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2014北京丰台高考一模数学文(解析)



丰台区 2013—2014 学年度第二学期期中练习 2014.3 高 三 数 学(文科) 40 (选择题 共 分) 第一部分
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的 4 个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)设集合 A ? {x ? R | ?1 ? x ? 1} , B ? {x ? R | x( x ? 3) ? 0} ,则 A B

等于( ) (A) {x ? R | ?1 ? x ? 3} (B) {x ? R | 0 ? x ? 3} (C) {x ? R | ?1 ? x ? 0} (D) {x ? R | 0 ? x ? 1} (2)已知等比数列 {an } 中, a2 ? a3 =1, a4 ? a5 =2,则 a6 ? a7 等于( (A)2 (B)2 2 (C)4 (D)4 2 (3)执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为( 8 29 (A) (B) 5 12 5 13 (C) (D) 3 8 ) )

(4)已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,它在 [0, ??) 上是减函数. 则下列各式一 定成立的是( ) (A) f (0) ? f (6) (B) f (?3) ? f (2) (C) f (?1) ? f (3) (D) f (?2) ? f (?3) (5)设向量 a = ? 2, x ? 1? , b = ? x ? 1, 4 ? ,则“ x ? 3 ”是“ a // b ”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (6)某企业开展职工技能比赛,并从参赛职工中选 1 人参加该行业全国技能大赛.经 过 6 轮选拔,甲、乙两人成绩突出,得分情况如茎叶图所示.若甲乙两人的平均 成绩分别是 x甲 , x乙 ,则下列说法正确的是( ) (A) x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛 (B) x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 (C) x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 (D) x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛 (7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( ) (A) 18 3 (B) 36 3 (C) 12 3
6

(D) 24 3

3 主视图

3

3 3 侧视图

3 3

1 / 13

俯视图

(8)在同一直角坐标系中,方程 ax 2 ? by 2 ? ab 与方程 ax ? by ? ab ? 0 表示的曲线可能是(



(A)

(B)

(C)

(D)

第二部分 (非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. sin ? ? cos ? (9)已知 tan ? ? 2 ,则 的值为_______________. sin ? ? cos ? (10)复数
i 在复平面内对应的点的坐标是____________. 2?i

(11)以点(—1,1)为圆心且与直线 x ? y ? 0 相切的圆的方程为____________________.
1 (12) 已知函数 f ( x) ? 2 x , 点P ( a, b ) 在函数 y ? ( x ? 0) 图象上, 那么 f (a) ? f (b) 的最小值是____________. x

(13)A,B 两架直升机同时从机场出发,完成某项救灾物资空投任 务.A 机到达甲地完成任务后原路返回;B 机路过甲地,前往乙 B 两架直升机离 地完成任务后原路返回. 图中折线分别表示 A, s t 甲地的距离 与时间 之间的函数关系. 假设执行任务过程中 A,B 均匀速直线飞行,则 B 机每小时比 A 机多飞行 公 里.

? x ? y ? 4 ? 0, ??t ? x ? t , ? (0 ? t ? 4) 表示的平面区域为 (14)设不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0, 表示的平面区域为 M,不等式组 ? ?0 ? y ? 4 ? t ?y ? 0 ? N.在 M 内随机取一个点,这个点在 N 内的概率为 P.①当 t ? 1 时,P=__________;② P 的最大值是 _________.

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15)(本题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? sin(? ? 2 x) ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; ? (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最小值和最大值. 2

2 / 13

(16)(本题共 13 分) 年龄在 60 岁(含 60 岁)以上的人称为老龄人,某小区的老龄人有 350 人, 他们的健康状况如下表: 2 1 0 —1 健康指数 60 岁至 79 岁的人数 120 133 34 13 80 岁及以上的人数 9 18 14 9 其中健康指数的含义是:2 代表“健康”,1 代表“基本健康”,0 代表“不健康,但生活能够自理”,—1 代表“生 活不能自理”. (Ⅰ)随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人,该老人生活能够自理的概率是 多少? (Ⅱ)按健康指数大于 0 和不大于 0 进行分层抽样,从该小区的老龄人中抽取 5 位,并随机地访问其中的 3 位.求被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的 健康指数不大于 0 的概率.

