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2015高考数学二轮复习热点题型-数列、不等式



数列、不等式

? ?n=1? ?S1 1.已知前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+?+an,则 an=? . ?Sn-Sn-1 ?n≥2? ?

由 Sn 求 an 时,易忽略 n=1 的情况. [问题 1] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+1,则 an=________.
?2, ? 答案 ? ?2n-1, ?<

br />
n=1 n≥2

2.等差数列的有关概念及性质 (1)等差数列的判断方法:定义法 an+1-an=d(d 为常数)或 an+1-an=an-an-1(n≥2). (2)等差数列的通项:an=a1+(n-1)d 或 an=am+(n-m)d. (3)等差数列的前 n 项和:Sn= (4)等差数列的性质 ①当公差 d≠0 时,等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)· d=dn+a1-d 是关于 n 的一次函数, n?n-1? d 2 d 且斜率为公差 d; 前 n 项和 Sn=na1+ d= n +(a1- )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 2 2 2 0. ②若公差 d>0,则为递增等差数列;若公差 d<0,则为递减等差数列;若公差 d=0,则为常数 列. ③当 m+n=p+q 时,则有 am+an=ap+aq,特别地,当 m+n=2p 时,则有 am+an=2ap. ④Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等差数列. [问题 2] 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=12,S20=17,则 S30 为( A.15 B.20 C.25 D.30 答案 A 3.等比数列的有关概念及性质 an+1 an+1 an (1)等比数列的判断方法:定义法 =q(q 为常数),其中 q≠0,an≠0 或 = (n≥2).如 an an an-1 5 一个等比数列{an}共有 2n+1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an+1= . 6 (2)等比数列的通项:an=a1qn
-1

n?a1+an? n?n-1? ,Sn=na1+ d. 2 2

)

或 an=amqn

-m

.

a1?1-qn? a1-anq (3)等比数列的前 n 项和:当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q 易错警示:由于等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要 判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,要 对 q 分 q=1 和 q≠1 两种情形讨论求解. (4)等比中项:若 a,A,b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项.值得注意的是,不是 任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个,即为± ab.如已知两个正 数 a,b(a≠b)的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为 A>B. (5)等比数列的性质 当 m+n=p+q 时,则有 am· an=ap· aq,特别地,当 m+n=2p 时,则有 am· an=a2p. [问题 3] (1)在等比数列{an}中, a3+a8=124, a4a7=-512, 公比 q 是整数, 则 a10=________. (2)各项均为正数的等比数列{an}中,若 a5· a6=9,则 log3a1+log3a2+?+log3a10=________. 答案 (1)512 (2)10 4.数列求和的方法 (1)公式法:等差数列、等比数列求和公式; (2)分组求和法; (3)倒序相加法; (4)错位相减法; (5)裂项法; 1 ? 1 1 1 1 1 1 如: = - ; = ? - . n?n+1? n n+1 n?n+k? k ?n n+k? (6)并项法. 数列求和时要明确:项数、通项,并注意根据通项的特点选取合适的方法. 1 [问题 4] 数列{an}满足 an+an+1= (n∈N,n≥1),若 a2=1,Sn 是{an}的前 n 项和,则 S21 的 2 值为________. 答案 9 2

5.在求不等式的解集、定义域及值域时,其结果一定要用集合或区间表示,不能直接用不等 式表示. [问题 5] 不等式-3x2+5x-2>0 的解集为________. 2 ? 答案 ? ?3,1? 6.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数,必须讨论这个数的正负.两个不等式相乘 时,必须注意同向同正时才能进行. [问题 6] 已知 a,b,c,d 为正实数,且 c>d,则“a>b”是“ac>bd”的________条件.

答案 充分不必要 a+b 7.基本不等式: ≥ ab (a,b>0) 2 (1)推广: a2+b2 a+b 2 ≥ ≥ ab≥ (a,b>0). 2 2 1 1 + a b

(2)用法:已知 x,y 都是正数,则 ①若积 xy 是定值 p,则当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 p; 1 ②若和 x+y 是定值 s,则当 x=y 时,积 xy 有最大值 s2. 4 易错警示:利用基本不等式求最值时,要注意验证“一正、二定、三相等”的条件. 1 4 [问题 7] 已知 a>0,b>0,a+b=1,则 y= + 的最小值是________. a b 答案 9 8.解线性规划问题,要注意边界的虚实;注意目标函数中 y 的系数的正负;注意最优整数解.
?x≥0, ? [问题 8] 设定点 A(0,1),动点 P(x,y)的坐标满足条件? 则|PA|的最小值是________. ? ?y≤x,

答案

2 2

易错点 1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误 例 1 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=S9,则数列的公比 q 是________. 错解 -1 找准失分点 当 q=1 时,符合要求.很多考生在做本题时都想当然地认为 q≠1. 正解 ①当 q=1 时,S3+S6=9a1,S9=9a1, ∴S3+S6=S9 成立. ②当 q≠1 时,由 S3+S6=S9 得 a1?1-q3? a1?1-q6? a1?1-q9? + = 1-q 1-q 1-q

