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必修五解三角形常考题型



必修五解三角形常考题型
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
【典型题剖析】 考察点 1:利用正弦定理解三角形 例 1 在 ABC 中,已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c.

例 2 在 ABC 中,已知 c= 2 + 6 ,C=30°,求 a+b 的取值范围。

考察点 2:利用正弦

定理判断三角形形状 例 3 在△ABC 中, a ·tanB= b ·tanA,判断三角形 ABC 的形状。
2 2

例 4 在△ABC 中,如果 lg a ? lg c ? lgsin B ? ? lg 2 ,并且 B 为锐角,试判断此三角形的 形状。

考察点 3:利用正弦定理证明三角恒等式 例 5 在△ABC 中,求证

a 2 ? b2 b2 ? c 2 c2 ? a2 ? ? ? 0. cos A ? cos B cos B ? cos C cos C ? cos A

例 6 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,C=2B,求证 c ? b ? ab .
2 2

考察点 4:求三角形的面积 例 7 在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,若 a ? 2, C ? △ABC 的面积 S.

?
4

, cos

B 2 5 ,求 ? 2 5

例 8 已知△ABC 中 a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边, △ABC 的外接圆半径为 12, 且C ? 求△ABC 的面积 S 的最大值。

?
3

,

考察点 5:与正弦定理有关的综合问题 例 9 已知△ABC 的内角 A,B 极其对边 a,b 满足 a ? b ? a cot A ? b cot B, 求内角 C

例 10 在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 c=10, 的内切圆半径。

cos A b 4 ? ? ,求 a,b 及△ABC cos B a 3

『易错疑难辨析』
易错点 利用正弦定理解题时,出现漏解或增解
【易错点辨析】 本节知识在理解与运用中常出现的错误有: (1) 已知两边和其中一边的对角, 利用正弦定理求另一边的对角时,出现漏解或增解; (2)在判断三角形的形状时,出现漏解 的情况。 例1 (1) 在△ABC 中, a ? 2 3, b ? 6, A ? 30?, 求B; (2) 在△ABC 中, a ? 2 3, b ? 2, A ? 60?, 求B;

易错点

忽略三角形本身的隐含条件致错
c 的取值范围。 b

【易错点解析】 解题过程中, 忽略三角形本身的隐含条件, 如内角和为 180°等造成的错误。 例 2 在△ABC 中,若 C ? 3B, 求

『高考真题评析』
例 1(2010·广东高考)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若

a ? 1, b ? 3, A ? C ? 2B, 则 sin C ? _______

例 2(2010·北京高考)如图 1-9 所示,在△ABC 中,若 b ? 1, c ? 则 a ? _________ . C

3, C ?

2? , 3

1

2? 3

a
B

A

3
图 1-9

例 3(2010·湖北高考)在△ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60?, 则 cos B 等于(



A. ?

2 2 3

B.

2 2 3

C. ?

6 3

D.

6 3

例 4(2010·天津高考)在△ABC 中, (1)求证 B ? C ; (2)若 cos A ? ?

AC cos B ? . AB cos C
1 ?? ? ,求 sin ? 4 B ? ? 的值。 3 3? ?

1.1.2
『典型题剖析』
考察点 1: 利用余弦定理解三角形

余弦定理

例 1:已知△ABC 中, b ? 3, c ? 3 3, B ? 30?, 求 A,C 和 a 。

例 2:△ABC 中,已知 a ? 2 6, b ? 6 ? 2 3, c ? 4 3 ,求 A,B,C

考察点 2: 利用余弦定理判断三角形的形状 例 3: 在△ABC 中, 已知 ? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? ? 3ab, 且 2 cos A sin B ? sin C , 试判断△ABC 的形状。

例 4:已知钝角三角形 ABC 的三边 a ? k , b ? k ? 2, c ? k ? 4, 求 k 的取值范围。

考察点 3:利用余弦定理证明三角形中的等式问题 例 5 在中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, (1)求证 a cos B ? b cos A ? c; (2)求证 a cos
2

C A 1 ? cos 2 ? ? a ? b ? c ? . 2 2 2

例 6 在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c。 (1)求证

a ? c cos B sin B a 2 ? b2 sin ? A ? B ? ? ? ; (2)求证 2 b ? c cos A sin A c sin C

考察点 4:正余弦定理的综合应用 例 7:在 ABC 中,已知 b ?

