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1.1.2-集合间的基本关系



1.1.2

集合间的基本关系

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1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给 定集合的子集. 2.在具体情境中,了解空集的含义.

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自学导引
1.一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中 任意一个 元素都是集合B中的元素,我们就说这两 _________ 个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作 B包含A ”). A?B (或_____ B?A ),读作“_______ A含于B ”(或“________ _____ 集合B 2.如果集合A是集合B的子集(A?B),且______ 是集合 A的子集(B?A) ,此时,集合A与集合B中的 ___________________ 元素是一样的,因此集合A与集合B相等,记作 A=B ______ .

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3.如果集合A?B,但存在元素x∈B,且 真子集 ,记作 x?A,我们称集合A是集合B的_______ ______ A? B (或______ B?A ). 空集 ,记作 4.不含任何元素的集合叫做_____ ? ___. 空集 是任何集合的子集, _____ 空集 是任 5._____ 何非空集合的真子集.

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自主探究
1.能否把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成 的集合?” 答:不能.这是因为当A=?时,A?B,但A中 不含任何元素;又当A=B时,也有A?B,但A中含 有B中的所有元素,这两种情况都有A?B成立,所 以上述理解是错误的.

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2.0,{0},?,{?}之间有什么关系? 答:(1)数0不是集合,{0}是含一个元素0的集 合,?是不含任何元素的集合,{?}是指以?为元素的 集合. (2)不要把数0或集合{0}与空集?混淆,同时注意 不要把空集?错写成{?}或{0}.它们之间的关系是: ?≠{?},?∈{?},0??,0?{?},0∈{0}. (3)从集合之间的关系看,??{?}.

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预习测评
1.集合{0,1}的子集有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:此集合的子集有?,{0},{1},{0,1}共4个. 答案:D 2.若集合A={x|x≤2},则 ( ) A.0?A B.0?A C.{0}?A D.{0}∈A 解析:∵0∈A,∴A、B两项不正确. 又{0}是集合,所以D项不正确. 答案:C

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3 . 设 x , y ∈ R , A = {(x , y)|y = x} , B =
? ?y ? ??x,y?? =1? ? ?x ?

,则 A、B 的关系为________.

解析:A、B都为点集,点(0,0)∈A,但点 (0,0)?B. 答案:B ?A 4.用适当的符号填空(∈、?、?、=). (1)a________{a,b,c}; (2)?________{x∈R|x2+1=0}; (3){0}________{x|x2=x}; (4){2,1}________{x|x2-3x+2=0}.

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解析:(1)为元素与集合的关系,(2)(3)(4)为集 合与集合的关系. 易知a∈{a,b,c}; ∵x2+1=0在实数范围内的解集为空集, 故?={x∈R|x2+1=0}; ∵{x|x2=x}={0,1}, ∴{0}?{x|x2=x}; ∵x2-3x+2=0的解为x1=1,x2=2. ∴{2,1}={x|x2-3x+2=0}. 答案:(1)∈ (2)= (3)? (4)=

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要点阐释
一、正确理解子集的概念 理解子集的概念,应注意以下几点: 1.“A是B的子集”的含义是:A的任何一个元素 都是B的元素,即由任意的x∈A,能推出x∈B. 2.当A不是B的子集时,我们记作“A B”(或 B?A),读作:“A不含于B”(或“B不包含A”). 3.任何一个集合是它本身的子集,记作A?A. 4.空集是任何集合的子集,即对于任一集合 A,有??A;空集是任何非空集合的真子集,即对于 任一非空集合B,有 ? B.

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5.在子集的定义中,不能理解为子集A是B中 的“部分元素”所组成的集合. 6.注意子集的三种语言.
名称 记号 文字语言 符号语言 图形语言

子集

?

若集合A的每 一个元素都是 若x∈A? 集合B的元 x∈B,则 素,则称A是 A?B B的子集

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名称

记号

文字语言

符号语言

图形语言

真子集

若集合A是集合B的 子集,且B中至少 若A?B且 有一个元素不在A A≠B,则 中,则称A是B的真 A? B 子集
若集合A是集合B的 若A?B且 子集,且B也是A的 B?A,则 子集,则称A与B相 A=B 等

相等



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二、注意区分元素与集合之间的关系,集合与 集合之间的关系 元素与集合之间的关系是从属关系(即属于或不 属于),而集合与集合之间的关系为包含(即包含、含 于、不包含、真包含、相等). 1.∈,?用在元素与集合之间,表示从属关 系;?, (或? )用在集合与集合之间,表示包含 (真包含)关系. 2.a与{a}的区别:一般地,a表示一个元素, 而{a}表示只有一个元素的一个集合,我们常称之为 单元素集.1∈{1},不能写成1?{1}.

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3.关于空集?:空集是不含任何元素的集合, 它既不是有限集又不是无限集,不能认为?={0}, 也不能认为{?}=?或{空集}=?. {0}是由数0组成的单元素集,所以0∈{0},但 0??,?? {0},{?}是由?组成的单元素集,因此 ?∈{?},由于空集是任何集合的子集,所以??{?}也 正确.

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典例剖析
题型一 子集、真子集的概念 【例1】 写出满足{a,b}?A?{a,b,c,d}的 所有集合A. 解:由题设可知,一方面A是集合{a,b,c,d} 的子集,另一方面A又真包含集合{a,b},故集合A 中至少含有两个元素a,b,且含有c,d两个元素中 的一个或两个. 故满足条件的集合有{a,b,c},{a,b,d}, {a,b,c,d}.

