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四川省新津中学2013届高三一诊模拟考试数学(文)试题(二) Word版含答案



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高 2013 届“一诊”模拟试题二文科数学试题 一、选择题:每题 5 分,共 50 分. 1、函数 y ? tan(2 x ? A. ? B.

?
4

) 的周期是()

? ? C. D. 2? 2 4

/>9 的零点所在的大致区间是() x

2、函数 y ? lg x ?

A. (6,7) B. (7,8) C. (8,9) D. 10) (9, 3、下列结论正确的是() 1 A.当 x ? 0且x ? 1 时,lg x ? 1 ? 2 B. 当x ? 2时, x ? 的最小值为 2 x lg x C.当 x ? 0 时,

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值为 2 D.当 0 ? x ? 2 时, x ?

1 有最大值. x

4、盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的 概率是( ) A.

1 1 4 1 B. C. D. 5 4 5 10

5、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为 1 , 等腰三角形的腰长为 5 ,则该几何体的表面积是( ) A. ( 5 ? 2)? B. (2 5 ? 2)? C. 4 ? 2? D. ( 5 ? 3)?

6、已知定义在区间 (0,

?
2

) 上的函数 y ? 3 sin x 的图象与函数 y ? cos x 的图象的交点为

P,
过 P 作 PP ? x 轴于点 P ,直线 PP 与 y ? tan x 1 1 1 的图象交于点 P ,则线段 PP 的长为() 1 2 2

A. 3

B.

2 3 C. 2 3

D.

3 2

7、如图,若程序框图输出的S是126, 则判断框①中应为 () A. n ? 5? B. n ? 6 ? C. n ? 7 ? D. n ? 8?
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8、如右图,在 ?ABC 中, AN ? 则实数 m 的值为( ) A.

????

??? ? ??? 2 ???? ? 1 ???? NC , P 是 BN 上的一点,若 AP ? m AB ? AC , 3 9

1 9

B

1 3

C. 1

D.

3

9、函数 y ? ln

e x ? e? x 的图象大致为() e x ? e? x

10、给出若干数字按下图所示排成倒三角形, 其中第一行各数依次是 1 , 2 , 3 , … , 2011, 从第二行起每个数分别等于上一行左、右 两数之和,最后一行只有一个数 M, 则这个数 M 是() 2009 A. 2012 ? 2 B. 2011? 22010 C. 2010 ? 22011 D. 2010 ? 22007 二、填空题:每题 5 分,共 25 分.

1 3

2 5 8

3 ..... 2009 2010 ..... ..... ..... M 4019 8040

2011

4021

11、已知 i 为虚数单位,则 1 ? i ? i 2 ? i 3 ? i 4 ? i 5 ? i 6 ? ______. 12、在 ?ABC 中,若 ?B ?

?
4

,b ?

2a ,则 ?C ? .

13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为 数字 0~9 中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后, 甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1 、 a2 , 则 a1 、 a2 的大小关系是_____________. (填 a1 ? a2 , a2 ? a1 , a1 ? a2 之一).

x | 14. 函 数 f ( x) ? | 2 ? 1 ?

a x, |若 存 在 三 个 互 不 相 等 的 实 数 x1 , x 2, x 3, 使 得 |

f ( x )? f ( 2 ) x? 1

,则实数 a ? . f (3x )

15.已知扇形的圆心角为 2? (定值),半径为 R (定值), 分别按图 A、B 作扇形的内接矩形,若按图 A 作出

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1 的矩形面积的最大值为 R 2 tan ? ,则按图 B 作出 2 的矩形面积的最大值为. 高 2013 届“一诊”模拟试题二文科数学试题答题卷 二、填空题:

11、 ;12、 ;13、 ;14、 ;15、 . 三、解答题:共 6 个小题,满分 75 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知 sin( A ? ) ? (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

π 4

π π 7 2 , A?( , ) . 4 2 10

5 sin A sin x 的值域. 2

17.(本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,

AB ? BC , D 为 AC 的中点, AA1 ? AB ? 2 .
(I)求证: AB1 //平面 BC1D ; (II)设 BC ? 3 ,求四棱锥 B ? DAAC1 的体积. 1
C1

A1

A

D B1 C B

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18. 本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x) ? ax ? b 1 ? x 2 ( x ? 0 ) 的图象经过两点 A(0,1) 和 B( 3,2 ?

