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福建省2013届高考数学一轮总复习 第26讲 平面向量的概念及线性运算 课件 文 新课标



1.理解向量的有关概念,平面向量 基本定理以及平面向量的坐标概念. 2.掌握向量的几何表示、实数与向 量的积的概念及运算,掌握平面向量的 坐标运算. 3.理解平面向量共线的充要条件, 会判断向量是否共线、垂直.

1.向量的有关概念 既有① 又有② 的量叫做向量. ③ 的向量叫做零向量,记作0,规 定零向量的方向是任意的. ④ 的向量叫做单位向量. 方

向⑤ 的⑥ 向量叫做平行向 量(或共线向量). ⑦ 且⑧ 的向量叫做相等向量. ⑨ 且⑩ 的向量叫做相反向量.

2.向量的表示方法 用小写字母表示,用有向线段表示, 用坐标表示. 3.向量的运算

加法、减法运算法则:平行四边形法 则、三角形法则.
实数与向量的积:实数λ与向量a的积 是一个向量,记作λa,它的长度和方向规 定如下:

(1)|λa|=

11

;

(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向 12 当λ<0时,λa的方向与a的方向 13 14 λ=0时,λa= .
运算律:交换律、分配律、结合律. 4.平面向量共线定理

; ;当

向量b与非零向量a共线的充分必要条件 是 15 .

5.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内两个 16 的 向量,那么对这个平面内任一向量 17 a, .实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
6.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底, 18 对任一向量a, x、y,使得 a=xi+yj,则实数对 19 叫做向量a的直角坐标,

记作a=(x,y),其中x、y分别叫做a在x轴、y 轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量a的坐标表示. 相等的向量坐标 20 向量是 21 的向量. ,坐标相同的

1.化简以下各式: → → → (1)AB+BC+CA; → → → → (2)AB-AC+BD-CD; → → → (3)OA-OD+AD; → → → → (4)NQ+QP+MN-MP.

其中结果为零向量的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4

)

→ → → → → 【解析】对于(1),AB+BC+CA=AC+CA=0; → → → → → → → → 对于(2),AB-AC+BD-CD=(AB+BD)-(AC+CD) → → =AD-AD=0; → → → → → 对于(3),OA-OD+AD=DA+AD=0; → → → → → 对于(4), +QP+MN-MP=(NQ+QP)+(MN-MP) NQ → → → → → =NP+PN=0.

2.e1, 2 为基底向量,→ =e1-ke2,→ =2e1+e2,→ e AB CB CD =3e1-e2,若 A、B、D 三点共线,则 k 的值是( A.2 C.-2 B.-3 D.3 )

→ → → 【解析】BD=CD-CB=3e1-e2-2e1-e2=e1-2e2. → 因为 A、 D 三点共线, B、 所以存在 λ∈R, → =λBD. 使AB 而 e1-ke2=λ(e1-2e2)=λe1-2λe2.
?λ=1 所以? ?k=2. ?-k=-2λ

→ 3.(2011· 福州质检)如图, 正六边形 ABCDEF 中, BA → → +CD+EF=( A.0 → C.AD ) → B.BE → D.CF

→ → → → → → → 【解析】 BA+CD+EF=CD+DE+EF=CF,选 D.

→ → 4.(2012· 福建三校)若AB=3e1,→ =-5e1, → |=|BC CD 且|AD |,则四边形 ABCD 是( A.平行四边形 C.等腰梯形 ) B.菱形 D.不等腰梯形

→ =3e1,CD=-5e1,所以CD=-5AB, → → → 【解析】 因为AB 3 → → → → 所以AB与CD平行且方向相反,易知|CD|>|AB|, → → 所以四边形 ABCD 是等腰梯形. 又因为|AD|=|BC|,

5.下列命题中正确的是 ④ ①若 λa+μb=0,则 λ=μ=0; ②若 a· b=0,则 a∥b;

.

③若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a|; ④若 a⊥b,则 a· b=(a· 2. b)

【解析】根据平面向量基本定理,必须在 a,b 不共线 的情况下,若 λa+μb=0,则 λ=μ=0;命题②显然错误; 若 a∥b, a 在 b 上的投影为|a|或-|a|, 则 两向量平行时分两 向量所成的角为 0° 180° 和 两种情况;a⊥b?a· b=0,(a· 2 b) =0.



平面向量的基本概念

【例 1】 判断下列各题是否正确: (1)向量 a 与向量 b 平行, a 与 b 的方向相同或相反; 则 → → (2)四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是AB=DC; (3)已知 λ,μ∈R,λ≠μ,则(λ+μ)a 与 a 共线; (4)已知 A、B、C 是不共线的三点,O 是△ABC 内的一 → → → 点,若OA+OB+OC=0,则 O 是△ABC 的重心.

【解析】 (1)若其中一个是零向量,则其方向不确定, 故不正确.

长度相等的向量.

如图所示,以 OB、OC 为相邻的两边作平行四边形 BOCD, → → → 则OD=OB+OC, → → 所以OD=-OA,

→ 在平行四边形 BOCD 中, BC 与 OD 相交于 E, = 设 BE → EC, → → 则OE=ED. → → 所以 AE 是△ABC 的边 BC 的中线,且|OA|=2|OE|. 所以 O 是△ABC 的重心,故正确.

