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(第14课时)抛物线及其标准方程(2)





题:8.5

抛物线及其标准方程(二)
王新敞
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教学目的: 1.能根据题设,求出抛物线的标准方程、焦点、准线 2.使学生能熟练地运用坐标,进一步提高学生“应用数学”的水平 3.结合教学内容,使学生牢固树立起对立统一的观点 教学重点:标准方程及其简单应用 教学难点:抛物线定义的灵活运

用,解直线与抛物线有关的综合问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 椭圆的第定义 :一动点到定点的距离和它到一条定直线 l 的距离的比是
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一个 (0,1) 内的常数 e ,那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直
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线叫做准线,常数 e 就是离心率 2. 双曲线的第二定义:一动点到定点 F 的距离与到一条定直线 l 的距离之
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比是一个 (1,??) 内的常数 e ,那么这个点的轨迹叫做双曲线
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其中定点叫做双

曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线 常数 e 是双曲线的离心率. 3.抛物线定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定 点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线 4.抛物线的标准方程:
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y

y
y

y l O

图 形
l

x
F
O F

x

F

F
O

x

O l
l

x

方 程 焦 点 准 线

y 2 ? 2 px( p ? 0)
p ( ,0 ) 2 p x?? 2

y 2 ? ?2 px( p ? 0)
(? p ,0) 2 p x? 2

x 2 ? 2 py( p ? 0)
p (0, ) 2 p y?? 2

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
p (0,? ) 2 p y? 2

相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂

直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 数绝对值的

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它们到原点的距离都等于一次项系

1 2p p ? ,即 4 4 2

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不同点:(1)图形关于 X 轴对称时,X 为一次项,Y 为二次项,方程右端为

? 2 px 、左端为 y 2 ;图形关于 Y 轴对称时,X 为二次项,Y 为一次项,方程右
端为 ? 2 py ,左端为 x
2
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(2)开口方向在 X 轴(或 Y 轴)正向时,焦点在 X

轴(或 Y 轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在 X 轴(或 Y 轴)负向时, 焦点在 X 轴(或 Y 轴)负半轴时,方程右端取负号 二、讲解范例: 例 1 点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l : x ? 5 ? 0 的距离小 1,求点 M 的 轨迹方程 解析:可知原条件 ? M 点到 F(4,0)和到 x=-4 距离相等,由抛物线的定义,
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点 M 的轨迹是以 F(4,0)为焦点,x=-4 为准线的抛物线.∴ p ? 8 所求方程是 y 2 ? 16x

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例 2 斜率为 1 的直线经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,与抛物线相交于两点 A、B, 求线段 AB 的长
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分析:思路一:解方程组,得交点的坐标,利用两点间距离公式解之 思路二:同思路一相同,但不解方程组,利用根与系数的关系,解之 思路三:利用根与系数关系及抛物线的定义来解之 思路四:利用弦长公式解之 (以后给出) 解析:如图,由抛物线的标准方程可知,抛物线焦点的坐标为 F(1,0),
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所以直线 AB 的方程为 y ? 0 ? 1 ? ( x ? 1) 即 y ? x ?1 ①

将方程①代入抛物线方程 y 2 ? 4 x ,得 化简得 x ? 6 x ? 1 ? 0
2

( x ? 1) 2 ? 4x

D

y

A F B
x

O

解这个方程,得

x1 ? 3 ? 2 2 , x2 ? 3 ? 2 2

C

将 x1 ? 3 ? 2 2 , x2 ? 3 ? 2 2 代入方程①中,得

y1 ? 2 ? 2 2 , y2 ? 2 ? 2 2
即 A,B 的坐标分别是( 3 ? 2 2 , 2 ? 2 2 )( 3 ? 2 2 , 2 ? 2 2 ) , ∴ | AB |?

(4 2 ) 2 ? (4 2 ) 2 ? 8

另法:在图中,由抛物线的定义可知,|AF|等于点 A 到准线 x=-1 的距离|AD|, 而|AD|= x1 +1.同理|BF|=|BC|= x2 +1,于是得 |AB|=|AF+|BF|= x1 + x2 +2. 由此可以看到,本题在得到方程 x ? 6 x ? 1 ? 0 后,
2

根据根与系数的关系可以直接得到 x1 + x2 =6. 于是立即可以求出|AB|=6+2=8. 例 3 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到 焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值 解析:由 M(-3,m)到焦点的距离等于 5
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? M(-3,m)到准线的距离等于 5 p ? ? 5?3? 2 ? p ? 4 2 ?所求抛物线的方程为 y 2 ? ?8x ? m ? ?2 6
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三、课堂练习: 2 1.抛物线 y =ax(a≠0)的准线方程是

