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2016年广州市普通高中毕业班综合测试二理科数学

2016 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）
注意事项：

1. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自
己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂。

2. 3.

/>
回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

( 1 ）己知集合 M = {xl- 1 < x < 1 } , N = {x lx 2 < 2, x εz ｝，则
(A) M 旦 N
(B) N 旦 M

(C) M 门 N={O}

(D)

MUN = N

‘ n+i ( 2 ）己知复数 z ＝立Lτ ，其中 i 为虚数单位， (1 ＋。

贝Ll l zl

(A)

2

(B) 1

(C)

Fi

(D) 2

( 3 ) t:, 9;0 cos

(i升1 叫＊＋巾值是
d
3

(A)

3

-

d
(C)

-3

3

-

( 4 ）己知随机变量 X 服从正态分布 N(3， σ2 ），且 P(X 三 4)=0.84 ，则 P(2<X <4)=
(A)

0.84

(B)
[x - y 三 0,

0. 6

(C) 0.32

(D)

0.16

( 5 ）不等式组 ↑ x+y 三－2，的解集记为 D ，若（α， b） εD ，则 z = 2α 一弛的最小值是
[x - 2y 主－2

(A)

-4

(B) -1

(C) 1

(D) 4

( 6 ）使 I
飞

x2 ＋生

I (nEN ? ）展开式中含有常数项的 n 的如值是
(B) 4 (C) 5
(D) 6

Lχi

(A) 3

1

( 7 ）己知函数 f ( x) = sin ( 2x ＋ ψ）（0 ＜伊＜一）的图象的一个对称中心为｜云， O J ，则函数 2 l 8 J
J(x）的单调递减区间是

πl ‘带

1

仙） [ 2k万一子 2kJr+f }k E Z )

(B) [

2阳中kJr ＋号｝k

(C) 性号M
( 8 ）己知球 0 的半径为 R,

(D）护中ff+? ]ck
AB

E

Z)

C 三点在球 0 的球面上，球心。到平面 ABC 的距离为

!._ R , AB = AC = 2 ， ζBAC=I20。，则球 0 的表面积为
2
(A) 9π

16
.

(B ） τπ

16

(C) 9π

64

(D） τ π

64

( 9 ）己知命题 p: VxεN,

( 1 '(

l 2)

(I γ A 1 -1 主｜－｜，命题 q: :lxεN * ,

l3)

-

2x + i x = 2.J2 ,

r::

则下列命题中为真命题的是

(A)

pA q

(B) （「 ,p) Aq

〉囚 A

认〕

(C)

p ／＼（「q)

(D) （「p）／＼（「q)

C10 ）如图，

网格纸上的小正方形的边长为 l ，粗实线画出

的是某几何体的三视图则该几何体的体积是

(A) 4+ 6π (C) 4+ 12π

(B)

8+ 6π

(D) 8+12π

( 11 ）己知点。为坐标原点，点 M 在双曲线 C ：对－ y2 ＝ λ （ λ 为正常数）上，过点 M 作

双曲线 C 的某一条渐近线的垂线，垂足为 N ，则 JONJ ·JMNJ 的值为

(A)

4

λ

但） 2

λ

(C） λ

(D）无法确定

( 12 ）设函数 f (x）的定义域为 R , f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x），当 xε ［O, I ］时，

f(x）＝矿，则函数 g (x)=I叫π牛 f (x）在区间 1 －！ .~I 上的所有零点的和为
I 2 2I
(A) 7 (B)

6

(C)

3

(D)

2

2

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个考生都必须做答。
第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。

（ ω 由川）＝~＋ 3x1:E点（盯（l)) *s<:Jt]J线方程为一
（ ω 己知平面向量α 与 b 的夹角为 f a = ( i,

,

~) , Iα － 2bl = 2占，则 lbl =

（旧时心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点79 F(l 0) 点 F 关于直线 y÷ 的对称点
在椭圆 C 上，则椭圆 C 的方程为

(16 ）在 A ABC 中，

α， b,c 分别为内角 A, B,C 的对边，

α ＋ c 二 4.