?

3 ? 1 a, C ? 30?, 求 A, B.

?

例 8:设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b2 ? c2 ? a2 ? 3bc, (1)求 A 的大小; (2)求 2sin B cos C ?sin ? B ? C ? 的值。

例 9:设 ABC 得到内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a cos B ? 3, b sin A ? 4. (1)求边长 a; (2)若 ABC 的面积 S=10,求 ABC 的周长 l 。

『易错疑难解析』
易错点 利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况
【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时,需要十分小心,当该因式恒正或恒负时可 以约去,一定要避免约去可能为零的因式而导致漏解。 例 1:在 ABC 中,已知 a cos A ? b cos B, 试判断 ABC 的形状

易错点 易忽略题中的隐含条件而导致错误
【易错点辨析】我们在解题时要善于应用题目中的条件,特别是隐含条件,全面、细致地分 析问题,如下列题中的 b>a 就是一个重要条件。 例 2:在 ABC 中,已知 a ? 2, b ? 2 2, C ? 15?, 求 A 。

『高考真题评析』
例 1: (2011.山东模拟) 在 ABC 中, D 为 BC 边上一点, BC ? 3BD, AD ? 2, ?ADB ? 135?, 若 AC ? 2 AB, 则 BD ? __________ . 例 2: ( 2010. 天 津 高 考 ) 在 ABC 中 , 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 是 a , b , c , 若

a2 ? b2 ? 3bc,sin C ? 2 3sin B, 则 A 等于(



A.30° B.60° C.120° D.150° 例 3: (2010.北京高考)某班设计了一个八边形的班徽(如图 1-14 所示) ,它由腰长为 1, 顶角为 a 的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为( ) A. 2sin a ? 2 cos a ? 2 C. 3sin a ? 3 cos a ? 1 B. sin a ? 3 cos a ? 3 D. 2sin a ? cos a ? 1

例 4: (2010.安徽高考)设 ABC 是锐角三角形,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对边长, 且 sin A ? sin ?
2

?? ? ?? ? ? B ? sin ? ? B ? ? sin 2 B 。 ?3 ? ?3 ?

(1)求角 A 的值; (2)若 AB ? AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b,c(其中 b<c)

例 5: (陕西高考)如图 1-15 所示,在 ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=10, AC=14,DC=6,求 AB 的长。

A

B

D
图 1-15

C

例 6: (2010.江苏高考) 在锐角 ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 若 求

b a ? ?6 c o s , C a b

tan C tan C ? 的值。 tan A tan B

必修五解三角形常考题型
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
【典型题剖析】 考察点 1:利用正弦定理解三角形 例 1 在 ABC 中,已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正 弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。

A : B : C ? 1: 2 : 3, 而A ? B ? C ? ? .
解:? A ?

?
6

,B ?

?
3

,C ?

?
2

,

? a : b :? sin A : sin B : sin C ? sin

?
6

: sin

?
3

: sin

?
2

?

1 3 : :1 ? 1: 3 : 2. 2 2

【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式,要做到灵活应用。 例 2 在 ABC 中,已知 c= 2 + 6 ,C=30°,求 a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将 a+b 表示为某个角的三角函数,然后再求解。 解:∵C=30°,c= 2 + 6 ,∴由正弦定理得:

a b c 2? 6 ? ? ? , sin A sin B sin C sin 30?

∴ a=2( 2 + 6 )sinA,b=2( 2 + 6 )sinB=2( 2 + 6 )sin(150°-A). ∴a+b=2( 2 + 6 )[sinA+sin(150°-A)]= 2( 2 + 6 )·2sin75°·cos(75°-A)=

?

2? 6

?

2

cos(75°-A)

① 当 75°-A=0°,即 A=75°时,a+b 取得最大值

?

2 ? 6 =8+4 3 ;

?

2

② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A<150°,∴0°<A<150°, ∴-75°<75°-A<75°,∴cos75°<cos(75°-A)≤1, ∴>

?

2? 6

?

2

cos75°=

?

2? 6 ×

?

2

6? 2 = 2+ 6. 4

综合①②可得 a+b 的取值范围为( 2 + 6 ,8+4 3 > 考察点 2:利用正弦定理判断三角形形状 例 3 在△ABC 中, a ·tanB= b ·tanA,判断三角形 ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系,利用角的关系判断△ABC 的形状。 解:由正弦定理变式 a=2RsinA,b=2RsinB 得:
2 2

? 2R sin A?

