件 A3,4 个白球为事件 A4,恰有 i 个黑球为事件 Bi,则 (1)摸出 2 个或 3 个白球的概率?
2 2 C5 C3 C3C1 3 3 6 ? 4 ? 543 ? ? ? C8 C8 7 7 7 P1=P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)=

(2)至少摸出 1 个白球的概率 P2=1-P(B4)=1-0=1
4 C 5 13 (3)至少摸出 1 个黑球的概率?P3=1-P(A4)=1- 4 ? C 8 14

例 2.从男女学生共有 36 名的班级中,任意选出 2 名委员,任何人都有同样的当选机会.如 果选得同性委员的概率等于

1 ,求男女生相差几名? 2

解:设男生有 x 名,则女生有 36-x 名.选得 2 名委员都是男性的概率为

C2 C 2 ? x (36 ? x)(35 ? x) x( x ? 1) x 选得 2 名委员都是女性的概率为? 36 2 ? ? 2 36 ? 35 C36 36 ? 35 C 36
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以 上 两 种 选 法 是 互 斥 的 , 又 选 得 同 性 委 员 的 概 率 等 于

1 , 得 ? 2

x( x ? 1) (36 ? x)( 35 ? x) 1 ? ? 解得 x=15 或 x=21 ? 36 ? 35 36 ? 35 2
即男生有 15 名,女生有 36-15=21 名,或男生有 21 名,女生有 36-21=15 名. 总之,男女生相差 6 名 三、课堂练习: 1.回答下列问题:? (1)甲、乙两射手同时射击一目标,甲的命中率为 0.65,乙的命中率为 0.60,那么能否 得出结论:目标被命中的概率等于 0.65+0.60=1.25,为什么? (2)一射手命中靶的内圈的概率是 0.25, 命中靶的其余部分的概率是 0.50.那么能否得出 结论:目标被命中的概率等于 0.25+0.50=0.75,为什么??
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(3)两人各掷一枚硬币, “同时出现正面”的概率可以算得为 上述事件的对立事件,所以它的概率等于 12.战士甲射击一次,问:? (1)若事件 A(中靶)的概率为 0.95, A 的概率为多少??

1 .由于“不出现正面”是 22

1 3 = .这样做对吗?说明道理. 22 4

(2)若事件 B(中靶环数大于 5)的概率为 0.7,那么事件 C(中靶环数小于 6)的概率为多少?事 件 D(中靶环数大于 0 且小于 6)的概率是多少? 3.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品.在正常生产情况下出现乙级品和丙 级品的概率分别为 3%和 1%.求抽验一只是正品(甲级)的概率. 4.在放有 5 个红球、4 个黑球、3 个白球的袋中,任意取出 3 个球,分别求出 3 个全是同色 球的概率及全是异色球的概率. 5.某单位 36 人的血型类别是:A 型 12 人,B 型 10 人,AB 型 8 人,O 型 6 人.现从这 36 人中 任选 2 人,求此 2 人血型不同的概率. 6.在一只袋子中装有 7 个红玻璃球,3 个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次,每次只取 一个.试求: (1)取得两个红球的概率;? (2)取得两个绿球的概率;? (3)取得两个同颜色的球的概率;? (4)至少取得一个红球的概率.? 7.在房间里有 4 个人.问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少? 答案:1. (1)不能.因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥.? (2)能.因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件.? (3)不对.因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件,故其概率和不为 1. 2. (1)0.05 (2)P(C)=0.3 P(D)=0.25 3. 0.96
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4. 全是同色球的概率为 5.

34 45

3 3 ,全是异色球的概率为 44 11 7 1 8 14 6. (1) (2) (3) (4) ) 15 15 15 15
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7.

41 96

四、小结 :互斥事件概率的求法

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五、课后作业:

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