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绝对值三角不等式



绝对值三角不等式
公式: a ? b ? a ? b ? a ? b 证明过程如下: 显然 a ? b ? a ? b 成立,取等条件是 ab ? 0 ,将 b 用 ? b 代替,可得 a ? b ? a ? ? b , 即 a ? b ? a ? b ,取等条件是 ab ? 0 综上可得① a ? b ? a ? b 在 a ? b ? a ? b 中 a 用 a ? b 代替, 可得 a ? a ? b ? b , 移项得 a ? b ? a ? b , 调换 a , b 的位置可得 b ? a ? b ? a ,因为 b ? a ? a ? b ,所以可得 a ? b ? a ? b ,取等条件是

ab ? 0 。将 b 用 ? b 代替可得 a ? b ? a ? b ,取等条件是 ab ? 0 。
综上可得② a ? b ? a ? b 结合①②绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b 得证 绝对值三角不等式经常用来解决形如 x ? m ? x ? n ? c, x ? m ? x ? n ? c 恒成立型的需 要结合最值原理求解的问题 巩固练习 1、已知 a 和 b 是任意非零实数. (1)求

2a ? b ? 2a ? b a

的最小值

(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,求实数 x 的取值范围

B ?b ? , C ?c ? , 2、已知 A ? a ? , 求 ( A ? B ? C) ? (a ? b ? c) 的最大值

s 3

s 3

s 3

3、不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对 ?x 都成立,求实数 a 的取值范围
2

4、已知函数 f ( x) ? x ? 4 ? x ? 5 (1)试求使等式 f ( x) ? 2x ? 1 成立时, x 的取值范围 (2)若关于 x 的不等式 f ( x)<a 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围

2 2 5、已知函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? c ? 1 (?1 ? x ? 1, a, c ? R ) , 记 f ( x) 在 ?? 1,1? 上的最大值

为 M,求证:若 a >1,则对于 ?c ? R ,恒有 M>2

6、求证

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b



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