2

?

sin B sin A 2 ? ? 2R sin B ? ? , cos B cos A

?sin A cos A ? sin B cos B,
即 sin 2 A ? sin 2 B ,? 2 A ? 2 B或2 A ? 2 B ? ? ,

? A ? B或A ? B ?

?

2

.

∴ ABC 为等腰三角形或直角三角形。 【解题策略】 “在△ABC 中,由 sin 2 A ? sin 2 B 得∠A=∠B”是常犯的错误,应认真体会上述 解答过程中“∠A=∠B 或∠A+∠B=

? ”的导出过程。 2

例 4 在△ABC 中,如果 lg a ? lg c ? lgsin B ? ? lg 2 ,并且 B 为锐角,试判断此三角形的 形状。 【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式,利用两角差的正弦公式来判断△ABC 的 形状。 解:

lg sin B ? ? lg 2,? sin B ?

2 . 2

又∵B 为锐角,∴B=45°. 由 lg a ? lg c ? ? lg 2, 得

c 2 ? . a 2

由正弦定理,得

sin A 2 ? , sin C 2

∵ A ? 180? ? 45? ? C, 代入上式得: 2 sin C ? 2sin ?135? ? C ?

? 2 ?sin135? cos C ? cos135? sin C ?
? 2 cos C ? 2 sin C,
? cos C ? 0,?C ? 90?,? A ? 45?. ? ABC为等腰直角三角形。
考察点 3:利用正弦定理证明三角恒等式 例 5 在△ABC 中,求证

a 2 ? b2 b2 ? c 2 c2 ? a2 ? ? ? 0. cos A ? cos B cos B ? cos C cos C ? cos A
2 2 2

【点拨】观察等式的特点,有边有角要把边角统一,为此利用正弦定理将 a ,b ,c 转化 为 sin A,sin B,sin C .
2 2 2

证明:由正弦定理的变式 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B 得:

a 2 ? b2 4 R 2 sin 2 A ? 4 R 2 sin 2 B = cos A ? cos B cos A ? cos B ? 4 R 2( [ 1-cos 2 A)-(1-cos 2 B)] cos A ? cos B

(cos 2 B ? cos 2 A) ? ? 4 R 2 (cos B ? cos A) cos A ? cos B

b2 ? c2 ? 4 R 2 (cos C ? cos B), cos B ? cos C 同理 c2 ? a2 ? 4 R 2 (cos A ? cos C ). cos C ? cos A

? 左边=4 R 2 (cos B ? cos A ? cos C ? cos B ? cos A ? cos C ) ? 0 ? 右边 ? 等式成立。
【解题策略】在三角形中,解决含边角关系的问题时,常运用正弦定理进行边角互化,然后 利用三角知识去解决,要注意体会其中的转化与化归思想的应用。 例 6 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,C=2B,求证 c ? b ? ab .
2 2

【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用. 证明:

A ? B ? C ? 180?,? B ? C ? 180? ? A.

又 C ? 2B,?C ? B ? B.
sin( B ? C ) ? sin(180? ? A) ? sin A,

? c 2 ? b 2 ? 4 R 2 (sin 2 C ? sin 2 B) ? 4 R 2 (sin C ? sin B)(sin C ? sin B) B?C C?B B?C C?B ? 4 R 2 ? 2sin ? cos ? 2 cos ? sin 2 2 2 2 2 2 ? 4 R sin(C ? B) sin(C ? B ) ? 4 R sin A sin B ? ab ? 右边. ? 等式成立.
【解题策略】有关三角形的证明题中,要充分利用三角形本身所具有的性质。

(1) A ? B ? C ? ? , A ? B ? ? ? C , 2B ? 2? ? 2C.
? ? tan C.

A? B ? C ? ? , 2A ? 2 2 2

(2)sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B) ? ? cos C , tan( A ? B)

(3) sin cot C . 2

A? B C A? B C A? B ? cos , cos ? sin , tan ? 2 2 2 2 2

(4)sin(2 A ? 2 B) ? ? sin 2C, cos(2 A ? 2 B) ? cos 2C, tan(2 A ? 2 B) ? ? tan 2C.
考察点 4:求三角形的面积 例 7 在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,若 a ? 2, C ? △ABC 的面积 S. 【点拨】先利用三角公式求出 sinB,sinA 及边 c,再求面积。 解:由题意 cos

?
4

, cos

B 2 5 ,求 ? 2 5

3 B 2 5 2 B ?1 ? , ,得 cos B ? 2 cos ? 2 5 2 5

∴B 为锐角,? sin B ? 由正弦定理得 c ?