(2-cos A) tan

f=

sin A

则'6. A叫面积的最大值为一一

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17) （本小题满分 12 分）

设 Sn 是数列｛αn ｝的前 n 项和，己知 lli = 3 ，叫＋i = 2Sn +3 (nε 的．

( I ）求数列｛功的通项公式；
( II ）令 ι ＝（ 2n-1）鸟’求数列｛圳的前 n 项和 1
08)
C 本小题满分 12 分）

班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班 24 名女同学， 18 名男同学中
随机抽取一个容量为 7 的样本进行分析．

(I ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？计算出结果）

（写出算式即可，不必

( II ）如果随机抽取的 7 名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
学生序号 i

1

2

3 70 80

4

5 85 90

6 87 86

7 90 93

数学成绩 xI

60 70

65 77

75 85

物理成绩 Y,

( i ）若规定 85 分以上（包括 85 分）为优秀，从这 7 名同学中抽取 3 名同学，记 3 名同
学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 5 ，求 5 的分布列和数学期望；

(ii ）根据上表数据，求物理成绩 y 关于数学成绩 x 的线性回归方程（系数精确到 0.01
若班上某位同学的数学成绩为 96 分，预测该同学的物理成绩为多少分？

);

3

<

I (
i= l

X; - ; )( Y;

角

y)
， α ＝ y-bx.

附：线性回归方程 y= bx ＋ α ，其中 b=

三（xi-;r
7

x
76

y
83

I(xi-;)
812

7

2

三（x;-;)(y;-y)
526

(19)

（本小题满分 12 分）

如图，在多面体 ABCDM 中， A BCD 是等边三角形， A CMD 是等腰直角三角形，
ζCMD=90 ，平面 CMD i 平面 BCD,

AB

i 平面 BCD .

A

(I ）求证：

CD1-AM;

( II ）若 AM =BC=2 ，求直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值．

c
(20)
C 本小题满分 12 分）

已知点 F(l,O），点 A 是直线［1: X= -1 上的动点，过 A 作直线儿， z, ..l l2 ，线段 AF 的
垂直平分线与 l2 交于点 P.
(I ）求点 P 的轨迹 C 的方程：

( II ）若点 M,N 是直线 l，上两个不同的点，且A PMN 的内切圆方程为对＋ y2 = 1 ，直

线 PF 的斜率为 k ，求业L 的取值范围

IMNI

( 21)

（本小题满分 12 分）

己知函数 f(x)= e

-x _ ax (x ε R )

(I ）当 α ＝－ 1 时，求函数 f (x）的最小值： ( II ）若 X 主 0 时， f(-x)+ln(x+l）孔，求实数。的取值范国：
C III ）求证：

e2--Fe < 3 . 2

-

4

做答时请写清题号。 (22) C本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形 ABCD是圆0的内接囚边形， AB 是圆0的直径， BC=CD, AD的延长线与 BC 的延长线交于点 E ，过 C 作 CF ..lAE ，垂足为点 F . (I）证明： CF 是圆0的切线； (II ）若 BC=4, AE=9 ，求 CF 的长．

i青考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

A

。
．

B

(23) C本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为｛

l

Ix＝飞／3 cosθ ’（ θ 为参数）．以点。为极 y = sin θ

?－

点， x 轴畔轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为严in(B + (I）将曲线 C 和直线 l 化为直角坐标方程；

%) = .fi,.

(II ）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最大值．

(24) （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲己知函数 f(x) = log 2 (Ix+ II +lx -21-a)

( I ）当α＝ 7 时，求函数 f(x ）的定义域： (II ）若关于x的不等式 f (x ）刻的解集是 R，求实数。的最大值．

5

2016 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

理科数学试题答案及评分参考
评分说明： l. 本解答给出了一种或几种解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不给分。
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4. 只给整数分数。选择题不给中间分。一．选择题

Cl) C

(2) B
(8) D

(3) A
(9) C

(4 ) B
( 10 ) B

(5 ) A
( 11 ) B

(6) C

(7) D
二．填空题

( 12) A

ν7

9 ν－

(13)

x - y+4=0

(14) 2

+

(16)

Jj

，、 J

一一

三．解答题

(17) (

I

）解：当 n 主 2 时，由 α，川＝ 2Sn +3 ，得叫＝ 2Sn-i

+3 ,… ...... ...... ...... ..... , .. ,1

分

两式相减，得 αn+t -

a11 = 2S11 - 2S11_1 = 2a11 ,

…＂ 2 分

:. an+! = 3α1.