(

) (D)x=

a (A)x= 4

a (B)x= 4
2

|a | (C)x= 4

|a | 4

2.已知 M(m,4)是抛物线 x =ay 上的点,F 是抛物线的焦点,若|MF|=5,则此抛 物线的焦点坐标是 ( ) (A)(0,-1) (B)(0,1) (C)(0,-2) (D)(0,2) 3.抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y-12=0 上,此抛物 线的方程是 ( ) 2 2 2 2 (A)y =16x (B)y =12x (C)y = -16x (D)y = -12x

4.抛物线 2y +x+ (A)(-

2

3 ,0) 8

1 =0 的焦点坐标是 2 3 5 (B)(0,- ) (C)(- ,0) 8 8
2

( (D)(0,-

)

5 ) 8

5.过点(0,1)且与抛物线 y =x 只有一个公共点的直线有 ( ) (A)一条 (B)两条 (C)三条 (D)无数条 6.若直线 3x+4y+24=0 和点 F(1,-1)分别是抛物线的准线和焦点,则此 抛物线的顶点坐标是 ( )

19 71 ,? ) (D)(-2,-5) 50 25 3? 2 7.过抛物线 y =4x 的焦点 F 作倾斜角为 的直线交抛物线于 A、B 两点,则 4
(A)(1,2) (B)(4,3) (C) ( ? AB 的长是 (A) 4 2 ( ) (B)4 (C)8 (D)2

练习的答案:1 A 2 B 3 A 4 C 5 C 6 C 7 C 四、小结 :本课主要讲解了四道例题,从不同的角度对如何灵活运用抛物线的 定义、标准方程、焦点、准线等知识解决有关问题进行了巩固训练。 五、课后作业: 1.选择题 2 (1)已知抛物线方程为 y=ax (a>0) ,则其准线方程为( ) (A) x ? ?

a 2

(B) x ?

a 4

(C) y ? ?

1 2a

(D) y ? ?

1 4a

(2)抛物线 y ?

1 2 m x (m≠0)的焦点坐标是( )(A) (0, )或(0, m 4 m m 1 1 1 ? )(B) (0, )(C) (0, )或(0, ? )(D) (0, ) 4 4m 4 4m 4m

(3)焦点在直线 3x-4y-12=0 上的抛物线标准方程是( ) 2 2 2 2 (A) y =16x 或 x =16y (B) y =16x 或 x =12y 2 2 2 2 (C) x =-12y 或 y =16x (D) x =16y 或 y =-12x 2.根据下列条件写出抛物线的标准方程( ) (1)过点(-3,4) (2)过焦点且与 x 轴垂直的弦长是 16 3.点 M 到点(0,8)的距离比它到直线 y=-7 的距离大 1,求 M 点的轨迹方 程. 2 4.抛物线 y =16x 上的一 P 到 x 轴的距离为 12,焦点为 F,求|PF|的值. 答案: 1. (1)D (2)B (3)C

2. (1) x ?
2

9 16 y 或 y2 ? ? x 4 3
4.13 ?
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(2)y =±16x
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2

3.x2=32y 六、板书设计(略)

七、测试题(时间 10 分钟,满分 10 分) (一) .选择题(每小题 2 分,共 4 分) 2 1.抛物线 y=2x 的焦点坐标是( ) (A) (0,

1 ) 4

(B) (0,

1 1 ) (C) ( ,0) 8 2

(D) (

1 ,0) 4


x2 y2 ? ? 1 的中心为顶点,左准线为准线的抛物线标准方程( 2. 以椭圆 25 9
(A) y =25x
2

2 (B) y ?

25 x 2

2 (C) y ?

25 x 3

2 (D) y ?

25 x 4

(二) .填空题(每小题 2 分,共 4 分) 3.顶点在原点,焦点在 y 轴上,且过点 P(4,2)的抛物线方程是 4.平面上的动点 P 到点 A(0,-2)的距离比到直线 l:y=4 的距离小 2,则 动点 P 的轨迹方程是 (三) .解答题(2 分) 2 5.已知抛物线 y =x 上的点 M 到准线的距离等于它到顶点的距离,求 P 点的坐 标. 测试题答案:1.B 2.A 八、课后记: 3.x =8y
2

4.x =-8y

2

5. (

1 2 ,? ) 8 4

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