→ AB → 【点评】(1) 表示与AB同方向的单位向量.(2)向 → |AB| 量的基本概念、几何意义常在客观题中出现,要求学生 概念清晰,并能灵活运用.

素材1

已知下列命题:①若 k∈R,且 kb=0,则 k=0 或 b =0;②若 a· b=0,则 a=0 或 b=0;③若不平行的两个 非零向量 a,b,满足|a|=|b|,则(a+b)· (a-b)=0;④若 a 与 b 平行,则 a· b=|a|· |b|,其中真命题的个数是 2 .

【解析】①是正确的;②仅得 a⊥b,故②不正确;③(a +b)· (a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,是正确的;④两向量平 行 时 分 两 向 量 的 夹 角 为 0°和 180°两 种 情 况 , a· = b |a|· |b|cosθ± |b|,故④是错误的. |a|·



向量的线性运算

【例 2】如图所示,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、 → AC 边的中点,M、N 分别是 DE、BC 的中点,已知BC= → → → → a,BD=b,试用 a、b 分别表示DE、CE和MN.

【点评】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解 题的基本功,除利用向量的加法、减法、数乘向量外,还 应充分利用平面几何的一些基本定理,活用闭合向量和为 零向量;因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三 角形中,利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等 平面几何性质,把未知量转化为与已知向量有直接关系的 向量求解.

素材2

已知点 O(0,0), A(1,2), B(4,5), 为一动点, → = P 及OP → → OA+tAB. (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二 象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出 相应的 t 值;若不能,请说明理由.

【解析】(1)设 P(x,y),则(x,y)=(3t+1,3t+2), 2 1 t=-3时,P 在 x 轴上;t=-3时,P 在 y 轴上.
?3t+1<0 2 1 当 P 在第二象限时,由? ,解得-3<t<-3. ?3t+2>0

→ → (2)若四边形 OABP 为平行四边形,则OP=AB=(3,3), → → → 又OP=OA+tAB,即(3,3)=(3t+1,3t+2),
?3t=2 所以? ,矛盾. ?3t=1

所以四边形 OABP 不能构成平行四边形.



共线向量基本定理及应用

→ 【例 3】(1)设两个非零向量 a 与 b 不共线,若AB=a → → +b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A、B、D 三点 共线. (2)(2011· 北京卷)已知向量 a=( 3,1),b=(0, -1),c=(k, 3),若 a-2b 与 c 共线,则 k=________.

→ → → 【解析】 (1)因为AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), → → → → 所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB, → → 所以AB,BD共线, 又因为它们有公共点 B, 所以 A、B、D 三点共线.

(2)因为 a-2b=( 3,3),c=(k, 3),又因为 a-2b 与 c 共线, 方法 1:所以 3× 3-3k=0?k=1.
? 3=λk ?k=1 方法 2:所以 a-2b=λc?? ?? . ?λ= 3 ?3= 3λ

【点评】(1)当 b≠0 时,a∥b?a=λb(λ∈R);或者 a =(x1,y1),b=(x2,y2),若 a∥b?x1y2-x2y1=0. (2)证明三点共线问题,可用向量共线解决:当两向量 共线且有公共点时,才能得出三点共线.

素材3

已知 a=(1,0),b=(2,1), (1)求|a+3b|; (2)当 k 为何实数时, ka-b 与 a+3b 平行?平行时它 们是同向还是反向?

【解析】(1)因为 a=(1,0),b=(2,1), 所以 a+3b=(7,3), 则|a+3b|= 72+32= 58.

(2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因为 ka-b 与 a+3b 平行,所以 3(k-2)+7=0, 1 即得 k=-3, 7 此时 ka-b=(k-2, -1)=(-3, -1), a+3b=(7,3), 则 a+3b=-3(ka-b), 即此时向量 a+3b 与 ka-b 方向相反.

备选例题

已知向量 a、b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b, 如果 c∥d,那么( ) A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向

【解析】取 a=(1,0),b=(0,1). 若 k=1,则 c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,-1), 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k=-1,则 c=-a+b=(-1,1),d=a-b=- (-1,1), 即 c∥d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D.

1.向量的坐标表示主要依据平面向量的 一一对应 ???? 实数对(x,y),任 ? 基本定理,平面向量 ???? ? 何一个平面向量都有惟一的坐标表示,但 是每一个坐标所表示的向量却不一定惟一. 也就是说,向量的坐标表示和向量不是一 一对应的关系,但和起点为原点的向量是 一一对应 ???? OA ? 一一对应的关系.即向量(x,y) ???? ?
一一对应 ???? 点A(x,y).向量的坐标等于表示此 ? ???? ?

向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.

2.向量的坐标表示,实际上是向量的 代数表示,在引入向量的坐标表示后,可 以使向量运算完全代数化,把关于向量的 代数运算与数量的代数运算联系起来,从 而把数与形紧密结合起来,这样很多几何 问题,特别像共线、共点等较难问题的证 明,就转化为熟知的数量运算,也为运用 向量坐标运算的有关知识解决一些物理问 题提供了一种有效方法.

3.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐 标时一定要搞清方向,用对应的终点坐标减 去始点坐标.本讲易忽略点有二:一是易将向量 的终点坐标误认为是向量坐标;二是向量共线 的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆.



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