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导数练习一



函数导数练习一
1 、 若 曲 线 f ( x) ? ax3 ? ln x 存 在 垂 直 于 y 轴 的 切 线 , 则 实 数 a 取 值 范 围 是 _____________. 2、将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是
2 (梯形的周长) 梯形,记 S ? ,则 S 的最小值是________。 梯形的面积

>
1 3、 已知函数 f(x)= x3 ? x 2 ? ax ? b 的图像在点 P(0,f(0))处的切线方程为 3

y=3x-2 (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)+
m 是[ 2, ?? ]上的增函数。 x ?1

(i)求实数 m 的最大值; (ii)当 m 取最大值时,是否存在点 Q,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x) 围成两个封闭图形, 则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标; 若不存在,说明理由。

4、若 x1、x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? a 2 x (a ? 0) 的两个极值点.

1 (Ⅰ)若 x1 ? ? , x2 ? 1 ,求函数 f (x) 的解析式; 3
(Ⅱ)若 x1 ? x2 ? 2 3 ,求 b 的最大值.

1 5、 (2009 福建卷理)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ,且 f '(?1) ? 0 3

(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f ( x) 的单调区间; (2)令 a ? ?1 ,设函数 f ( x) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值,记点 M ( x1 , f ( x1 ) ), N( x2 , f ( x2 ) ),P( m, f (m) ),
x1 ? m ? x2 ,若对任意的 m ? ( x1 , x 2 ),线段 MP 与

曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点,试确定 t 的最小值,并证明你的结论;

(2009 福建卷理)若曲线 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 取值范围是
3

_____________. 答案 解析

(??,0)
由题意可知 f ' ( x) ? 2ax 2 ?

1 ,又因为存在垂直于 y 轴的切线, x

所以 2ax 2 ?

1 1 ? 0 ? a ? ? 3 ( x ? 0) ? a ? (??, 0) 。 x 2x

将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记

S?

2 (梯形的周长) ,则 S 的最小值是________。 梯形的面积

【解析】 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。 设剪成的小正三角形的边长为 x ,则: S ?

(3 ? x) 2 4 (3 ? x) 2 ? ? (0 ? x ? 1) 2 1 3 3 1? x ? ( x ? 1) ? ? (1 ? x) 2 2

(方法一)利用导数求函数最小值。

S ( x) ?

4 (3 ? x)2 4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x) 2 ? ( ?2 x) ? ? , S ?( x) ? 2 (1 ? x 2 ) 2 3 1? x 3

?

4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x) 2 ? (?2 x) 4 ?2(3 x ? 1)( x ? 3) ? ? ? 2 2 (1 ? x ) (1 ? x 2 ) 2 3 3

1 S ?( x) ? 0, 0 ? x ? 1, x ? , 3 1 1 当 x ? (0, ] 时, S ?( x) ? 0, 递减;当 x ? [ ,1) 时, S ?( x) ? 0, 递增; 3 3
故当 x ?

32 3 1 时,S 的最小值是 。 3 3

(方法二)利用函数的方法求最小值。 令 3 ? x ? t , t ? (2,3), ? ( , ) ,则: S ?

1 t

1 1 3 2

4 t2 4 1 ? 2 ? ? 3 ?t ? 6t ? 8 3 ? 8 ? 6 ?1 t2 t

故当 ?

1 t

32 3 3 1 。 , x ? 时,S 的最小值是 3 8 3

(2010 福建文)22. (本小题满分 14 分)

已知函数 f(x)=

1 3 x ? x 2 ? ax ? b 的图像在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=3x-2 3 m 是[ 2, ?? ]上的增函数。 x ?1

(Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)+

(i)求实数 m 的最大值; (ii)当 m 取最大值时,是否存在点 Q,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封 闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由。

若 x1、x2 ( x1 ? x2 ) 是函数

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? a 2 x (a ? 0) 的两个极值点.
(Ⅰ)若 x1 ? ? , x2 ? 1 ,求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)若 x1 ? x2 ? 2 3 ,求 b 的最大值. (Ⅰ)∵ f ( x) ? ax ? bx ? a x (a ? 0) ,∴ f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0)
3 2 2 2 2

1 3

依题意有 ?

1 和 1 是方程 3ax 2 ? 2bx ? a 2 ? 0 的两根 3

? 2b 2 ? ? 3a ? 3 ? a ?1 ? 3 2 ∴? 解得 ? ,∴ f ? x ? ? x ? x ? x . (经检验,适合)……5 分 ?b ? ?1 ?? a ? ? 1 ? 3 3 ?
2 2 (Ⅱ)∵ f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0) ,

依题意, x1 , x2 是方程 f ?( x) ? 0 的两个根,∵ x1 x 2 ? ? ∴ ? x1 ? x2 ? ? 12 .∴ ? ?
2

a ? 0 且 x1 ? x2 ? 2 3 , 3

? 2b ? 4a ......7分 ? 12,? b 2 ? 3a 2 ? 9 ? a ? ...... ? ? 3 ? 3a ?

2

∵ b ? 0 ∴ 0 ? a ? 9 ....................... .......................8分
2

设 p ? a ? ? 3a

2

? 9 ? a ? ,则 p? ? a ? ? 54a ? 9a 2 .

