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【高考冲刺】全国2015届高三最后一次模拟(I卷)数学(理)试题



2015 年高考理科数学押题密卷(全国新课标 I 卷)
说明: 一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷.第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题,分为必考和选考两部 分. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动,用 橡皮将答案擦干净后,再涂其他答案. 四、考试结束后,将本试卷

与原答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一 项符合题目要求. (1)已知集合 A={ (x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=4},集合 B={(x,y) |x,y 为实数,且 y=x-2}, 则 A ∩ B 的元素个数为( (A)0 (C)2 (2)复数 z= 1-3i ,则 1+2i (A)|z|=2 (C)z 的虚部为-i ) (B)1 (D)3

(B)z 的实部为 1 (D)z 的共轭复数为-1+i

(3)已知随机变量 X 服从正态分布 N (1,σ2),若 P (X≤2)=0.72, 则 P (X≤0)= (A)0.22 (B)0.28 (C)0.36 (D)0.64 (4)执行右面的程序框图,若输出的 k=2,则输入 x 的取值范 围是 (A)(21,41) (B)[21,41] (C)(21,41] (D)[21,41) 5 (5)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1+a3= ,且 a2+ 2 5 Sn a4= ,则 = 4 an - (A)4n 1 (B)4n-1 n-1 (C)2 (D)2n-1

开始 输入 x k=0

k=k+1 x=2x-1 x≤81? 否 输出 k 结束 是

x2 y2 (6)过双曲线 2- 2=1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段 OF(O 为原点)的垂 a b 直平分线上,则双曲线的离心率为 (A) 2 (B)2 (C) 5 (D) 3
·1·

(7)已知函数 f (x)=cos 2x+ 象重合

(

π 2π ,g (x)=sin 2x+ ,将 f (x)的图象经过下列哪种变换可以与 g (x)的图 3 3

)

(

)

π π (A)向左平移 (B)向右平移 12 12 π π (C)向左平移 (D)向右平移 6 6 (8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 11 3 (A) (B) 3 6 5 3 4 3 (C) (D) 3 3 (9)已知向量 a=(1, 2) ,b=(2, 3)若(c+a)∥b,c⊥ (b+a) ,则 c= 7 7 7 7 (A) , (B ) , 9 3 3 9 7 7 7 7 (C) , (D) - ,- 3 9 9 3

2

11 正视图

3

侧视图

( (

) )

( (

) )

俯视图

(10)4 名研究生到三家单位应聘,每名研究生至多被一家单位录用,则每家单位至少录用一名研究 生的情况有 (A)24 种 (B)36 种 (C)48 种 (D)60 种 (11)函数 (A)(-1,1) (C)(0,1)
1 1

,其图像的对称中心是
(B)(1,-1) (D)(0,-1)

(12)关于曲线 C:x 2 +y 2 =1,给出下列四个命题: ①曲线 C 有且仅有一条对称轴; ②曲线 C 的长度 l 满足 l> 2; 2 ③曲线 C 上的点到原点距离的最小值为 ; 4 1 ④曲线 C 与两坐标轴所围成图形的面积是 6 上述命题中,真命题的个数是 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. 2 5 的展开式中,常数项为__________. x (14)四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 4 2的正方形,侧棱长都等 4 5,则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________. (13)在(1+x2) 1-

(

)


C

·2·
d1 d2 A

d3 P

B

(15) 点 P 在△ ABC 内部 (包含边界) , |AC|=3, |AB|=4, |BC|=5, 点 P 到三边的距离分别是 d1, d2 , d3 , 则 d1+d2+d3 的取值范围是_________. (16) △ ABC 的顶点 A 在 y2=4x 上, B, C 两点在直线 x-2y+5=0 上, 若| AB - AC |=2 5 , 则△ ABC 面积的最小值为_____. 三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题, (22) , (23) , (24)题为选考题.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a≥b,sin A+ 3cos A=2sin B. (Ⅰ)求角 C 的大小; a+b (Ⅱ)求 的最大值. c (18) (本小题满分 12 分) 某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如下: 甲 乙 9 7 0 7 8 6 3 3 1 1 0 5 7 9 8 3 2 1 3 (Ⅰ)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小; (Ⅱ)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过 .. 15 分的频率作为概率,假设甲、乙两名队员在 同一场比赛中得分多少互不影响,预测在本赛季剩余的 2 场比赛中甲、乙两名队员得分均超过 ...15 分 次数 X 的分布列和均值.
yC

(19) (本小题满分 12 分) 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 ABB1A1 为正方形, 侧面 BB1C1C 为菱形,∠CBB1=60?,AB⊥B1C. BB (Ⅰ)求证:平面 ABB1A1⊥BB1C1C; (Ⅱ)求二面角 B-AC-A1 的余弦值.
AA

1C

OB

1A1

AA

1A1

·3·

(20) (本小题满分 12 分) x2 y2 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 M (-2,-1),离心率为 .过点 M 作倾斜角互补 a b 2 的两条直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、Q. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)证明:直线 PQ 的斜率为定值,并求这个定值; (Ⅲ)∠PMQ 能否为直角?证明你的结论.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)已知 (Ⅲ)已知: x 轴是函数图象的一条切线.



