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三角函数练习题


三角函数练习题
一、基础训练题 1.已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2sin3, -2cos3),则 x 的弧度数为___________。

1 ? cos x 1 ? cos x ? ? -2cscx 的角的集合为___________。 1 ? cos x 1 ? cos x 3.给出下列命题: (1)若 α ? β,则 sinα ? sinβ; (2)若 sinα ? sinβ,则 α ? β; (3)若 sinα>0,
2.适合 则 α 为第一或第二象限角; (4)若 α 为第一或第二象限角,则 sinα>0. 上述四个命题中,正 确的命题有__________个。

1 (x∈(0, π)),则 cotx=___________。 5 ?? ?? ? ? 5.简谐振动 x1=Asin ? ?t ? ? 和 x2=Bsin ? ?t ? ? 叠加后得到的合振动是 x=___________。 3? 6? ? ? 6.已知 3sinx-4cosx=5sin(x+ ? 1)=5sin(x- ? 2)=5cos(x+ ? 3)=5cos(x- ? 4),则 ? 1, ? 2, ? 3, ? 4
4.已知 sinx+cosx= 分别是第________象限角。 7.满足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有________个。 8.已知 ? ? x ? 2? ,则 9.

3 2

1 1 1 1 ? ? cos x =___________。 2 2 2 2
?
?

cos 40? ? sin 50? (1 ? 3 tan10? ) sin 70 1 ? cos 40
? ? ?

?

=___________。

10.cot15 cos25 cot35 cot85 =___________。

1 5 , sin(α+β)= ,求 cosβ 的值。 2 2 13 m ? 2 sin x ? ?? 12.已知函数 f(x)= 在区间 ? 0, ? 上单调递减,试求实数 m 的取值范围。 cos x ? 2?
11.已知 α,β∈(0, π), tan

?

?

二、高考水平训练题 1.已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R,若其周长为定值 c(c>0),当扇形面积最大时, a=__________. 2. 函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.

2 ? sin x 的值域为__________. 2 ? cos x ?? ? 4. 方程 2 sin? 2 x ? ? ? lg x =0 的实根个数为__________. 6? ? ? ? ?? 5. 若 sina+cosa=tana, a ? ? 0, ? ,则 __________a(填大小关系). 3 ? 2?
3. 函数 y ? 6. (1+tan1 )(1+tan2 )…(1+tan44 )(1+tan45 )=__________. 7. 若 0<y≤x<
? ? ? ?

? 且 tanx=3tany,则 x-y 的最大值为__________. 2 sin 7 ? ? cos15? ? sin 8? 8. =__________. cos7 ? ? sin 15? sin 8? ? 2 3 4 5 9. cos ·cos ? ·cos ? ·cos ? ·cos ? =__________.
11 11 11 11 11
10. cos 71 +cos71 cos49 +cos 49 =__________. 11. 解方程:sinx+2sin2x=3+sin3x.
2
? ? ?

2

?

12. 求满足 sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角 x.

?1? 13. 已知 f(x)= ? ? ?2?

?k ? ? A sin ? x ? ? ?5 3?

(kA ? 0, k∈Z, 且 A∈R), (1)试求 f(x)的最大值和最小值; (2)

若 A>0, k=-1,求 f(x)的单调区间; (3)试求最小正整数 k,使得当 x 在任意两个整数(包括 整数本身)间变化时,函数 f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 三、联赛一试水平训练题(一) 1.若 x, y∈R,则 z=cosx2+cosy2-cosxy 的取值范围是____________. 2.已知圆 x2+y2=k2 至少盖住函数 f(x)= 3 sin

?x
k

的一个最大值点与一个最小值点, 则实数 k

的取值范围是____________. 3.f( ? )=5+8cos ? +4cos2 ? +cos3 ? 的最小值为____________. 4.方程 sinx+ 3 cosx+a=0 在(0,2π)内有相异两实根 α,β,则 α+β=____________. 5.函数 f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________. 6.设 sina>0>cosa, 且 sin

a a a >cos ,则 的取值范围是____________. 3 3 3

7.方程 tan5x+tan3x=0 在[0,π]中有__________个解. 8.若 x, y∈R, 则 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________. 9.若 0< ? <
?

? , m∈N+, 比较大小:(2m+1)sinm ? (1-sin ? )__________1-sin2m+1 ? . 2
?

10.cot70 +4cos70 =____________.

