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四川省成都七中2012-2013学年高二下学期入学考试数学(理)试题



成都七中 2012-2013 学年下期 2014 级入学考试数学试卷(理科)
考试时间:120 分钟 总分:150 分
命题人:巢中俊 审题人:张世永 一、选择题(每小题 5 分,共 75 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.)
n 1.已知 Cn ?2 ? 21, 则 n ? (

) (B) 6 (C) 7 )

个. (D) 15 (D) 8

(A) 5

2.从 0, 2,3, 4,6,12 六个数中任取两个不同数作积,则不同的积有( (A) 7
2 2

(B) 9

(C) 11 )

3.已知椭圆的方程为 (A)

x y ? ? 1 ,则此椭圆的离心率为( 9 5
(B)

5 4 (C) 3 9 4.某校高二年级 15 个班参加成都市调研考试的参考人数的茎叶图 如图,则这组数据的中位数和众数分别是( ) 51 和 51 51 和 52 52 和 51 (A) (B) (C) (D) 52 和 52

2 3

(D)

5 9

4 4 7 2 9 5 1 6 3 1 2 1 2 8 6 2 5 2

5.在四面体 ABCD 中, E , F 分别是 AB, CD 的中点,若 AC ? BD ,且 AC ? 4, BD ? 3, 则 EF ? ( ) (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2.5 x2 y2 ? ? 1 的一个焦点坐标是( 6.双曲线 ) 4 12 S=0 (A) (0,8) (B) (?2 2,0) i=1 DO (C) (0, 2 3) (D) (?4, 0) S=S+1/(SQR(i)+SQR(i+1)) 7.右侧的程序执行后的结果是( ) i=i+1 9 (A) (B) 9 LOOP UNTIL i>99 10 PRINT S 10 (C) 10 (D) END

9

8.在面积为 S 的 ?ABC 内部任取一点 P ,则 ?PBC 的面积大于 (A)
3

3S 的概率是( 4

) (D)

1 16

(B)

1 4
)

(C)

3 4

9 16

9. ( x ?

2 5 ) 展开式中的常数项为( x (A) ?40 (B) 40

(C) ?10

(D)10

10.如图,在直三棱柱 ABC ? A B C 中, AB ? AC , AB ? AC ? 1 1 1

1 AA1 , D 是 AA1 的中点,则 2

BC1 与平面 BCD 所成的角正弦值为(

)

第 1 页 共 4 页

A1

C1

7 3 14 (C) 2
(A)

14 7 2 (D) 3
(B)

B1

D

A B

C

11.五个不同的元素 ai (i ? 1, 2,3, 4,5)排成一列,规定 a1 不许排第一, a2 不许排第二,则不同的 排法种数为( ) (A) 48 (B) 78 (C) 96 (D) 108 12.四边形 ABCD 是正方形, MD ? 平面 ABCD , NB ? 平面 ABCD ,且 MD ? NB ? AB. 则二面角 A ? MN ? C 的余弦值为( ) (A) (C)

6 3
1 3

(B) ?

6 3 1 (D) ? 3

13.欢乐斗地主是一款 QQ 游戏,其规则:两名农民为一方合作对战一名地主,使用一副共 54 张的扑克牌,每人 17 张牌,剩余的 3 张归地主,只要有一人出完手中的牌,则此盘游戏结束.地主 最先出完牌,则地主一方赢;两农民中的任何一人最先出完牌,则农民一方赢.输赢用欢乐豆结 算: (1)欢乐豆不足 2000 的人不能当地主. (2)若农民一方赢,则两农民都赢地主 1000 欢乐豆.若地主一方赢,则两农民都输 1000 欢乐豆 给地主(欢乐豆不足 1000 的农民,则把所有欢乐豆都输给地主).甲乙丙三人玩欢乐斗地主,已 1 知甲当地主时,最先出完牌的概率为 , 甲当农民时(不管谁当地主)最先出完牌的概率都为 2
7 13 1 ; 乙当地主时,最先出完牌的概率为 , 乙当农民时(不管谁当地主)最先出完牌的概率为 . 30 30 6

现正进行的一盘游戏,甲丙的欢乐豆都不少于 2000,乙的欢乐豆只有 500,在甲乙丙三人斗地主 的技术和牌运都不发生变化的前提下,抢不抢地主当?甲丙如何选择?( ) (A)甲不抢地主当丙抢地主当 (C)甲丙都抢地主当 14.设点 F1 是椭圆 是( ) (A) 6 (B) 12 (C) 3 3
2

(B)甲抢地主当丙不抢地主当 (D)甲丙都不抢地主当,结束游戏

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,弦 AB 过椭圆的右焦点,则 ?F1 AB 的面积的最大值 12 3
(D) 6 3 ) (D) 3

15.已知 xi ?[0,10]( i ?1,2, ?,10), x1 , x2 ,?, x10 的平均数为 7.5 ,当 ( x1 ?10) ? ( x2 ?10)2 ? ??