请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 ︵ 如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为BC的中点,E 为 点. (Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC· BC=2AD· CD.
B D

BC 的 中
E A O C

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系 Ox 中, 直线 C1 的极坐标方程为 ρsin θ=2, M 是 C1 上任意一点, 点 P 在射线 OM 上, 且满足|OP|· |OM|=4,记点 P 的轨迹为 C2. (Ⅰ)求曲线 C2 的极坐标方程; ? (Ⅱ)求曲线 C2 上的点到直线 ρcos θ+ = 2距离的最大值. 4

(

)

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f (x)=|x-3|+|x-4|. (Ⅰ)解不等式 f (x)≤2; (Ⅱ)若存在实数 x 满足 f (x)≤ax-1,试求实数 a 的取值范围.

2015 年高考理科数学押题密卷(全国新课标 I 卷)
·4·

一、选择题: CDBCD 二、填空题: (13)41;

ABCDD BA (14)100?; (15)

[ 12 5

,4 ;

]

(16)1.

三、解答题: (17)解: (Ⅰ) ? ? =2sin B,则 sin A+ =sin B. …3 分 3 3 因为 0<A,B<?,又 a≥b 进而 A≥B, 2? ? ? 所以 A+ =?-B,故 A+B= ,C= . ……………………………6 分 3 3 3 (Ⅱ)由正弦定理及(Ⅰ)得 a+b sin A+sin B 2 ? ? = = sin A+sin A+ = 3sin A+cos A=2sin A+ .…10 分 c sin C 3 6 3 a+b ? 当 A= 时, 取最大值 2. ……………………………12 分 3 c (18)解: - 甲= 1 (7+9+11+13+13+16+23+28)=15, (Ⅰ)x 8 1 - 乙= (7+8+10+15+17+19+21+23)=15, x 8 1 2 s甲= [(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75, 8 1 2 s乙 = [(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25. 8 甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小) . …4 分 3 1 (Ⅱ)根据统计结果,在一场比赛中,甲、乙得分超过 15 分的概率分别为 p1= ,p2= ,两 8 2 3 人得分均超过 15 分的概率分别为 p1p2= , 16 k 3 13 2-k k 3 依题意,X~B 2, ,P (X=k)=C2 ,k=0,1,2, …7 分 16 16 16 X 的分布列为 X 0 1 2 169 78 9 P …10 分 256 256 256 3 3 X 的均值 E (X)=2× = . ……………………………12 分 16 8 sin A+ 3cos A=2sin B 即 2sin A+

(

)

(

)

[

(

)]

(

)

(

)

( )( )

(19)解: (Ⅰ)由侧面 ABB1A1 为正方形,知 AB⊥BB1. 又 AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以 AB⊥平面 BB1C1C, 又 AB?平面 ABB1A1,所以平面 ABB1A1⊥BB1C1C.…………………………4 分

·5·

z C

B1 B1

x

(Ⅱ)建立如图所示的坐标系 O-xyz. 其中 O 是 BB1 的中点,Ox∥AB,OB1 为 y 轴,OC 为 z 轴. 设 AB=2,则 A (2,-1,0),B (0,-1,0),C (0,0, 3),A1(2,1,0).

→ AB =(-2,0,0),→ AC =(-2,1, 3),→ AA1 =(0,2,0). → → 设 n =(x ,y ,z )为面 ABC 的法向量,则 n · AB =0,n · AC =0,
1 1 1 1 1 1

…6 分

?-2x1=0, 即? 取 z1=-1,得 n1=(0, 3,-1). ?-2x1+y1+ 3z1=0.

