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2016高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(理科)(立体几何——泉州市数学组供稿)


2016 高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(理科)
立体几何 泉州市数学组
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 (1)已知某几何体的正视图和侧视图(如图所示) ,则该几何体的俯视图不可能是

(2)已知某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则该几 何体的体积是 (A) 84cm
3

(B) 92cm
3

3

(C) 100cm

(D) 108cm

3

(3)对于不重合的两条直线 l , m 和不重合的两个平面 ? , ? ,下列命题正确的是 (A)若 l // m, l // ? , 则m // ? (C)若 ? ? ?,l ? ? , 则l // ? (B)若 ? ? ? ? m, l ? ? , 则l // ? (D)若 l ? m, m ? ? , l ? ? , 则? ? ?

(4)在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是 (0, 0, 2) ,

(2, 2, 0) , (1, 2,1) , (2, 2, 2) ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视
图和俯视图分别为

第 1 页 共 8 页

(A)①和②

(B)③和①

(C)③和④

(D)④和②

(5)已知一个直三棱柱,其底面是正三角形,一个体积为 切,那么这个三棱柱的表面积是

4? 的球体与棱柱的所有面均相 3

(A) 24 3 (B) 18 3 (C) 12 3 (D) 6 3 (6)空间中的一条线段 PQ , 在其俯视图和侧视图中, 该线段的投影的长度分别恒为 1 和 2 , 则线段 PQ 长的取值范围是 (A)PQ ? (0,1] (B)PQ ?[1,2] (C)PQ ?[2,3] (D)PQ ? [2, 5]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分。
(7) 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 2, 侧棱长为 3 , D 为 BC 中点 , 则三棱锥

A ? B1DC1 的体积为_____________.
(8)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .

? (9)已知点 P 在正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 的对角线 BD1 上, ?PDA ? 60 ,则 DP 与 CC1 所

成角的大小为___________. (10)已知三棱锥 O ? ABC 底面 ABC 的顶点在半径为 4 的球 O 表面上,且 AB ? 6 ,

BC ? 2 3 , AC ? 4 3 ,则三棱锥 O ? ABC 的体积为___________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
第 2 页 共 8 页

(11) (本小题满分 10 分)

AC ? 2 , 如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧面 ACC1 A 1 与侧面 CBB 1C1 都是菱形,

?ACC1 ? ?CC1B1 ? 60? .
(Ⅰ)求证: AB1 ? CC1 ; (Ⅱ) 若 AB1 ? 6 , 求二面角 C ? AB1 ? A1 的余弦值. (12)(本小题满分 15 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 A B C D为 直 角 梯
? 形 , AD ? BC , ?ADC ? 90 , 平 面 PAD ? 底 面

ABCD , Q 为 AD 的 中 点 , M 是 棱 PC 上 的 点 ,
PA ? PD ? 2 , BC ?

1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2

(Ⅰ)若 M 是棱 PC 的中点,求证: PA // 平面MQB ; (Ⅱ)若二面角 M ? BQ ? C 的大小为 30 ,试求
?

PM 的值. PC

(13)(本小题满分 15 分) 已知三棱锥 P ? ABC 中,侧面 PBC 垂直底面, AB 是底面最长的边;图 1 是三棱锥 P ? ABC 的三视图,其中的侧视图和俯视图均为直角三角形;图 2 是用斜二测画法 画出的三棱锥 P ? ABC 的直观图的一部分,其中点 P 在 xOz 平面内. (Ⅰ)请在图 2 中将三棱锥 P ? ABC 的直观图补充完整,并指出三棱锥 P ? ABC 的 哪些面是直角三角形; (Ⅱ)设二面角 B ? PA ? C 的大小为 ? ,求 tan ? 的值; (Ⅲ)求点 C 到面 PAB 的距离.

第 3 页 共 8 页

2016 高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(理科)
立体几何(参考答案) 泉州市数学组
一.选择题。 (1)选 C. (2)选 C. (3)选 D. (4)选 D. (5) 选 B. (6) 选 D.

(6) 【解析】设线段 PQ 的三视图中,主视图、俯视图、侧视图的投影长分别为 a, b, c , 则 | PQ | ?
2

a 2 ? b2 ? c 2 且 | PQ |? a,| PQ |? b,| PQ |? c. 2

?| PQ |? 1 ?| PQ |? 2 ? ? 由此得: ?| PQ |? a, ? 2 ?| PQ |2 ? 5 ? a , ? ? 2
所以 ? 二、填空题. (7)填 1 . (8)填 50(1 ? 3) . (9)填 45? . (10)填 4 3 .

?| PQ |? 2
2 2 ?| PQ | ? 2 | PQ | ?5,

解得: | PQ |?[2, 5] ,故选:D.

三、解答题. (11)解: (Ⅰ)证明:连 AC1,CB1,则△ACC1 和△B1CC1 皆为正三角形. 取 CC1 中点 O,连 OA,OB1,则 CC1⊥OA,CC1⊥OB1, 则 CC1⊥平面 OAB1,则 CC1⊥AB1.…5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,OA=OB1= 3 ,又 AB1= 6 ,∴OA⊥OB1. 如图所示,分别以 OB1,OC1,OA 为正方向建立空间直角坐标系,

则 C(0,-1,0),B1( 3 ,0,0),A(0,0, 3 ),
第 4 页 共 8 页

……6 分

设平面 CAB1 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) , ∵ AB1 ? ( 3,0, ? 3) , AC ? (0, ?1, ? 3) , ∴?

??

????

??? ?

? ? 3 ? x1 ? 0 ? y1 ? 3 ? z1 ? 0 ? ? 0 ? x1 ? 1? y1 ? 3 ? z1 ? 0
?