( x10 ?10)2 取得最大值时, x1 , x2 ,?, x10 这十个数中等于 0 的数的个数为(
(A) 0 (B) 1 (C) 2

第 2 页 共 4 页

成都七中 2012-2013 学年下期 2014 级入学考试数学试卷(理科)答题卷
二、填空题(每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.) 16.乘积 (a1 ? a2 ? ? ? a6 )(b1 ? b2 ? ?? b7 )(c1 ? c2 ? ?? c5 ) 展开后,共有 项.

17.在正四面体 ABCD (各棱都相等)中, E 是 BC 的中点,则异面直线 AE 与 CD 所成的角的 余弦值为

x2 y 2 ? ? 1 的焦距相等,则 a ? 18.已知椭圆 ax ? y ? 4 与 12 9
2 2

19.将一张面值 1 元的人民币全部换成面值 1 角,2 角和 5 角的硬币,则换法总数为 20.某项测试成绩满分 10 分,随机抽取若干名学生参加测试,得分统计如图所示,则得分的平均 数为 x ?
D 2 C 4

A

4

B

(第 20 题图)

(第 21 题图)

21.如图,在四边形 ABCD 中, ?DAB ? 90?, ?ADC ? 30?, AB ? AD ? 4, CD ? 2. 将四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周,则所成几何体的体积为
1 (S1 ? S1S2 ? S2 )h ) 3 三、解答题(每小题 15 分,共 45 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(台体的体积公式 V ?

22. (1)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四棱锥? (2)从 3 双尺码不同的鞋子中任意摸出 3 只,求摸出 3 只中有配成一双(事件 A )的概率. (3)利用二项式定理求 143
2013

被 12 除所得的余数.

第 3 页 共 4 页

23. 已 知 Rt?ABC 中 , ?ABC ? 90?, AB ? 4, BC ? 2, , D, E 分 别 是 AB, AC 的 中 点 , 将

?ADE 沿着 DE 翻折成 ?A1 DE, 使得平面 A1 DE ? 平面 DECB , F 是 A1 B 上一点且 A1 E∥ 平面 FDC . AF 问:(1)求 1 . (2)求三棱锥 D ? ACF 的体积. (3)求 A1 B 与平面 FDC 所成角的大小. 1 FB
A1 A D B F

E C E

D

B

C

24.已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4, 圆 C2 : x2 ? y 2 ? 25. 点 O 为坐标原点,点 M 是圆 C2 上的一动点, 线段 OM 交圆 C1 于 N , 过点 M 作 x 轴的垂线交 x 轴于 M 0 ,过点 N 作 M 0 M 的垂线交 M 0 M 于 P. (1)当动点 M 在圆 C2 上运动时,求点 P 的轨迹 C 的方程. (2)设直线 l : y ? (3)当 m ?

x ? m 与轨迹 C 交于不同的两点,求实数 m 的取值范围. 5
y M

5 时,直线 l 与轨迹 C 相交于 A, B 两点, 5 求 ?OAB 的面积.

N O

P M0 x

第 4 页 共 4 页

成都七中 2012-2013 学年下期 2014 级入学考试数学试卷(理科)试卷参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 75 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.)

? x2 y 2 ?1 ? ? 14.设直线 AB 的方程为 x ? my ? 3 ,联立 ? 12 3 消 x 得 (m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 3 ? 0 . ? x ? my ? 3 ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .则 y1 ? y2 ? ?

6m 3 , y1 y2 ? ? 2 . 2 m ?4 m ?4

1 m2 ? 1 F1F2 y1 ? y2 ? 3 y1 ? y2 ? 3 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? 12 3 ? 2 . 2 m ?4 t 12 3 12 3 ? ? ? 6. ( t ? 3 时等号成立) 令 t ? m2 ? 1, 则 t ? 1. S?F1 AB ? 12 3 ? 2 t ?3 t ? 3 2 3 t S?F1 AB ?

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.) 16.

210

17.

3 6
6

18.

4 或4 7

19.

10

20.

21. (28 ?

20 3 )? 3

三、解答题(每小题 15 分,共 45 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
1 22.解(1) 12C4 ? 48. ………… 5 分

(2) P( A) ? (3) 143
2013

1 1 C3C4 3 ? . ………… 10 分 3 C6 5

? (144 ?1)2013 ? (122 ?1)2013

………… 12 分

第 5 页 共 4 页

0 1 2012 2013 ? C2013 (122 )2013 ? C2013 (122 )2012 (?1)1 ??? C2013 (122 )1 (?1)2012 ? C2013 (?1)2013
2013 ? 12M ? C2013 (?1)2013 (M 是整数 ) ? 12M ?1 ? 12(M ?1) ? 11.

