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高一数学 对数函数对数型复合函数的单调区间和值域



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§3.3

对数函数的综合应用

3.3.3 对数型复合函数的单调区间和值域

学习目标
1. 复习函数的单调性 2. 会求对数型复合函数 y ? log a f ?x ? 的

定义域,单调区间,值域

知识复习
1. 常见函数的图像特征

看图请思考以下几个问题
1.从左至右图像上升还是下降? ____
2.在区间________上,随着x的增大,f(x)的值随着 ______ .
3. 请分别说出对应图像的函数义域,值域,单调区间。

温故知新

2.增减函数

a) 增函数

b) 减函数

增函数:在区间A内的任意x1,x2∈A,当x1<x2,都有f(x1)<f(x2) 减函数:在区间A内的任意x1,x2∈A,当x1<x2,都有f(x1)>f(x2)

知识概念要清晰
3.正确区分 单调区间、单调性、单调函数

如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的,那么称A为单
调区间.
例如: y ? 2 x ? 3在整个 R上单调递增, 我们 就称 y = 2x + 3的单调 区间间 R。

知识概念要清晰
3.正确区分 单调区间、单调性、单调函数

如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减
少的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性.
2? 上函数值减少,具有单调性, 例如 y ? ?x ? 2?2 ? 3 在 ?- ?,
? ?? 上函数值增加,具有单调性,单调递增。 单调递减。在 ?2,

知识概念要清晰
3.正确区分 单调区间、单调性、单调函数

如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减小的,我
们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.

例如y ? 2 x 在整个R上单调递增,为增函数 ; x ? y ? ?1 。 2 在整个R上单调递减,为减函数
例如y ? log2 x在?0,???上单调递增,为增函数 y ? log1 x在?0,???上单调递减,为减函数
2

请同学们完整正确的说出以上四个函数的单调区间,单调性,是增函数还是减 函数。

强化概念 例.做一做:(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数f(x)=2x+1的单调区间是
(2)函数f(x)=3x-1在区间[0,7]上是 “增加的”或“减少的”).

.
(填

(3)若函数y=f(x)在R上是减函数,则f(3) f(-1).

学习重点

一般的复合函数举例

y ? log2 ( x ? 2x ? 3)
2

log a ( 2a ? 3) ? log a (3a )

引入
例: 已知函数f (x)在R上是增函数,g(x)在[a,b]上是减 函数,求证:f [g(x)]在[a,b]上是减函数.

证明:设x1,x2∈[a,b],且x1<x2
∵g(x)在[a,b]上单调递减 ∴g(x1)>g(x2) ∵ f (x)在R上递增 又∵ g(x1)∈R,g(x2)∈R ∴f [g(x1)]>f [g(x2)], ∴f[g(x)]在[a,b]上是减函数

方法总结

方法总结:1、求复合函数的定义域 2、求t=g(x)的单调区间,判断 y=f (t)的单调性 3、利用“同增异减”下结论

注意:复合函数y=f [g(x)]的单调区间必然是 其定义域的子集

求复合函数的单调区间的方法:
例1:求函数 y = log 2 ( 4-x 2 ) 定义域,单调区间,值域。
先: 义 求域 复 合单 分调 析性 说 明单 复调 合性

解 定

要使函数有意义 则: 4-x 2 >0, 解不等式得 -2< x<2 ∴ 函数的定义域为 (-2 , 2 ) 设t = 4-x 2,函数y = log 2 t 在定义域上是增函数, t = 4-x 2 (-2 <x<2 ) 的单调递增区间为 (-2,0 ], 单调递减区间为 [ 0 ,2 ) 故此函数的单调递增区间为 (-2,0 ] 单调递减区间为 [ 0 ,2 )

求复合函数的单调区间的方法:
例1:求函数 y = log 2 ( 4-x 2 ) 定义域,单调区间,值域。

利 用求 单值 调域 性

设t = 4-x 2 (-2 <x<2 ) 则 0<t<=4,对数函数y = log 2 t 中 当t=4时,y有最大值2,y无最小值 有极限为负无穷大 。 所以 y = log 2 t 在 0<t<=4有最大值2,无最小值。
即函数y = log 2 ( 4-x 2 )的值域为(-∞,2)

求复合函数的定义域,单调区间
例1:求函数 y = log 2 ( 1-x 2 ) 定义域,单调区间,值域。

变式练习
2 y ? log ( x ? 2x ? 3) 练习1 求下列函数 的 2

定义域,单调区间,值域。

小结:
1、在求函数的值域、最值、单调区间、奇偶性 等问题时,必须先考察函数的定义域. 2、掌握求解复合函数单调区间的一般步骤: (1)求复合函数的定义域 (2)求u=g(x)的单调区间,判断y=f (u)的单调性 (3)利用“同增异减”下结论

【提升总结】

y=logaf(x)型函数的值域的求法: (1)先求函数的定义域;

(2)确定f(x)的值域;
(3)利用对数函数的单调性 ,求出函数的值域

【针对训练】:1、求下列函数的值域 (1)y = log 2 ( 1-x 2 ) ; (2) y = log0.5 ( 4+x 2 ) ; (3) y = log0.5 ( 4-x 2 ) ;

(4)y = log 2 ( 4+x 2 )(x∈ (0,2) )
(5)y=log 0.5 3 ? 2x ? x 2



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