旦！±！.. ＝ 3.
α，，

.... .. ........…….......……………… ·3 分

当 n 二 1 时， α1=3 ， α2 =2SI +3=2叫 + 3=9 ，则生＝ 3 ….......………..4 分
αl

．·．数列（圳是以 q =3 为首项，公比为 3 的等比数列…
二。“ ＝ 3 × 311-I =3" .

………·5 分

…........…..................…… 6 分

(II ）解法 1 ：由 (I ）得 ι ＝ (2n-I)a11 = (2n-1)· 311
·． ζ ＝ 1 × 3+3 × 32 + 5 × 33 +· ·+ (2n-1) ·3" , (
3汇二 1 × 32

….......…........ 7 分
...... . ..........… ·8 分

+3 × 33+ 5 × 34 +· · +(2n- 1)·311+1 ， ②

①一②得－2汇＝ 1 × 3+2 × 32 +2× 33 +· · + 2 × 3＂一（2n - 1) · 311+1··· ·········9 分

= 3+ 2 ×( 32 + 33 + · ·+3" ) - (2n 一 1) · 3"+ 32 (1 - 3＂一I ) =3+2 ×飞／一（ 2n-1）俨I ..........…..............… 10 分 1-3
二 -6 一（ 2n - 2)· 3 n+ l
… 11 分

. T,, =(n-1)·311+1 +3 …···· ········ ··· ·······…. .. ... .……. .............… ·· 12 分
解法 2：由(I ）得 ι ＝（ 2n-l)a11 =(2n-1)·3" .

(2n-1) 311 =(n-1)·3"+1 一（n-2)·311 ，

…………......… ·8 分

? T,,

＝纠＋ b2 ＋乌＋… ＋ b

= ( 0 + 3) + ( 33 - 0) + ( 2 × 34 - 33)+· ·+[(n - 1 ）· 俨l 一（ n - 2)·3" J … ·10 分 =(n-1)·3 (18)

"~ 3

.. . .....…… 12 分

(I ）解：依据分层抽样的方法， 24 名女同学中应抽取的人数为工× 24=4 名，
42
…1 分

7 18 名男同学中应抽取的人数为一 × 18 = 3 名， 42
故不同的样本的个数为 c~4c:s

… ·····················2 分

….......….......…… ··········· ··· ········3 分

( II )

( i ）解：... 7 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 3 名，

:. t 的取值为 0,1,2,3.
pP hd
／’’飞

AU
、，，／、

-

CE
4 一一

P

t·
一－

.. - ,,
、、

FLE

叫

、 J 00 －，】 ’1 －呵、

r

37

3

J，，‘飞

F』d

一一

一一

一另

一 C

豆一叫－

。

， E d 叶－句、

P

F b

P

？工－F3

1

d 匀，俨』－句、

’1

F Hd

:. t 的分布列为

4 18 12 1 9 Et=O ×一＋ 1 ×一＋ 2 × 一＋ 3 × 一＝一．…........................... 9 分 35 35 35 35 7
7

／t 飞

／1 飞

、，，／、

、，，／、

分

句中

句 3

同／

一另

一－

一－

一－

一－

一－

－ c

飞d

t
p

。

2 18 35 12 35

3

4 35

35
…8 分

( ii ）解：

.

b ＝一一局 0.65 ， α ＝

526 812

一一

y-bx=83-0.65 × 75=33.60.

…＇＂ 10 分
分

．·．线性回归方程为 y

= 0.65x+33.60. ….................….................. ,11

当 x=96 时，

y=0.65 × 96+33.60=96.
........….........….........… ··········12 分

可预测该同学的物理成绩为 96 分．

(19)(1 ）证明：取 CD 的中点 0 ，连接 OB,

OM.