,取 m ? (1, ? 3,1) .

??

……8 分

设平面 A1AB1 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) , ∵ AB1 ? ( 3,0, ? 3) , AA 1 ? (0, 2,0) , ∴?

????

????

? ? 3 ? x2 ? 0 ? y2 ? 3 ? z2 ? 0 ? ,取 n ? (1,0,1) . ? ? 0 ? x1 ? 2 ? y1 ? 0 ? z1 ? 0

?? ? ?? ? m?n 2 10 则 cos ? m, n ?? ?? ? ? , ? 5 | m || n | 5? 2
又∵二面角 C-AB1-A1 为钝角, ∴二面角 C-AB1-A1 的余弦值为 ?

10 . 5

……10 分

12.证明: (Ⅰ)连接 AC ,交 BQ 于 N ,连接 MN ,

? BC // AD 且 BC ?

1 AD ,即 BC // AQ 且 BC ? AQ , 2

∴四边形 BCAQ 为平行四边形 , 故 N 为

AC 的中点. 又∵点 M 是棱 PC 的中点, ? MN // PA . ……3 分 PA ? 平面 MQB , ∵ MN ? 平面 MQB ,
∴ PA // 平面MQB . ……6 分

(Ⅱ)因为 PA ? PD, Q 为 AD 的中点, 则 PQ ? AD . ∵平面 PAD ? 平面 ABCD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , ∴ PQ ? 平面 ABCD ,
第 5 页 共 8 页

∵ BQ ? 平面 ABCD ,∴ PQ ? BQ . ∵ AD // BC , BC ?

1 AD , Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形, ∴ CD // BQ , 又∵ ?ADC ? 90 0 , ∴ ?AQB ? 90 ,即 QB ? AD .
0

…9 分

以 Q 为原点,分别以 QA, QB, QP 为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系 (如图) , 则 Q(0, 0, 0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) ,

??? ? ??? ? ??? ? PC ? (?1, 3, ? 3) , QP ? (0,0, 3) , QB ? (0, 3,0) .
设 PM ? tPC,(0 ? t ? 1) , 则 QM ? QP ? tPC ? (?t , 3t , 3 ? 3t ) . 设平面 MQB 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,

???? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

??

?? ??? ? ? y ? 0, ? ? m ? QB ? 0, ? 由 ? ?? ???? 得? , ? ? tx ? ( 3 ? 3 t ) z ? 0 ? m ? QM ? 0 ? ? ? ?? 令 z ? t ,得平面 MQB 的一个法向量为 m ? ( 3 ? 3t,0, t ) ,
又 n ? (0,0,1) 是平面 BQC 的一法向量, 二面角 M ? BQ ? C 的大小 为 30 0 ,

?

? ?? | n?m | |t | 3 ∴ cos 30 ? ? ?? ? , ……13 分 ? 2 n m ( 3 ? 3t ) 2 ? 0 ? t 2
?

解得 t1 ?

3 3 PM 3 , t2 ? (舍) = . ,∴ 4 2 PC 4

……15 分

第 6 页 共 8 页

(13)解: (Ⅰ)补充完整的三棱锥 P ? ABC 的直观图如图所示;…2 分 由三视图知 ?ABC 和 ?PCA 是直角三角形. ……3 分

(Ⅱ)如图,过 P 作 PH ? BC 交 BC 于点 H . 由三视图知 OH ? HC ? 2 , PH ? 2 3 , AC ? BC, AC ? 4 ,……4 分 ∴在图中所示的坐标系下,相关点的坐标为: B(0, 0, 0) , C (4, 0, 0) ,

P(2,0, 2 3) , A(4, 4, 0) ,
则 BA ? (4, 4,0) , BP ? (2,0, 2 3) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? CA ? (0, 4,0) , CP ? (?2,0, 2 3) .……5 分
设 平 面

PAB 、 平 面 PAC

的 法 向 量 分 别 为

m ? ( x1 , y1 , z1 ) , n ? ( x2 , y2 , z2 ) .
由 m ? BA ? 0 , m ? BP ? 0 ,得 ?

??? ?

??? ?

? ?4 x1 ? 4 y1 ? 0, ? ?2 x1 ? 2 3 z1 ? 0,

令 z1 ? 1, 得 x1 ? ? 3 , y1 ? 3 ,即 m ? (? 3, 3,1) .……7 分 由 n ? CA ? 0 , n ? PC ? 0 ,得 ?

??? ?

??? ?

? ? 4 y2 ? 0 , ? 2 x ? 2 3 z ? 0 ? ? 2 2
……8 分

令 z2 ? 1 , 得 x2 ? 3 , y2 ? 0 ,即 n ? ( 3,0,1) .

? cos ? m, n ??

m ?n ?2 7 , ? ?? m n 2 7 7
42 ,则 tan ? m, n ?? ? 6 .……9 分 7
第 7 页 共 8 页

? sin ? m, n ??

∵二面角 B ? PA ? C 的大小为锐角,∴ tan ? 的值为 6 . ……10 分 (Ⅲ)记 C 到面 PAB 的距离为 h , 由 B(0, 0, 0) , C (4, 0, 0) , P(2,0, 2 3) , A(4, 4, 0) , 得 PA ? (4 ? 2) ? (0 ? 4) ? (2 3) ? 4 2 ,
2 2 2

AB ? 4 2, PB ? 4 , ……11 分
1 4 7 h. ? S?PAB ? 4 7 , VC ? PAB ? S?PAB ? h ? 3 3
又三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC ? ……13 分

1 16 3 S?ABC ? PH ? , 3 3
……15 分

由 VP? ABC ? VC ? PAB ,可得: h ?

4 21 . 7

第 8 页 共 8 页



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