∴q9-q6-q3+1=0,即(q3-1)(q6-1)=0. ∵q≠1,∴q3-1≠0,∴q6=1,∴q=-1. 答案 1 或-1 易错点 2 忽视分类讨论或讨论不当致误 例 2 若等差数列{an}的首项 a1=21,公差 d=-4,求:Sk=|a1|+|a2|+|a3|+?+|ak|. 错解 由题意,知 an=21-4(n-1)=25-4n,

25 因此由 an≥0,解得 n≤ ,即数列{an}的前 6 项大于 0,从第 7 项开始,以后各项均小于 0. 4 |a1|+|a2|+|a3|+?+|ak| =(a1+a2+a3+?+a6)-(a7+a8+?+ak) =2(a1+a2+?+a6)-(a1+a2+?+a6+a7+a8+?+ak) =2k2-23k+132 所以 Sk=2k2-23k+132. 找准失分点 忽视了 k≤6 的情况,只给出了 k≥7 的情况. 25 正解 由题意,知 an=21-4(n-1)=25-4n,因此由 an≥0,解得 n≤ ,即数列{an}的前 6 4 项大于 0,从第 7 项开始,以后各项均小于 0. 当 k≤6 时, Sk=|a1|+|a2|+?+|ak|=a1+a2+?+ak =-2k2+23k. 当 k≥7 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|ak| =(a1+a2+a3+?+a6)-(a7+a8+?+ak) =2(a1+a2+?+a6)-(a1+a2+?+a6+a7+a8+?+ak) =2k2-23k+132,
?-2k2+23k ?k≤6? ? 所以 Sk=? 2 . ? ?2k -23k+132 ?k≥7?

易错点 3 忽视等比数列中的隐含条件致误 例 3 各项均为实数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40=________. 错解 150 或-200 找准失分点 数列 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30 的公比 q10>0.忽略了此隐含条件,就产生 了增解-200. 正解 记 b1=S10,b2=S20-S10,b3=S30-S20,b4=S40-S30, b1,b2,b3,b4 是以公比为 r=q10>0 的等比数列. ∴b1+b2+b3=10+10r+10r2=S30=70, ∴r2+r-6=0,∴r=2 或 r=-3(舍去), 10?1-24? ∴S40=b1+b2+b3+b4= =150. 1-2 答案 150 易错点 4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误 1 1 a+ ?2+?b+ ?2 的最小值. 例 4 已知:a>0,b>0,a+b=1,求? ? a? ? b?

1?2 ? 1?2 1 1 2 2 错解 由? ?a+a? +?b+b? =a +b +a2+b2+4 2 ≥2ab+ +4≥4 ab 1 ab· +4=8, ab

1 1 a+ ?2+?b+ ?2 的最小值是 8. 得? a ? ? ? b? 找准失分点 两次利用基本不等式,等号不能同时取到. 1 1 a+ ?2+?b+ ?2 正解 ? ? a? ? b? 1 1? 1 1 =a2+b2+ 2+ 2+4=(a2+b2)+? ?a2+b2?+4 a b 1 1?2 2 ? =[(a+b)2-2ab]+?? ?a+b? -ab +4

?

?

1 ? =(1-2ab)? ?1+a2b2?+4 由 ab≤? 且 a+b?2 1 1 1 ? 2 ? =4,得 1-2ab≥1-2=2,

1 1 ≥16,1+ 2 2≥17. a2b2 ab

1?2 ? 1?2 1 25 1 25 ∴原式≥ ×17+4= (当且仅当 a=b= 时,等号成立),∴? ?a+a? +?b+b? 的最小值是 2 . 2 2 2

1.在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7 等于( A.10 C.20 答案 C B.18 D.28

)

解析 因为 a3+a8=10,所以由等差数列的性质,得 a5+a6=10, 所以 3a5+a7=2a5+2a6=20,选 C. 1 1 2.若 < <0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b 中,正确的不等式有( a b A.0 个 C.2 个 答案 B 1 1 解析 由 < <0,得 a<0,b<0, a b 故 a+b<0 且 ab>0,所以 a+b<ab,即①正确; 1? ?1? 1 1 由 < <0,得? ?a?>?b?, a b B.1 个 D.3 个 )