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(17)(本题共 14 分) 如图,四边形 ABCD 与四边形 ADMN 都为正方形, AN ? AB ,F 为线段 BN 的中点,E 为线段 BC 上的动点. (Ⅰ)当 E 为线段 BC 中点时,求证: NC / / 平面 AEF; (Ⅱ)求证:平面 AEF ? BCMN 平面; BE ? ? ,写出 ? 为何值时 MF⊥平面 AEF(结论不要求证明) (Ⅲ)设 . BC

4 / 13

(18)(本题共 13 分) 已知曲线 f ( x) ? ax ? e x (a ? 0) . (Ⅰ)求曲线在点( 0, f (0) )处的切线; (Ⅱ)若存在实数 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

5 / 13

(19)(本题共 14 分)

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过左焦点 F (? 3,0) 且斜率为 k 的直线交 2 a b 2 椭圆 E 于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,直线 l : x ? 4ky ? 0 交椭圆 E 于 C,D 两点. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求证:点 M 在直线 l 上; (Ⅲ)是否存在实数 k ,使得四边形 AOBC 为平行四边形?若存在求出 k 的值,若不存在说明理由.
如图,已知椭圆 E:

6 / 13

(20)(本题共 13 分) 从数列 {an } 中抽出一些项,依原来的顺序组成的新数列叫数列 {an } 的一个子列. (Ⅰ)写出数列 {3n ? 1} 的一个是等比数列的子列; (Ⅱ)设 {an } 是无穷等比数列,首项 a1 ? 1 ,公比为 q .求证:当 0 ? q ? 1 时,数列 {an } 不存在是无穷等差 数列的子列.

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丰台区 2014 年高三年级第二学期统一考试(一) 2014.3 数学(文科)答案
一、选择题 1 题号 D 答案 二、填空题 1 9. 3 12. 4 三、解答题 (15) 解: (Ⅰ)
?T ? f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ?

2 C

3 A

4 C

5 A

6 D

7 A

8 A

?1 2? 10. ? , ? ?5 5?

11. 14.

? x ? 1?

2

? ? y ? 1? ? 2
2

13.

20

3 1 ; 2 8

?
4

)

2? ? ? .————————————————————————————————7 分 2 ? ? ? 5? ? ? ?? ? 2x ? ? ? , ? (Ⅱ) x ? ?0, ? , 2 4 ?4 4 ? ? ? ? ? 2 ? ? sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? 4 ? 2 ? ? 5? ? ? 2x ? ? 即 x ? 时, f ( x ) 的最小值为 ?1 , 4 4 2

4 (16)解:

2x ?

?

?

?

2

即x?

?

8

时, f ( x ) 的最大值为 2 . ———————————————————13 分

120 ? 133 ? 34 287 ? , 120 ? 133 ? 34 ? 13 300 287 所以该小区 80 岁以下老龄人生活能够自理的概率约为 .———————————5 分 300 (Ⅱ)该小区健康指数大于 0 的老龄人共有 280 人,健康指数不大于 0 的老龄人 共有 70 人,所以被抽取的 5 位老龄人中有 4 位健康指数大于 0,有 1 位健康 指数不大于 0.设被抽取的 4 位健康指数大于 0 的老龄人为1 ,2 ,3 ,4, 健康指数不大于 0 的老龄人为 B. 从这五人中抽取 3 人,结果有 10 种: (1,2 ,3 ) , (1,2 ,4 ) , (1,2 ,) , (1,3 ,4 ) , (1,3,) , (1,4 ,) , (2 , 3 ,4 ) , (2 ,3 ,) , (2 ,4 ,), (3 ,4 ,) 其中恰有一位老龄人健康指数不大于 0 的有 6 种: (1,2 ,) , (1,3 ,) , (1,4 ,) , (2 ,3 ,) , (2 ,4 ,), (3 ,4 ,)

(Ⅰ)该小区 80 岁以下老龄人生活能够自理的频率为

所以被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的概率为5. —————————————————13 分