·:

!). BCD 是等边三角形，

OB ..lCD . ·: 6. CMD 是等腰直角三角形， LCMD=90, OM OM
..lCD.
..l 平面 BCD.

…........…..........…......... 1

分

…………………………………………2 分
…… ........…….........……… ·3 分

．·平面 CMD i 平面 BCD ，平面 CMD 门平面 BCD=CD, OM c 平面 CMD,
A

AB i 平面 BCD, OM II AB.

0, M, A, B osnoM =O, os c 平面 OMAB, OM c 平面 OMAB, CD i 平面 OMAB. ········· ·····…................... 5 分 x AM c 平面 OMAB ,
CD..lAM.

B 四点共面

4分

~t:--lt－－－卢 D
c

…………........…..................……….........… ·6 分

( II ）解法 1 ：作 MN

..l AB ，垂足为 N ，则 MN = OB.

·: 6. BCD 是等边三角形， BC=2, ·. OB=f3, CD=2.
在 Rt6 ANM 中， AN =.JAM2 -MN2 =.JAM2 -OB2 =l. ............ ...... 7 分

·: 6. CMD 是等腰直角三角形， ζCMD=90。， :. OM

=!CD = 1.
2
…8 分
OM 所在直

:. AB = AN+NB = AN+OM = 2.
如图，以点。为坐标原点， oc 所在直线为 x 轴， BO 所在直线为 y 轴，

线为 z 轴，建立空间直角坐标系 O 一巧iz,

则 M 仰，0,1),

s(o,-J3,o), D（一叭的， A(O,-J3,2).

．·五百＝（o，占，－1),?=(o，在牛 BD=(-1，占， o).
设平面 BDM 的法向量为 n = (x,y,z).

8

由 n·

一一

一｜凸 v +z = 0. BM =0, n· BD=O , 得 4 . ., 二二 ’ [-x+ -./3y=O,

…9 分

令 y =1 ，得 x ＝ ♂， z=-./3.

.. n ＝（仇，－./3）是平面 BDM 的一个法向量
设直线 AM 与平面 BDM 所成角为 θ ，

… 10 分

则 sin θ ＝ l cos(AM , n）卜卡一-----:r;-」一一一一一一一一．… . ......….................门分

｜一｜

I IAM·nl 2♂ 51 ｜一 IAMl lnl - 2 × Ji- 7
、01

．·．直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值为二二二．

7

···12 分

解法 2 ：作 MN

..l AB ，垂足为 N ，则 MN = OB.
BC=2,

·:

6 BCD 是等边三角形，

·. OB ＝占， CD=2.

在 Rt6 ANM 中， AN= '1 AM2 - MN2 = '1AM2 - OB2 = 1.
·:
6 CMD 是等腰直角三角形， ζCMD = 90 ,

· · · · · · ··· ·· · ··· · · ·7 分

OM =_!_CD=l. 2 :. AB = AN+NB = AN+OM = 2. ….......… ·········································8 由 (I ）知 OM II AB , A AB c 平面 ABD, OM CZ 平面 ABD, OM II 平面 ABD.
．点 M 到平面 ABD 的距离等于点。到平面 ABD 的距离．

分

作 OK ..l BD ，垂足为 K ,

·: AB ..l 平面 BCD, OK c 平面 BCD, :. OK ..l AB. γ AB c 平面 ABD , BD c 平面 ABD , ABnBD=B,

c

．刀K ..l 平面 ABD, ?1. 0K=OD·sin60 ＝主
2
在 Rt6 MOB 中， MB= '10M2 +0B2 =2,
在R

…9 分

:.