两边同乘|ab|,得|b|>|a|,故②错误; 由①②知|b|>|a|,a<0,b<0,所以 a>b,即③错误,选 B. 1 1 3.已知,x>1,y>1,且 ln x, ,ln y 成等比数列,则 xy 有( 4 4 A.最小值 e C.最大值 e 答案 A ln x+ln y 2 1 1 1 1 1 解析 x>1,y>1,且 ln x, ,ln y 成等比数列, ln x· ln y=( )2,即 =ln x· ln y≤( ), 4 4 4 4 4 2 ln x+ln y≥1,ln xy≥1,故 xy≥e. 4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10∶S5=1∶2,则 S15∶S5 等于( A.3∶4 C.1∶2 答案 A 解析 ∵{an}是等比数列, ∴S5,S10-S5,S15-S10 也构成等比数列, 记 S5=2k(k≠0),则 S10=k,可得 S10-S5=-k, 1 3 进而得 S15-S10= k,于是 S15= k, 2 2 3 故 S15∶S5= k∶2k=3∶4. 2 5.把一数列依次按第一个括号内一个数,第二个括号内两个数,第三个括号内三个数,第四 个括号内一个数,?循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),?,则第 50 个括号内各数之和为( A.195 C.392 答案 C 解析 将三个括号作为一组,则由 50=16×3+2,知第 50 个括号应为第 17 组的第二个括号, 即第 50 个括号中应是两个数.又因为每组中含有 6 个数,所以第 48 个括号的最末一个数为 数列{2n-1}的第 16×6=96 项,第 50 个括号的第一个数应为数列{2n-1}的第 98 项,即为 2×98-1=195,第二个数为 2×99-1=197,故第 50 个括号内各数之和为 195+197=392. 故选 C. 6.已知点 A(m,n)在直线 x+2y-1=0 上,则 2m+4n 的最小值为________. 答案 2 2 解析 点 A(m, n)在直线 x+2y-1=0 上, 则 m+2n=1; 2m+4n=2m+22n≥2 2m· 22n=2 2m
+2n

)

B.最小值 e D.最大值 e

)

B.2∶3 D.1∶3

) B.197 D.396

=2 2. ?a+b?2 7. 已知 x>0, y>0, x, a, b, y 成等差数列, x, c, d, y 成等比数列, 则 的最小值是________. cd 答案 4 解析 由 x,a,b,y 成等差数列知 a+b=x+y,① 由 x,c,d,y 成等比数列知 cd=xy,② ?a+b?2 ?a+b?2 ?x+y?2 x2+y2+2xy ?a+b?2 把①②代入 得 = = ≥4,∴ 的最小值为 4. cd cd xy xy cd

?0≤x≤ 8.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2 ?x≤ 2y
答案 4

2 给定.若 M(x,y)为 D 上的

→ → 动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z=OM· OA的最大值为________.

→ → 解析 画出可行域 D,如图中阴影部分所示,而 z=OM· OA= 2x+y, ∴y=- 2x+z, 令 l0:y=- 2x, 将 l0 平移到过点( 2,2)时, 截距 z 有最大值, 故 zmax= 2× 2+2=4. a ? ??4-2?x+4?x≤6?, 9.已知函数 f(x)=? (a>0,a≠1).数列{an}满足 an=f(n)(n∈N*),且{an} -5 x ?a ?x>6? ? 是单调递增数列,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (4,8) 解析 ∵{an}是单调递增数列, 4- >0 ? ? 2 ∴?a>1 a ? ??4-2?×6+4<a ∴4<a<8. 10.已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 8Sn=a2 n+4an+3,且 a2 是 a1 和 a7 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; an+3 (2)符号[x]表示不超过实数 x 的最大整数,记 bn=[log2( )],求 b1+b2+b3+?+b2n. 4 a a<8 ? ? ,?a>1 , ? ?a<-7或a>4

2

解 (1)由 8Sn=a2 n+4an+3,① 知 8Sn-1=a2 n-1+4an-1+3(n≥2,n∈N).② 由①-②得 8an=(an-an-1)(an+an-1)+4an-4an-1, 整理得(an-an-1-4)(an+an-1)=0(n≥2,n∈N). ∵{an}为正项数列, ∴an+an-1>0, ∴an-an-1=4(n≥2,n∈N). ∴{an}为公差为 4 的等差数列,由 8a1=a2 1+4a1+3,得 a1=3 或 a1=1. 当 a1=3 时,a2=7,a7=27,不满足 a2 是 a1 和 a7 的等比中项. 当 a1=1 时,a2=5,a7=25,满足 a2 是 a1 和 a7 的等比中项. ∴an=1+(n-1)4=4n-3. an+3 (2)由 an=4n-3 得 bn=[log2( )]=[log2n], 4 由符号[x]表示不超过实数 x 的最大整数知,当 2m≤n<2m
+1

时,

[log2n]=m,所以令 S=b1+b2+b3+?+b2n=[log21]+[log22]+[log23]+?+[log22n] =0+1+1+2+?+3+?+4+?+n-1+?+n. ∴S=1×21+2×22+3×23+4×24+(n-1)×2n 1+n,①


2S=1×22+2×23+3×24+4×25+(n-1)×2n+2n.② ①-②得 -S=2+22+23+24+?+2n 1-(n-1)2n-n




2?1-2n 1? -(n-1)2n-n=(2-n)2n-n-2, 1-2


∴S=(n-2)2n+n+2, 即 b1+b2+b3+?+b2n=(n-2)2n+n+2.



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