由 p?( a ) ? 0 得 0 ? a ? 6 ,由 p?( a ) ? 0 得 a ? 6 . 即函数 p ( a ) 在区间 ? 0,6? 上是增函数,在区间 ?6,9? 上是减函数,....10 分 .... ∴当 a ? 6 时, p ( a ) 有极大值为 324 ,∴ p ( a ) 在 ? 0,9? 上的最大值是 324 , ∴ b 的最大值为 18 . ……………………………12 分

(2009 福建卷理) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ,且 f '(?1) ? 0 3

(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f ( x) 的单调区间; ( 2 ) 令 a ? ?1 , 设 函 数 f ( x) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处 取 得 极 值 , 记 点 M ( x1 , f ( x1 ) ) , N( x2 , f ( x2 ) ),P( m, f ( m) ),

x1 ? m ? x2 ,解释以下问题,若对任意的 m ? ( x1 , x 2 ),线

段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点,试确定 t 的最小值,并证明你的结论;

解法一: (Ⅰ)依题意,得 f '( x) ? x 2 ? 2ax ? b 由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0得b ? 2a ? 1 .

1 从而 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (2a ? 1) x, 故f '( x) ? ( x ? 1)( x ? 2a ? 1). 3

令 f '( x) ? 0, 得x ? ?1或x ? 1 ? 2a. ①当 a>1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x) 的变化情况如下表:
x

(??,1 ? 2a)
+ 单调递增

(1 ? 2a, ?1)
- 单调递减

(?1, ??)
+ 单调递增

f '( x)

f ( x)

由此得,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) 。 ②当 a ? 1 时,1 ? 2a ? ?1此时有 f '( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 ,故函数

f ( x) 的单调增区间为 R
③当 a ? 1 时, ? 2a ? ?1同理可得, 函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) , 1 单调减区间为 (?1,1 ? 2a) 综上: 当 a ? 1 时 , 函 数 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) , 单 调 减 区 间 为

(1 ? 2a, ?1) ;
当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时 , 函 数 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) , 单 调 减 区 间 为

(?1,1 ? 2a) .
(Ⅱ)由 a ? ?1 得 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x 令 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 3

由(1)得 f ( x) 增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函数 f ( x) 在 处 x1 ? ?1, x2 ? 3 取得极值,故 M( ?1, 观察 f ( x) 的图象,有如下现象: ①当 m 从-1 不含-1) ( 变化到 3 时, 线段 MP 的斜率与曲线 f ( x) 在点 P 处切线的斜率 f ( x)

5 )N( 3, ?9 ) 。 3

之差 Kmp- f '(m) 的值由正连续变为负。 ②线段 MP 与曲线是否有异于 H, 的公共点与 Kmp- f '(m) 的 m 正负有着密切的关联; P ③Kmp- f '(m) =0 对应的位置可能是临界点,故推测:满足 Kmp- f '(m) 的 m 就是所求 的 t 最小值,下面给出证明并确定的 t 最小值.曲线 f ( x) 在点 P(m, f (m)) 处的切线斜率

f '(m) ? m2 ? 2m ? 3 ;
线段 MP 的斜率 Kmp ?

m 2 ? 4m ? 5 3

当 Kmp- f '(m) =0 时,解得 m ? ?1或m ? 2 直线 MP 的方程为 y ? (

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? ) 3 3

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m 令 g ( x) ? f ( x) ? ( x? ) 3 3
当 m ? 2 时, g '( x ) ? x ? 2 x在 (?1, 2) 上只有一个零点 x ? 0 ,可判断 f ( x) 函数在
2

(? 1, 0)上单调递增,在 (0, 2) 上单调递减,又 g (?1) ? g (2) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (?1, 2) 上
没有零点,即线段 MP 与曲线 f ( x) 没有异于 M,P 的公共点。 当 m ? ? 2,3? 时, g (0) ? ?

m 2 ? 4m ? 0 . g (2) ? ?(m ? 2)2 ? 0 3

所以存在 m ? ? 0, 2? 使得 g (? ) ? 0 即当 m ? ? 2,3?时, MP 与曲线 f ( x) 有异于 M,P 的公共点 综上,t 的最小值为 2. (2)类似(1)于中的观察,可得 m 的取值范围为 ?1, 3? 解法二: (1)同解法一. (2)由 a ? ?1 得 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ,令 f '( x) ? x 2 ?2 x ?3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 3

由(1)得的 f ( x) 单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函数在

处取得极值。故 M( ?1,

5 ).N( 3, ?9 ) 3
m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? . 3 3

(Ⅰ) 直线 MP 的方程为 y ?

? m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m y? x? ? ? 3 3 由? ? y ? 1 x 3 ? x 2 ? 3x ? 3 ?
得 x3 ? 3x2 ? (m2 ? 4m ? 4) x ? m2 ? 4m ? 0 线段 MP 与曲线 f ( x) 有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数

g ( x) ? x3 ? 3x2 ? (m2 ? 4m ? 4) x ? m2 ? 4m在(-1,m)上有零点.
因为函数 g ( x) 为三次函数,所以 g ( x) 至多有三个零点,两个极值点. 又 g (?1) ? g (m) ? 0 .因此, g ( x) 在 (?1, m) 上有零点等价于 g ( x) 在 (?1, m) 内恰有一个极大值 点和一个极小值点,即 g '( x) ? 3x2 ? 6 x ? (m2 ? 4m ? 4) ? 0在(1, m) 内有两不相等的实数根.
? ?=36 ? 12 m 2 ? 4m ? 4)>0 ( ? 2 2 ?3(?1) ? 6 ? (m ? 4m ? 4) ? 0 等价于 ? 2 2 ?3m ? 6m ? (m ? 4m ? 4) ? 0 ?m ? 1 ?

??1 ? m ? 5 ? 即 ?m ? 2或m ? ?1, 解得2 ? m ? 5 ?m ? 1 ?

又因为 ?1 ? m ? 3 ,所以 m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的 r 的最小值为 2.



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