…8 分

→ → 设 n2=(x2,y2,z2)为面 ACA1 的法向量,则 n2· AA1 =0,n2· AC =0, ?2y2=0, 即? 取 x2= 3,得 n2=( 3,0,2). …………………10 分 ?-2x2+y2+ 3z2=0. n 1· n2 7 所以 cos ?n1,n2?= =- . |n1||n2| 7 7 因此二面角 B-AC-A1 的余弦值为- . ……………………………12 分 7
(20)解: 4 1 (Ⅰ)由题设,得 2+ 2=1, ① a b a2-b2 2 且 = , ② a 2 由①、②解得 a2=6,b2=3, x2 y2 椭圆 C 的方程为 + =1. …………………………………………………3 分 6 3 (Ⅱ)记 P (x1,y1)、Q (x2,y2). 设直线 MP 的方程为 y+1=k(x+2),与椭圆 C 的方程联立,得 (1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0, 8k2-8k-4 -4k2+4k+2 -2,x1 是该方程的两根,则-2x1= . 2 ,x1= 1+2k 1+2k2 设直线 MQ 的方程为 y+1=-k(x+2), -4k2-4k+2 同理得 x2= .………………………………………………………6 分 1+2k2 因 y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2), 8k 2 y1-y2 k(x1+2)+k(x2+2) k(x1+x2+4) 1+2k 故 kPQ= = = = =1, 8k x1-x2 x1-x2 x1-x2 2 1+2k 因此直线 PQ 的斜率为定值. ……………………………………………………9 分
·6·

(Ⅲ)设直线 MP 的斜率为 k,则直线 MQ 的斜率为-k, 假设∠PMQ 为直角,则 k· (-k)=-1,k=± 1. 若 k=1,则直线 MQ 方程 y+1=-(x+2), 与椭圆 C 方程联立,得 x2+4x+4=0, 该方程有两个相等的实数根-2,不合题意; 同理,若 k=-1 也不合题意. 故∠PMQ 不可能为直角.…………………………………………………………12 分

(21)解: (Ⅰ)f ?(x) = 当 x∈(0,a)时,f ?(x)<0,f (x)单调递减, 当 x∈(a,+∞)时,f ?(x)>0,f (x)单调递增. ∵ x 轴是函数图象的一条切线,∴切点为(a,0) . f (a)=lna+ (Ⅱ)令 1+ 1=0,可知 a=1. ……………………………4 分

,由 x>0 得知 t>1,
.

,于是原不等式等价于:



,由(Ⅰ)知: 当 t∈(0,1)时,g ?(t)<0,g (t)单调递减, 当 t∈(1,+∞)时,g ?(t)>0,g (t)单调递增.
∴ g (t)> g (1)=0,也就是 ∴

. .
……………………………8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知:x 是正整数时,不等式 x=1,2,3,…,n-1,将所得各不等式两边相加,得:

也成立,可以令:

即 (22)证明:

.

……………………………12 分

︵ (Ⅰ) 连接 OE, 因为 D 为BC的中点, E 为 BC 的中点, 以 OED 三点共线. 因为 E 为 BC 的中点且 O 为 AC 的中点,所以 OE∥AB,

B D

所 故

E A
DE∥AB. ………………………… …5 分
·7·

O

C

︵ (Ⅱ)因为 D 为BC的中点,所以∠BAD=∠DAC,又∠BAD=∠DCB?∠DAC=∠DCB. 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE?△ DAC∽△ ECD. AC AD ? = ?AD· CD=AC· CE CD CE ? 2AD· CD=AC· 2CE ? 2AD· CD=AC· BC. ……………………………10 分 (23)解: (Ⅰ)设 P (ρ,θ),M (ρ1,θ),依题意有 ρ1sin θ=2,ρρ1=4. ……………………………3 分 消去 ρ1,得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. ……………………………5 分 (Ⅱ)将 C2,C3 的极坐标方程化为直角坐标方程,得 C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2. ……………………………7 分 3 2 C2 是以点(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆,圆心到直线 C3 的距离 d= , 2 3 2 故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离的最大值为 1+ . ……………………………10 分 2 (24)解: ? ?7-2x,x<3, 3≤x≤4, (Ⅰ)f (x)=|x-3|+|x-4|=?1, ……………………………2 分 ?2x-7,x>4. ? 5 9 作函数 y=f (x)的图象,它与直线 y=2 交点的横坐标为 和 ,由图象知 2 2 5 9 不等式 f (x)≤2 的解集为 , . ……………………………5 分 2 2

[

]

a=-2

y y=f (x) y=2 O y=ax-1 a= y=ax-1 1 2

-1

5 3 4 9 2 2

x

(Ⅱ)函数 y=ax-1 的图象是过点(0,-1)的直线. 当且仅当函数 y=f (x)与直线 y=ax-1 有公共点时,存在题设的 x. 1 由图象知,a 取值范围为(-∞,-2)∪ ,+∞ . ………………………10 分 2

[

)

-END·8·

·9·



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