6 BDM 的面积为S 卡D ↓MB2 愕）＝号
9

设点 A 到平面 BDM 的距离为 h

由 V,

n - u~，川

oru,

=

1 1 V., , on ，干导一 3 ·h·S ＝一 3 ·OK·S AAl>n,
川－ nu~ 山 uυ

得h

二

= OK·S .. … =

主× 1× 2× 2 El
ft
7

s

IY1JJU

…… 10 分

设直线 AM 与平面 BDM 所成的角为 θ ，
则 sinθ ＝一一＝二二二．

h

121

AM

7

…........… ·11 分

．·．直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值为二二二．

、I ) 1

7

···12 分

注：求 h='l:_壶的另法
7
由 V, n
u~. 川川

on u

= V.,

nu~

,on

= V,...
υ

nuυ

,on

=V,
n

onn u~v

＝一×一× 3 2 OD × OB × AB ＝二二 3

1 1

.J马

得.！. .h. ‘ n一空，得 h ＝一一 13 一 'fl - 2ffi
3 3
S

J7 2

7

(20) ( I) 解：依题意，点 P 到点 F(l,O）的距离等于它到直线／I 的距离，

…·

1分

二点 P 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 11: x=-1 为准线的抛物线 .........… ·2 分

．·．曲线 C 的方程为 y2

=4x.

............... 3

分

( II ）解法 1 ：设点 p （句，时，点 M(-1,m），点 N(-1,n),

直线 PM 方的：问号主（川 1) '
化简得，（ Y1。－ m) x -(-'i。＋ l)y+(y0 -m)+m(x0 +1) = 0.
·: 1::,. PMN 的内切圆方程为 χ2

…4 分

+ y 2 = 1,
jy0-m+m(x0+I)j = l

．·．圆心（0, 0）到直线 PM 的距离为 1 ，即 I

,V(Yo

-mr
')

句

＋（ χ。＋ 1r

故（ Yo - m) 2 + ( X 0 + 1)2 = ( Yo - m) 2 + 2m ( Yo - m) ( X0 + 1) + m2 ( X0 + 1)2
10

易知与＞ 1 ，上式化简得，（x.。一l)m2 +2y0m一（x0+ l) = O . … · ···· · ···· ·····6 分

同理，有（ x0 - l)n2 +2y0n 一（x0+ 1) = 0.
:.m, n 是关于 r 的方程（与一l)t2 + 2y0t 一（x0+1)=0 的两根

…7 分

.·. m+n ＝－一一，

- 2y0

x。一 1

mn －－一一一一一一．

_ -(x0+1)
x.。一 1

…8 分

｜削I =lm-nl ＝」（m叫2 - 4mn = ／」L ＋坐二~
“( x.。一 1)2

与一 l

·．· 对＝ 4布， J YoJ= 2罚，

｜阳｜＝间主一＋但土豆＝ 2.Jxi +4冉一1
川（冉一 1)2 与－1

V (xo 一 1)2

＝三豆 =l~I 直线 PF 的斜率k ＝半一，则iki lxo- 11 ｜与一 11 与一 1
…… 10 分

函数 y ＝ → 在（1 倒）上单调递增，
．·· 与－土＞ l - 1=0.
x.0

．·．与＿ _!_ +4>4 .
Xo

l l ·. O ＜＜一． 1 ? 4
。一＋ 4 x

…···.. ··· 11 分

坝。

1 lkl ·.o < 一一一＜一

JMNJ 2
飞 j
.................….........……................... 12 分

（丁 Jkl .· 一一一的取值范围为 J O，一｜．
JMNJ

解法 2：设点 p (Xo,Yo ），点 M(-1月），点 N(-1，吟，
11

直线 PM 的方程为 y -m =k, (x+l) , 巨p k1x-y+k, +m=O,
．· 直线 PM 与圆对＋ y2 =1 相切，

……… 4 分

揣一1
.

k. 一 ζ丘
’

-

2m

…………… ··5 分

直线阳的方的 y- m ＝守（计1).
．· 点 P 在直线 PM 上，

川＝~·（x0+ l).
易知与＞ 1 ，上式化简得，（x.。一 l)m2 +2y0m 一（x0 +1) = 0 .................…··6 分

同理，有（与一l)n2 +2y0n 一（x0+1)= 0 .