?sin x ? sin y ? a ? 11. 在方程组 ?cos x ? cos y ? b 中消去 x, y,求出关于 a, b, c 的关系式。 ?cot x ? cot y ? c ?

? ?? 2 2 2 ? ,且 cos α+cos β+cos γ=1,求 tanαtanβtanγ 的最小值。 2 ? ? ? x sin 3? ? y sin ? ? a ? 13.关于 x, y 的方程组 ? x sin 3? ? y sin ? ? a 有唯一一组解,且 sinα, sinβ, sinγ 互不相等, ? x sin 3? ? y sin ? ? a ?
12.已知 α,β,γ ? ? 0, 求 sinα+sinβ+sinγ 的值。 14.求满足等式 sinxy=sinx+siny 的所有实数对(x, y), x, y ? ? 0,

? ?? ?. ? 2?

联赛一试水平训练题(二) 1.在平面直角坐标系中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象 与函数 g(x)= a 2 ? 1 的图象所围成的封闭图形的面积是__________. 2.若 x ? ?? __________.

2? ? ?? ?? ? 5? ? ? ? ? ? ,? ? ,则 y=tan ? x ? ? -tan ? x ? ? +cos ? x ? ? 的最大值是 3 ? 6? 6? ? 12 3 ? ? ? ?

cot C =__________. cot A ? cot B 1 5 ? 1? ? 5? 4. 设 f(x)=x2-πx, α=arcsin , β=arctan , γ=arccos ? ? ? , δ=arccot ? ? ? , 将 f(α), f(β), f(γ), f(δ) 3 4 ? 3? ? 4?
3.在△ ABC 中,记 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0,则 从小到大排列为__________. 5.logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将 a, b, c, d 从小到大排列为

__________. 6.在锐角△ ABC 中,cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα,则 tanα·tanβ·tanγ=__________. 7.已知矩形的两边长分别为 tan

? 和 1+cos ? (0< ? <π),且对任何 x∈R, 2

f(x)=sin ? ·x2+ 4 3 ·x+cos ? ≥0,则此矩形面积的取值范围是__________. 8.在锐角△ ABC 中,sinA+sinB+sinC 的取值范围是__________. 9.已知当 x∈[0, 1],不等式 x2cos ? -x(1-x)+(1-x)2sin ? >0 恒成立,则 ? 的取值范围是 __________. 10.已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,则 cos2x+ cos2y+ cos2z=__________. 11.已知 a1, a2, …,an 是 n 个实常数,考虑关于 x 的函数:f(x)=cos(a1+x)+ +

1 cos(a2+x) +… 2

1 2 n ?1

cos(an+x)。求证:若实数 x1, x2 满足 f(x1)=f(x2)=0,则存在整数 m,使得 x2-x1=mπ.

sin A ? sin B ? sin C ? ? 3 ,求证:此三角形中有一个内角为 。 cos A ? cos B ? cos C 3 8n 13.求证:对任意自然数 n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|> . 5
12.在△ ABC 中,已知 四、联赛二试水平训练题 1.已知 x>0, y>0, 且 x+y<π,求证:w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①(w∈R).
?1 ? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1? ≥2n-2 2 +1. n n ? sin a ?? cos a ? yn 2 3. 设 x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…满足 x1=y1= 3 , xn+1=xn+ 1 ? x n , yn+1= ,求 2 1 ? 1 ? yn n

2. 已知 a 为锐角,n≥2, n∈N+,求证: ?

证:2<xnyn<3(n≥2).

3 π<α+β+γ<π. 4 ? ?? 5.求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意 ? ? ?0, ? ,恒有 ? 2? 1 (x+3+2sin ? cos ? )2+(x+asin ? +asin ? )2≥ . 8 ? ?? 6. 设 n, m 都是正整数, 并且 n>m, 求证: 对一切 x ? ? 0, ? 都有 2|sinnx-cosnx|≤3|sinnx-cosnx|. ? 2?
4.已知 α,β,γ 为锐角,且 cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证; 7.在△ ABC 中,求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC 的最大值。 8.求的有的实数 a, 使 cosa, cos2a, cos4a, …, cos2na, …中的每一项均为负数。

? ?? 9.已知 ? i ? ? 0, ? ,tan ? 1tan ? 2…tan ? n=2 2 , n∈N+, 若对任意一组满足上述条件的 ? 2? ? 1, ? 2,…, ? n 都有 cos ? 1+cos ? 2+…+cos ? n≤λ,求 λ 的最小值。
n


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