………… 14 分

所以 143

2013

被 12 除所得的余数为 11. ………… 15 分
A D O E C E B

A1 F

23.解(1)连接 EB 交 DC 于 O, 连接 FO.

A1 E∥平面FDC ? ? A1 E ? 平面BA1 E ? ? A1 E∥FO. 平面FDC ? 平面BA1 E ? FO ? ?
………… 3 分

D O C

B

D, E 分别是 AB, AC 的中点
? DE∥BC ? ?ODE ∽ ?OCB EO DE 1 ? ?? ? ? ? . 1 OB CB 2 ? DE ? 2 BC ? A F EO 1 所以在 ?BA1 E 中, 1 ? ? . ………… 5 分 FB OB 2

? ? (2) 平面A1 DE ? 平面DECB ? DE ? ? A1 D ? 平面DECB. ? A1 D ? DE ?

平面A1 DE ? 平面DECB

1 1 1 1 2? 2 4 VD ? A1CF ? VC ? A1DF ? VC ? A1DB ? VA1 ? DCB ? ? ( ? ? 2) ? . 3 3 3 3 2 9

………… 10 分

??? ??? ???? ? 1 ? ? 以 DE, DB, DA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz. 1 则 D(0,0,0), A (0,0, 2), B(0, 2,0), C(2, 2,0). ………… 7 分 1
设 F ( x, y, z ). 因为 所以 A1F ? 所以 F (0,

(3) A D ? 平面DECB. 又 DE ? DB.

z A1 F

???? ?

? 1 ??? 1 FB, 即 ( x, y, z ? 2) ? (? x,2 ? y, ? z), 2 2
E x

A1 F 1 ? . FB 2

D

B

y

? ???? ???? ?n ? DC ? 0 ? x0 ? y0 ? 0 ? ? ?? 则 ? ? ???? ,令 z0 ? 1, 则 n ? (2, ?2,1). 又 A B ? (0,2, ?2) . 1 ?n ? DF ? 0 ? y0 ? 2 z0 ? 0 ? ???? ? A1B ? n ???? ? 2 设 A1 B 与平面 FDC 所成角的大小为 ? ,则 sin ? ? cos? A1B, n? ? ???? ? ? . 2 A1B n
因为 ? ? [0,

???? ???? ? 2 4 DC ? (2,2,0), DF ? (0, , ). 设平面 FDC 的法向量 n ? ( x0 , y0 , z0 ). 3 3

2 4 , ). 3 3

C

?
2

], 所以 A1 B 与平面 FDC 所成角的大小

?
4

.

………… 15 分

24.解(1)设点 P ( x, y ) .则 M ( x, yM ), N ( xN , y) .从而 OM ? ( x, yM ), ON ? ( xN , y)

???? ?

????

第 6 页 共 4 页

5 ???? 5 5 5 5 ON ,所以 ( x, yM ) ? ( xN , y ) .即 x ? xN , yM ? y. 所以 M ( x, y ) . 2 2 2 2 2 2 2 5 2 x y 2 ? ? 1. 点 M 在圆 C2 上,所以 x ? ( y ) ? 25 .整理得点 P 的轨迹 C 的方程: 2 25 4 ………… 5 分 2 2 ?x y ? 25 ? 4 ? 1. ? 2 2 (2)联立 ? 消 y 得到 x ? 2mx ? 5m ? 20 ? 0 . ………… 7 分 x ?y ? ? m ? 5 ? x 因为直线 l : y ? ? m 与轨迹 C 交于不同的两点,所以 ? ? (2m)2 ? 4(5m2 ? 20) ? 0, 5 2 即 m ? 5. 所以实数 m 的取值范围为 (? 5, 5). ………… 10 分
因为 OM ? (3)(方法 1)直线 l : y ?

???? ?

x 5 ? . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 5 5

? x2 y 2 ? 25 ? 4 ? 1. 2 5 2 5 ? 2 联立 ? 消 x 得到 x ? x ? 19 ? 0 .则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ?19. 5 5 ?y ? x ? 5 ? 5 5 ?

x1 x 5 5 2 ? )?( 2 ? )] 5 5 5 5 26 26 26 8 6 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? . 5 5 5 5 0 ? 5? 0 ? 5 5 ? . 直线 l : x ? 5 y ? 5 ? 0. 设 O 到直线 AB 的距离为 d , 则 d ? 2 26 1? 5 1 1 26 8 6 5 4 6 S?OAB ? AB d ? ? ? ? ? . ………… 15 分 2 2 5 5 5 26 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? [(

第 7 页 共 4 页

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