… …… ……………… ……… ………7 分

二 m,n 是关于 t 的方程（Xo - l)t2 + 2yof 一（x0+1)=0 的两根

-2yo .. m+n ＝一一一，
x。一 1

mn －一－一一一．

－一（x0+ 1)
x。一 1

…........………….........…………… ·8 分

/ m+n)2 - 4mn = :. IMNI=lm-nl=~(
V

／一一一＋－一一
11

f 4yi

（与一 1)2

4(x0 +1) 冉一1

．．．．．．．．．… …9 分

·．· 对＝ 4布， I Yol = 2苟，

t 16刊 4 （与＋ 1) = 2 fxi +4扩1 斗MNI= I一一一＋一一－ ? I V (xo-1)2 与一 I “ （xo 一 1)2

--2'.LI = 三豆直线 PF 的斜率k ＝半一，则 lkl = 1
与－ 1 ｜与一 I I
.

lxo 一 11

.

IMNI

J lkl _ .I

Xo

~xi+4与一 1

= I/

1/ X0 一工＋ 4

.... ........ .... ..........….........… ·10 分

函数 y=x卡（1，倒）上单调递增
12

:. Xo 一土＞ 1 一 1 = 0 . x.0 : . X0 _ __!__ + 4 > 4. x.0
<
一

<
－ AU寸

1 4

-

1

…＇＂ 11 分

一一 1 句

一＋

1 lkl : . 0 ＜一一一一＜一｜阳I 2
·一一一的取值范围为｜（）－｜．

lkl IMNI

解法 3：设点 P (xo,Yo ），直线 PM 的方程为 y - yo = ls (x-x。），即件 p 缸 I~冲。＝
令 x= -1 ，得 YM = Yo -k1 (l+xo) ,

: . M(-l,y0-k1(l+x0)).
．· 直线 PM 与圆 x2+/= 1 相切，

. l-k1Xo + Yol _ 1
5古－

化简得，（1 -x; )k12 +2x0y0k1 + 1 一对＝ 0
同理，设直线 PN 的方程为 y-yo =k2(x -xo ) ,

则点 N(-l, y0 -k2 (l+x0 ）），且（1 -xi ）乓＋ 2x0y0k2 + 1- y; =0.
:. k，，鸟是关于 k 的方程（ 1 -xn k2 +2x.山k +1- y~ =0 的两根
k‘＋丸＝一县立，

依题意，与＞ 1 ，对＝ 4刊

+ x0)( k1 - k2 )I :. IMNI = 1(1

与

( 飞’ 2 )"

1

........….... ... ..…....... ..…................... 1 2 分

0,

…... ... ..… ·4 分

...
……… ……·

5分

…

…6 分

2XoYo x;-1

k儿＝」g._
‘

Y~ 一 1 x;- 1

............. ..........….. 7 分

… · ·· · ······ 8 分

=(1付。））（k1 吨)2-4klk2
13

＝川，／（如）＇毕业
＝ ~忡忡1 9分
lxo 一 11 机一 11

直线 PF 的斜率k ＝斗一，则ikl =l_]:Q_I=2豆
一l

I 1 . lkl _ .II 与－ - I ｜叫 ~ xi ＋伺一l \ {Xo －土＋ 4
函数 y =x卡（1，倒）上单调递增
·· 与一土＞ 1 一1 = 0.
Xo

...... ...... ....... .. ... ..….. .......… ·10 分

．·· 与一土＋ 4 > 4.
X.0

·. O<

与－→＋ 4
尺。

1 1

＜一.

1 4

..............

. .......…· ·· ·· ... ··· 11

分

1 :. 0 < 一一一一＜一

lkl IMNI 2
人’ 2)"
.. .... .................. ... ......... .. … .. ..... .. … ·12 分

l ( lkl .· 一一一的取值范围为 1 0 一｜．
jMNI

解法 4：设点 p （布， Yo ），如图，设直线 PM , PN 与圆。相切的切点分别为 R , T ,

依据平面几何性质，得阳｜＋阳l=2IPRl +I叫，

........ . … · · 什

由 SMMN =~I阳｜（川）＝~（I阳 l+ IPMl+I川1)-IORI
得｜阳｜（与＋ 1）＝阳｜咿Mj ＋阳｜，
得｜阳｜（与＋ 1) =2IPRl+ 21叫－…6 分
M