3) .

(I)求 f ( x) 的表达式及值域; (II)给出两个命题 p : f (m2 ? m) ? f (3m ? 4) 和 q : log2 (m ? 1) ? 1 .问是否存在实数

m ,使得复合命题“ p 且 q ”为真命题?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理
由.

19. 本小题满分 12 分) ( 旅行社为某旅行团包飞机去旅游, 其中旅行社的包机费为 15000 元. 旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅行团的人数不超过 35 人时,飞 ... 机票每张收费 800 元;若旅行团的人数多于 35 人时,则予以优惠,每多 1 人,每个人的机 .. 票费减少 10 元, 但旅行团的人数最多不超过 60 人.设旅行团的人数为 x 人, 飞机票价格为 y 元,旅行社的利润为 Q 元. (I)写出飞机票价格 y 元与旅行团人数 x 之间的函数关系式; (II)当旅行团人数 x 为多少时,旅行社可获得最大利润?求出最大利润.

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2 20.(本小题满分 13 分)已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项的和为 Sn ,数列 an 的前 n * 项的和为 Tn ,且 ? S n ? 2 ? ? 3Tn ? 4, n ? N . 2

? ?

(I)求 a1 、 a2 的值; (II)证明数列 ?an ? 是等比数列,并写出通项公式; (III)若 Sn 2 ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立,求 ? 的最小值;
*

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21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x ,其中常数 a ? 0 . (I)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (II)当 a ? 4 时,是否存在实数 m ,使得直线 6 x ? y ? m ? 0 恰为曲线 y ? f ( x) 的切 线?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由; ( III ) 设 定 义 在 D 上 的 函 数 y ? h( x) 的 图 象 在 点 P( x0 , h( x0 )) 处 的 切 线 方 程 为 ,当 x ? x0 时,若 l : y ? g( x)

h( x ) ? g ( x ) ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? h( x) x ? x0

的“类对称点”。 a ? 4 , 当 试问 y ? f ( x) 是否存在“类对称点”?若存在, 请至少求出一个“类 对称点”的横坐标;若不存在,说明理由.

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高 2013 届一诊模拟试题二文科试题参考答案 BDDCA CBACA 11、 i ;12、

7? ? 2 ;13、 a2 ? a1 ;14. ?2 ;15、 R tan . 12 2

16 、 解 : Ⅰ ) 因 为 (

π π π π 3π π 7 2 , 所 以 ? A? ? , ? A ? , 且 sin( A ? ) ? 4 2 2 4 4 4 10

π 2 . cos( A ? ) ? ? 4 10
因为 cos A ? cos[( A ?

π π π π π π ) ? ] ? cos( A ? ) cos ? sin( A ? ) sin 4 4 4 4 4 4

??

2 2 7 2 2 3 3 ? ? ? ? .所以 cos A ? .????6 分 5 10 2 10 2 5
4 . 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ? 所以 f ( x) ? cos 2 x ?

5 1 3 sin A sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) 2 ? , x ? R . 2 2 2 1 3 因为 sin x ?[?1,1] ,所以,当 sin x ? 时, f ( x) 取最大值 ; 2 2
当 sin x ? ?1 时, f ( x) 取最小值 ?3 . 所以函数 f ( x) 的值域为 [ ?3, ] .