3

(17)
8 / 13

(Ⅰ)证明: F 为线段 NB 的中点, E 为线段 BC 中点 所以 // 又 NC ? 平面 AEF, EF ? 平面 AEF ———————————————————————————4 分 所以 NC / / 平面 AEF (Ⅱ)证明:四边形 ABCD 与四边形 ADMN 都为正方形 所以 AD ? NA , AD ? AB NA A B? A ,所以 AD ? 平面 NAB AF ? 平面 NAB ,故 AD ? AF AD / / BC ,所以 BC ? AF 由题意 NA = AB ,F 为线段 NB 的中点 所以 AF ? NB NB BC ? ,所以 B AF ? 平面 BCMN AF ? 平面 AEF 所以平面 AEF ? 平面 BCMN .——————————————————————————11 分 1 ———————————————————————————————————14 分 (Ⅲ) ? ? 2 (18)解: (Ⅰ)因为 f (0) ? ?1 ,所以切点为(0,—1) . x f ?( x) ? a ? e , f ?(0) ? a ? 1 , 所以曲线在点( 0, f (0) )处的切线方程为:y=(a—1)x—1.———————————————4 分 (Ⅱ)因为 a》0,由 f ?( x) ? 0 得, x ? ln a ,由 f ?( x) ? 0 得, x ? ln a ,所以函数 f ( x ) 在 (??,ln a) 上单调递 增,在 (ln a, ??) 上单调递减,所以 f ( x ) 的最大值为 f (ln a) ? a ln a ? a . 因为存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,所以 a ln a ? a ? 0 ,所以 a ? e .——————————13 分 19. 解: c 3 (Ⅰ)由题意可知 e ? ? , c ? 3 ,于是 a ? 2, b ? 1 . a 2 x2 所以,椭圆的标准方程为 ? y 2 ? 1 程.——————————————————————3 分 4 (Ⅱ)设 A( x1 , y 1 ) , B( x2 , y 2 ) , M ( x0 , y 0 ) ,
? y ? k( x ? 3) ? 2 即 (4k 2 ? 1) x2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 . ? x 2 ? y ? 1 ? ? 4

x1 ? x2 ?4 3k 2 ?8 3k 2 3k , , y0 ? k ( x0 ? 3) ? 2 , x ? ? 0 2 2 4k ? 1 2 4k ? 1 4k ? 1 ?4 3k 2 3k 于是? M ( 2 , 2 ). 4k ? 1 4 k ? 1 ?4 3k 2 3k 因为 ? 4k ? 2 ? 0 ,所以 M 在直线 l 上.——————————————————9 分 2 4k ? 1 4k ? 1 (Ⅲ)设存在这样的平行四边形,则 M 为 OC 中点 ? x ? ?4ky 1 y3 ? 设点 C 的坐标为 ( x3 , y3 ) ,则 y0 ? .因为 ? x 2 ,解得 y3 ? ? . 2 2 4k 2 ? 1 ? ? y ?1 ?4 1 3|k| 1 2 2 ? 2 于是 ,解得 k ? ,即 k ? ? . 2 8 4 2 4k ? 1 4k ? 1

所以, x1 ? x2 ?

所以,当 k ? ?

2 2 时四边形 AOBC 的对角线互相平分,即当 k ? ? 时四边形 AOBC 是平行四边 4 4
9 / 13

形.————————————————————————————————14 分 (20)解: (Ⅰ) an ? 22 n ?1 (若只写出 2,8,32 三项.给满分) .—————————————————5 分 (Ⅱ)证明:假设存在是等差数列的子列 ?bn ? , a1 ? 1,0 ? q ? 1

所以 ?bn ? 也为递减数列且 bn ∈(0,1], d ? 0 , b 令 b1 ? (n ? 1)d ? 0 ,得 n ? 1 ? 1 ? 1 , d * 即存在 n ? N (n ? 1) 使得 bn ? 0 ,这与 bn ∈(0,1]矛盾. 所以数列 {an } 不存在是无穷等差数列的子列.———————————————————13 分

? an ? q n ?1 ? (0,1] ,且数列 {an } 是递减数列,

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丰台区 2014 年高三年级第二学期统一考试(一) 数学(文科)选填解析 一、选择题 1. 【答案】D 【解析】解: B ? {x ? R | x( x ? 3) ? 0} ? {x | 0 ? x ? 3} 又 A ? {x ? R | ?1 ? x ? 1} 所以 A B ? {x | 0 ? x ? 1} 故选 D. 2. 【答案】C 【解析】解:因为等比数列 {an } ,所以 a4 ? a5 ? (a2 ? a3 )q 2 ,所以 q 2 ? 2 ; 所以 a6 ? a7 ? (a4 ? a5 )q 2 ? 4 。 故选 C 3. 【答案】A 【解析】解:列表法: i 0
x