·5 分

得｜叫 . (x.。一1) =2jPRI =2币牙1
14

7分

N

故 IMNI = 2」x~ + y；一l
X0

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．… … ··8 分

- 1

依题意，与＞ 1 ，对＝ 4与

｜阳｜＝古忡忡1

9分
X。一 11 lxo 一 11

直线 PF 的斜率k ＝」－，则 lkl = l--1:L.I= 三主
与一 l

I i － I . lkl _.II 与 IMNI Vx~ +4x0 -1 ＼／扩土＋ 4
V
Xo

······· ····· ·· ….........….. .... ... … · 10 分

函数 y=x卡（1，倒）上单调递增
·· 与一土＞ 1-1 =0.
Xo

二句一土＋ 4 > 4.
Xo

·. 0<

1 1 。一一＋ 4 x x。
A

1. ＜一
4

........…·……………· · .. · · ·· 11

分

1 :. 0 ＜一一一一＜一 2

lkl IMNI

. lkl
(21)

·一一一的取值范围为 10 一｜．

( l

IMNI

飞 2)"

.............................. ...........…· ··· ··· ··· 12 分

( I ）解：当 α ＝一1 时！（归－x +x ＇则 f'(x）＝卡 l
令 f’（x)=O ，得 x= O.
当 x<O 时， f’ （x)<O ；当 x>O 时， f’ （x)>O.

l分

…. ......….......… ···· ···2 分

．·．函数 f ( x）在区间（叫 0）上单调递减，在区间（0，叫上单调递增二当 x= O 时，函数 f (x）取得最小值，其值为 f(O)=l. ··· ··· ··········· ·· · ····3 分

( II ）解：若 X 主 0 时， J(-x)+ln(x+l）孔，！＝！P ex ＋以＋ ln(x + l) - 1 主 0. (*) 令 g(x) =ex ＋似＋ ln(x+ l)-L
15

则 g’（归＇＋ ~ ＋ a.
①若 α 兰－2 ，由（ I) 知 e x +x 主 1,

ep e

x 注 I- x ，故 ex 主 I+ x.

内）＝白毛＋叫什牛毛＋位 2，.，／（计 1）毛＋α ＝ 2 ＋位。
X+ l
X十I

V

X+l

…4 分

．·．函数 g (x）在区间［o，叫上单调递增

:. g( x）二 g(O) =0 .
二（中）式成立．
. .. .....…. ... .....…. ... .....… ·5 分

②和＜－2 ，令伊（归x ＋ ~ ＋ α
则 ψ’ （ x) = ex 一一一一

一（ X + 1)2 ex - I ＞。
(x+ 1)2

(x+1)2

．·．函数 ψ（x）在区间［o，叫上单调递增

由于伊（0)=2+a < O， ψ（－a)= e-a ＋」一＋ a~ I -a ＋＿＿！＿＿＋ α ＝ 1+__!_>0.
I-a I-a I-a
… ·6 分

故王与 ε （0, -a），使得 ψ（x0 )=0.
则当 0 <x<x0 时， ψ（x）＜ ψ（x0) =0 ，即 g’ （x) < O . 二函数 g (x）在区间（0,x0 ）上单调递减

….. 7 分

·.

g (x0 ) <g (O)=O ，即（＊）式不恒成立

…

· ……

. .

. .. ...

8分

综上所述，实知的取值范围是［－2，叫 …
(III）证明由（ II ）知，当 α ＝－2 时，

…… ?

…·9 分

g ( x) = ex - 2x + In ( x + 1) - 1 在［o，叫上单调递增

叫：）＞ g(O），即 ι1叫：＋1)-l > O.
2 3－
：

J 即如那 L L J 连 α

>

… … .................…""""" 11 分
<
J
，

h
：

、，

Z

3 2C

-

2 3二

F 啊 ι

"" "' 12 分

吁明

db

··

班B

c 飞

。中叶，由

J

=

C

16

L_CAB ＝丘CAD .

…... . ....….........……·）分

AB 是圆 0 的直径，

OC = OA.
4乙CAB ＝丘ACO. …... . ....….........…… ·2 分

ζCAD ＝ ζACO.