3 2

????????12 分

17、解:(I)连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵四边形 BCC1B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点.
E
A1 A

∵ D 为 AC 的中点,∴ OD 为△ AB1C 的中位线, ∴ OD / / AB1 . ∵ OD ? 平面 BC1D , AB1 ? 平面 BC1D , ∴ AB1 / / 平面 BC1D . ……… 6 分
C1

D

B1

B

O C

(2)∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 AAC1C , 1 ∴平面 ABC ? 平面 AAC1C ,且平面 ABC ? 平面 AAC1C ? AC . 1 1 作 BE ? AC ,垂足为 E ,则 BE ? 平面 AAC1C , 1
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∵ AB ? BB1 ? 2 , BC ? 3 , 在 Rt△ ABC 中, AC ?

AB2 ? BC 2 ? 4 ? 9 ? 13 , BE ?

AB?BC 6 , ? AC 13

∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积 1

1 3 6 1 1 ? 3 ………12 分 V ? ? ? A1C1 ? AD ??AA1 ?BE ? ? 13 ? 2 ? 3 2 6 2 13
18、解: (I)由 f (0) ? 1 , f ( 3) ? 2 ? 3 ,可得 a ? ?1, b ? 1 ,故 f (x) ? 1 ? x 2 ? x (x ? 0) , 由于 f ( x) ?
1 1 ? x2 ? x

在 [0, ??) 上递减,所以 f ( x) 的值域为 (0,1] .

(II)复合命题“ p 且 q ”为真命题,即 p, q 同为真命题。? f ?x ? 在 [0, ??) 上递减, 故 p 真 ? m ? m ? 3m ? 4 ? 0 ? m ?
2

4 且m? 2; 3

q 真 ? 0 ? m ? 1 ? 2 ? 1 ? m ? 3,
4 故存在 m?[ , 2) ? (2,3) 满足复合命题 p 且 q 为真命题。 3

19、解: (I)依题意得,当 1 ? x ? 35 时, y ? 800 ; 当 35 ? x ? 60 时, y ? 800 ? 10( x ? 35) ? ?10 x ? 1150 ;

(1 ?800       ? x ? 35且x ? N ) ????4 分 ?y ? ? (35 ??10 x ? 1150     ? x ? 60且x ? N )
(II)设利润为 Q ,则

(1 ?800 x ? 15000    ? x ? 35且x ? N) ?6 分 Q ? y ? x ? 15000 ? ? 2 ??10 x ? 11500 x ? 15000  (35 ? x ? 60且x ? N )
当 1 ? x ? 35且x ? N 时, Qmax ? 800 ? 35 ?15000 ? 13000 , 当 35 ? x ? 60 时,

Q ? ?10 x 2 ? 1150 x ? 15000 ? ?10( x ?

115 2 36125 ) ? , 2 2

又? x ? N ? 当 x ? 57或58 时, Qmax ? 18060 ? 13000 , 答:当旅游团人数为 57或58 人时,旅行社可获得最大利润 18060 元。 ??12 分 20、解. (I)当 n ? 1 时,由 (a1 ? 2)2 ? 3a12 ? 4 ,解得 a1 ? 1 , 当 n ? 2 时,由 (1 ? a2 ? 2)2 ? 3(1 ? a22 ) ? 4 ,解得 a2 ?
2 2

1 ;………2 分 2

(II)由 (S n ? 2) ? 3Tn ? 4 ,知 (S n?1 ? 2) ? 3Tn?1 ? 4 ,两式相减得
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2 (S n?1 ? S n )(S n?1 ? S n ? 4) ? 3an?1 ? 0 ,即 (S n?1 ? S n ? 4) ? 3an?1 ? 0 ,

1 an ,(n ≥ 2) ,?6 分 2 1 a 1 1 又 a 2 ? a1 ,所以 n ?1 ? , ( n ≥ 1) ,所以数列 {an } 是首项为 1,公比为 的等比数列, an 2 2 2
亦即 2S n?1 ? S n ? 2 ,从而 2Sn ? Sn?1 ? 2,(n ≥ 2) ,再次相减得 an?1 ? 其通项公式为 a n ?