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点评:(1)正确区分子集与真子集概念是解题的 关键. (2)写一个集合的子集时,按子集中元素个数多 少,以一定顺序来写不易发生重复和遗漏现象. (3)集合中含有n个元素,则此集合有2n个子集, 记住这个结论可以提高解答速度,其中要注意空集? 和集合本身易漏掉.

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1.已知集合A={x|1<x≤4,x∈N},写出集合A 的所有子集和真子集. 解:∵A={2,3,4}, ∴集合A的所有子集是:?,{2},{3},{4}, {2,3},{2,4},{3,4},{2,3,4}, 在上述子集中,除去集合A本身,即{2,3,4},剩 下的都是A的真子集.

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题型二 集合相等及应用 【例2】 已知集合A={x,xy,x-y},B={0,|x|, y}且A=B,求实数x与y的值. 解:由已知A=B={0,|x|,y},∴0∈A. 若x=0,则A={0,0,-y},不满足元素的互异性; 若y=0,则B={0,|x|,0},也不满足元素的互异 性. ∴只有x-y=0,即y=x. ∴A={x,xy,0}={x,x2,0}. ∴B={0,|x|,x}. ∴x2=|x|,∴x=0(舍),或x=1,或x=-1.

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当x=1时,A=B={1,1,0},而元素具有互异 性,故x≠1. 当x=-1时,A=B={-1,1,0}满足题意. ∴x=y=-1即为所求. 点评:(1)两个集合相等,则所含元素完全相 同,与顺序无关,但要注意检验,排除与集合元素 互异性或与已知相矛盾的情形. (2)若两个集合中元素均无限多个,要看两集合 的代表元素是否一致,且看代表元素满足的条件是 否一致,若均一致,则两集合相等. (3)另外证明两个集合相等的思路是证:A?B且 B?A.

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2.已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2}且A= B,求x,y的值. 解:∵A=B, ∴集合A与集合B中的元素相同,
? ?x=2x ∴? 2 ? ?y=y
2 ? ?x=y 或? ? ?y=2x



1 ? ? ? ?x=4, ?x=0 ?x=0 解得 x,y 的值为? 或? 或? ? ? ? y= 0 ?y=1 ?y=1, ? 2

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验证得,当x=0,y=0时, A={2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾,舍去.
? 1 ? ?x=4, ?x=0, ∴x,y 的取值为? 或? ? ?y=1, ?y=1. ? 2

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题型三 子集的集合运用 【例3】 已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m -1<x<m+1},且B?A.求实数m的取值范围. 解:∵B?A, (1)当B=?时,m+1≤2m-1,解得m≥2.
?-3≤2m-1 ? (2)当 B≠?时,有?m+1≤4 ?2m-1<m+1 ? 解得-1≤m<2, 综上得m≥-1. ,

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点评:(1)分析集合关系时,首先要分析、简化 每个集合. (2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法, 将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注 意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心 点表示,不含“=”用空心点表示. (3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其 是集合中含有字母参数时,初学者会想当然认为非 空集合而丢解,因此分类讨论思想是必须的.

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3.已知集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax-1 =0},若B? A,求实数a的值. 解:A={x|x2-2x-3=0}={-1,3},且B ?A, ∴(1)当B=?时,方程ax-1=0无解,∴a=0. ?1? (2)当 B≠?时,则 B=?a?, ? ? 1 若a=-1,则 a=-1; 1 1 若a=3,则 a= . 3 1 综上,实数 a 的值为 0 或-1 或 . 3

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误区解密

因忽略空集而出错

【例4】 设A={x|2≤x≤6},B={x|2a≤x≤a+ 3},若B?A,则实数a的取值范围是 ( ) A.{a|1≤a≤3} B.{a|a>3} C.{a|a≥1} D.{a|1<a<3}
? ?2a≥2 错解:∵B?A,∴? ? ?a+3≤6



解得 1≤a≤3,故选 A.

错因分析:空集是任何集合的子集,忽视这一 点,会导致漏解,产生错误结论.对于形如 {x|a<x<b}一类的集合,当a≥b时,它表示空集,解 题中要引起注意.

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?2a≤a+3 ? 正解:①当 B≠?时,则有?2a≥2 ?a+3≤6 ? 解之得 1≤a≤3,



②当B=?时,2a>a+3,解之得a>3. 综合①②得a≥1. 故应选C. 答案:C

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纠错心得:由于空集是任何非空集合的真 子集,因此B=?时也满足B?A.解含有参数的集 合问题时,要特别注意当参数在某个范围内取 值时所给的集合可能是空集这种情况.空集是 一个特殊的集合,由于思维定式的原因,学生 往往会在解题中遗忘这个集合,导致解题错误 或解题不全面.

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课堂总结
1.元素、集合间的关系用符号“∈”或“?”表 示,集合、集合间的关系用“?”、“=”或“? ”等表 示. 2.在特定的情况下集合也可以作为元素,如集 合B={?,{0},{1},{0,1}},则此时{1}∈B,而不能 是{1}? B.

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3.解集合关系的问题时还需注意以下几个方 面: (1)当A?B时,A=B或A? B. (2)判断两个集合间的关系:①先用列举法表示 两个集合再判断;②分类讨论. (3)解数集问题学会运用数轴表示集合. (4)集合与集合间的关系可用Venn图直观表示.



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