AE II OC. CF 1- AE, CF 1- 0C.
( II ）解： ·：
．．

································… ·3 分

·········· ·· ·····…… ··········· ·· ···4 分

B

CF 是圆 0 的切线 ..................… ··········5 分

AB 是圆 0 的直径，
ζACB=90 ，即 AC
正三CAB ＝ ζCAD,

1-BE.

·．点 C 为 BE 的中点．

·.

BC = CE = CD = 4.

…........……………… ··········6 分
………........….........……… · 7 分

由割线定理： EC·EB=ED·EA ，且 AE=9.

得 ED=9
在 A CDE 中， λ DF ＝一－． CD=CE,

32

……………………………………………………盼

CF

1-DE ，则 F 为 DE 的中点．
．．．．．．．．．．．．… 9 分

16 9

在 Rt FD 中 CF 二 '1c川叫t 一 J~ 全F
CF 的长为2亟
( 23 ) (I ）解：剧

ω

Ix= J3 cosθ.
、v

[ y =sin θ，

’ 得一＋扩＝ L

x2
3

。

阳的直由方程为二＋／＝ 1.
~

……2 分

由 ρsin（θ ＋主） = .fi. ，得 ρr sin ecos!!_ + cosθsin 至｜＝在，… .......… ··3 分
4 4J
化简得， ρsinθ ＋ ρcosθ ＝ 2 , …4 分

:.x+y=2.
二直线 l 的直角坐标方程为 x+y = 2.

…5 分

（州法 1 ：由于点 Q 是曲线 C 上的点，则可设点 Q 的坐标为（ '13 cos e, sinθ），
17

6分

点 Q 到直线l 的距离为 d = IJ3cosθ：！in θ－ 21
2coslθ 一主 1 -2

……····· ··· ·· · ·· · ··· ？分

-

、－6)

1. …… ·············· · ······ · ····· ··· ···8 分

叫叫＝－1 时 dmax 古＝ 2占
·．点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2'12.
解法 2 ：设与直线 l 平行的直线 l ’ 的方程为 x+y =m,

9分
. ... .... ....... .. .…····· · ··········· 10 分

1x+ y=m, 消去 y 得 4x2 - 6mx+3m2 -3 = 0, 叫由↓ x2
｜亏＋户 L

…6 分

令 Ll = (6m}2-4 ×4 ×( 3m2 - 3) = 0,
解得 m =±2 .

………… … ·· ·· · ···7 分
..... . . . … ·· ······8 分

人直线 l ’的方程为 x+ y=-2 ，即 x +

y+ 2=0 .

·．两条平行直线 l 与 l’ 之间的距离为 d ＝~＝ ? Fi 2F2.
．·．点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2'12-.
C24) ( I ）解：由题设知： lx +ll+lx －习＞ 7,
①当 x>2 时，得 x+l+x - 2 > 7 ，解得 x>4. ②当 I 三 x 至 2 时，得 x+ 1 +2 -x> 7 ，无解．

9分
… 10 分

…· l

分

… ........... ... . .……. . ......…2 分 .... .. ..… .... . . ........ ...… ··· ····· 3 分

③当 x< l 时，得－x- l -x+ 2 > 7 ，解得 x<-3.

· ·· ······ ······ ···· ·· ······· ·· …4 分

．·．函数 f(x）的定义域为（咽，－3) U(4，倒）

….................. .... .......................

·· ·· ····· ·· 5 分
…··

( II ）解：不等式 f(x）主 3 ，即 Jx +lJ + Ix 一斗三 α ＋ 8,

6分

γ xε R 时，恒有 Ix+ ti +lx - 21 呈 l(x + l ）一（ x-2)1 = 3, ········ · · · ·····….. . .. .. …·8 分

又不等式 Jx ＋斗＋ Jx 一斗＝ α ＋ 8 fi晖集是 R,
．·． α ＋ 8 三二 3,

ep a~二－5.

… ··········9 分
… 10 分

．·． α 的最大值为－5.

18

2016年广州市普通高中毕业班综合测试二理科数学

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