1 2
n ?1

n ? N* .???????????????7 分
n

n ?1? ?1? 1? ? ? n 1? ? ? n 4? ?1? ? 4 ? 2 ? ? 2?1 ? ? 1 ? ? , (III)由(II)可得 S n ? ? ? ? Tn ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ,??9 分 ? 1 1 3? ?4? ? ? ?2? ? ? ? ? ? 1? 1? 4 2 n ?1? 1? ? ? 2 Sn 6 2 2 * * 若 S n ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立, 只需 ? ? 对 n ? N 恒成 ? 3 ? ?n ? 3 ? n Tn 2 ?1 ?1? 1? ? ? ?2?

立, 因为 3 ?

6 ? 3 对 n ? N * 恒成立,所以 ? ≥ 3 ,即 ? 的最小值为 3;????13 分 2 ?1
n

21.解: (1) f ' ( x ) ? 2 x ? (a ? 2) ?

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a ( 2 x ? a )( x ? 1) ? ? , x x x

其中 x ? 0 , …………………. …………………2 分 令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ?

a a .? a ? 2,? ? 1 2 2

当0 ? x ? 1及 x ?

a a 时, f ' ( x ) ? 0; 当 1 ? x ? 时, f ' ( x ) ? 0; ……………3 分 2 2

a ? f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1), ( ,? ?) 。………………….4 分 2
2 (2)当 a ? 4 时, f ( x ) ? x ? 6 x ? 4 ln x , f ' ( x ) ? 2 x ?

4 ? 6 ,其中 x ? 0 , x

令 f '( x) ? 2 x ?

4 ? 6 ? ?6 ,…………………. ……………5 分 x

方程无解,……………………………………………………………………………6 分 ? 不存在实数 m 使得直线 6 x ? y ? m ? 0 恰为曲线 y ? f ( x ) 的切线。………7 分 (3)由(2)知,当 a ? 4 时,函数 y ? f ( x ) 在其图象上一点 P ( x 0 , f ( x0 )) 处的切线方程 为 y ? m( x ) ? ( 2 x 0 ?

4 2 .8 - 6)( x ? x 0 ) ? x 0 ? 6 x 0 ? 4 ln x 0 , ………………. 分 x0

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设 ? ( x) ? f ( x) ? m( x) ? x 2 ? 6 x ? 4 ln x ? (2 x0 ?

4 2 ? 6)( x ? x0 ) ? ( x0 ? 6 x0 ? 4 ln x0 ) , x0

则 ? ( x 0 ) ? 0. ………………………………………………………….9 分

? '( x) ? 2 x ?
若 x0 ?

4 4 2 2 2 ? 6 ? (2 x0 ? ? 6) ? 2( x ? x 0 )(1 ? ) ? ( x ? x 0 )( x ? ) x x0 xx0 x x0 2 ) 上单调递减, x0

2 , ? ( x) 在 ( x 0 ,

?当x ? ( x 0 ,
若 x0 ?

2 ? ( x) ) 时, ? ( x ) ? ? ( x0 ) ? 0 ,此时 ? 0; x0 x ? x0 2 , x 0 ) 上单调递减, x0

2 ,? ( x) 在 (

?当x ? (

2 ? ( x) , x 0 ) 时, ? ( x ) ? ? ( x0 ) ? 0 ,此时 ? 0. x0 x ? x0

.11 分 ? y ? f ( x ) 在 (0, 2 ) ? ( 2 ,??) 上不存在“类对称点”………………………. 若 x0 ?

2 ,? ' ( x) ?

2 ( x ? 2 ) 2 ? 0,? ? ( x ) 在 (0,? ?) 上是增函数, x

当 x ? x 0 时, ? ( x ) ? ? ( x 0 ) ? 0 ,当 x ? x 0 时, ? ( x ) ? ? ( x 0 ) ? 0 ,故 即此时点 P 是 y ? f ( x ) 的“类对称点”

? ( x)
x ? x0

? 0.

综上, y ? f ( x ) 存在“类对称点”, 2 是一个“类对称点”的横坐标。… ….14 分

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