1 2

1

2 3 2

3 5 3

4 8 5

循环结束

故选 A

4. 【答案】C 【解析】解:因为 f ( x ) 是偶函数,所以 f (?1) ? f (1) , 又 f ( x ) 在 [0, ??) 上是减函数,所以 f (1) ? f (3) ,所以 f (?1) ? f (3) 。 故为 C 5. 【答案】A 【解析】若 x ? 3 ,则 a ? (2, 2), b ? (4, 4) , b ? 2a ,故 a // b ; 若“ a // b ” ,则 2 ? 4 ? ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,解得 x ? 3 或 ?3 。 所以“ x ? 3 ”是“ a // b ”的充分不必要条件。 故选 A 6. 【答案】D

70 ? 3 ? 80 ? 2 ? 90 ? 1 ? 2 ? 8 ? 9 ? 5 ? 6 ? 2 ? 82 , 6 70 ? 1 ? 80 ? 3 ? 90 ? 2 ? 8 ? 6 ? 8 ? 8 ? 1 ? 3 262 x乙 ? ? 6 3 所以 x甲 ? x乙 , 由图知,乙的数据更集中,所以乙的成绩稳定; 故选 D
【解析】解:由茎叶图,知 x甲 ? 7. 【答案】A 【解析】解:由三视图知,几何体是底面是边长为 6 的等边三角形,高为 6 的三棱锥; 1 3 2 故体积为 ? ? 6 ? 6 ? 18 3 3 4 故选 A 8. 【答案】A
11 / 13

a x2 y 2 ? ? 1 ;由 ax ? by ? ab ? 0 ,得 y ? ? x ? a , b b a a 对于 A,由椭圆知, b ? a ? 0 ,此时 ?1 ? ? ? 0 , ?b ? ?a ? 0 ,符合图中的直线方程; b 故选 A。

【解析】解:由 ax 2 ? by 2 ? ab ,得

二、填空题 9. 【答案】
1 3

【解析】解:
1 故答案为 . 3

sin ? ? cos ? tan ? ? 1 1 ? ? . sin ? ? cos ? tan ? ? 1 3

1 2 10.【答案】 ( , ) 5 5

【解析】解:

i i(2 ? i) 2i ? i 2 1 ? 2i 1 2 1 2 ? ? ? ? ? i ,对应的点的坐标为 ( , ) , 2 ? i (2 ? i)(2 ? i) 4 ? i 2 5 5 5 5 5

1 2 故答案为 ( , ) 。 5 5

11.【答案】 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 【解析】解:圆的半径是点 (?1,1) 到直线 x ? y ? 0 的距离 d ? 所以圆的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 。 故答案为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 。 12.【答案】 4 【解析】因为 ( a, b) 在函数图象上,所以 b ? 又 f ( x) ? 2 x , f (a) f (b) ? 2a ? 2b ? 2a ?b ? 22 故答案为 4 。 13.【答案】 20 【解析】解:设机场到甲地的距离为 s ,则 A 机的速度是
2s ? 80 s ? ? 20 (公里/时) ; 4 2 故 B 机每小时比 A 机多飞行 20 公里。 故答案为 20 。
2s s ? (公里/时) ; 4 2
ab

?1 ? 1 2

? 2;

1 ,即 ab ? 1 ; a

? 4 ,当且仅当 a ? b ? 1 时取等号

B 机的速度是

3 1 14.【答案】 , 。 2 8 ? x ? y ? 4 ? 0, ? 【解析】画出 ? x ? y ? 4 ? 0, 表示的平面区域,如图所示, ?y ? 0 ?

12 / 13

2?3 3 ??1 ? x ? 1 P? ? 1 当 t ? 1 时, ? ,如阴影部分;则 ; ?8? 4 8 ?0 ? y ? 3 2 2t (4 ? t ) 1 t ? 4 ? t 2 1 ? ( ) ? ,当且仅当 t ? 2 取等号。 一般的情形, P ? 16 8 2 2 3 1 故答案为 , 。 2 8

13 / 13



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