4 3? 7 2 ,sin A ? sin(? ? B ? C ) ? sin( ? B) ? , 5 4 10

10 , 7 1 1 10 4 8 ? S ? ac sin B ? ? 2 ? ? ? . 2 2 7 5 7
【解题策略】在△ABC 中,以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到,要记准、记熟, 并能灵活应用, A ? B ? C ? ? ,sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B) ? ? cos C ;sin

cos

C A? B C , cos ? sin . 2 2 2

A? B ? 2

例 8 已知△ABC 中 a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边, △ABC 的外接圆半径为 12, 且C ? 求△ABC 的面积 S 的最大值。 【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。 解: S
ABC

?
3

,

?

1 1 ab sin C ? 2 R sin A 2 R sin B sin C 2 2

? 3R 2 sin A sin B ?

3 2 R [cos( A ? B) ? cos( A ? B)] 2

?

3 2 1 R [cos( A ? B) ? ]. 2 2

当cos( A ? B) ? 1,即A ? B时,

(S

ABC max

)

?

3 3 2 3 3 R ? 144 ? 108 3. 4 4

【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合,通过讨论三角函数值的取值,求得面 积的最大值。 考察点 5:与正弦定理有关的综合问题 例 9 已知△ABC 的内角 A,B 极其对边 a,b 满足 a ? b ? a cot A ? b cot B, 求内角 C 【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识,考察运算能力、 分析能力和转化能力。 解法 1:

a ? b ? a cot A ? b cot B, 且

a b ? ? 2 R (R 为△ABC 的外接圆半径) , sin A sin B

?sin A ? cos A ? cos B ? sin B,?1 ? sin 2 A ? 1 ? cos 2B.
? cos 2 A ? cos 2 B ? 0

又 sin 2 A ? sin 2 B ? 2cos( A ? B)sin( A ? B). ? cos( A ? B)sin( A ? B) ? 0, ? cos( A ? B) ? 0或 sin( A ? B) ? 0.
又∵A,B 为三角形的内角,? A ? B ?

?
2

或A ? B ,

当A ? B ?

?
2

时,C ?

?
2



当 A ? B 时,由已知得 cot A ? 1,? A ? B ? 综上可知,内角 C ?

?
4

,? C ?

?
2

.

?

2 解法 2:由 a ? b ? a cot A ? b cot B 及正弦定理得, sin A ? sin B = cos A ? cos B , sin A ? cos A ? cos B ? sin B ,
从而 sin A cos 即 sin( A ?

.

?
4

? cos A sin

?
4

? cos B sin

?
4

? sin B cos

?
4

,

?

) ? sin( ? B). 4 4

?

又∵0<A+B<π ,? A ?

?

?A? B ?

?
2

,? C ?

?
2

4

?

?
4

? B,

.

【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法,熟练运用三角恒等变换公式是解 题的关键。 例 10 在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 c=10,

cos A b 4 ? ? ,求 a,b 及△ABC cos B a 3

的内切圆半径。 【点拨】欲求边,应将已知条件中的边角统一,先求角再求边。

解:由

cos A b cos A sin B ? , 可得 = , cos B a cos B sin A

变形为 sin A cos A ? sin B cos B,?sin 2 A ? sin 2 B 又

a ? b,? 2 A ? ? ? 2 B,? A ? B ?

?
2

,

∴△ABC 是直角三角形。

?a 2 ? b 2 ? 102 ? 由 ?b 4 解得 a ? 6, b ? 8. ? ? a 3, ?
? ABC的内切圆半径为r= a ? b ? c 6 ? 8 ? 10 ? ?2 2 2

【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。 ------------------------------------------

『易错疑难辨析』
易错点 利用正弦定理解题时,出现漏解或增解
【易错点辨析】 本节知识在理解与运用中常出现的错误有: (1) 已知两边和其中一边的对角, 利用正弦定理求另一边的对角时,出现漏解或增解; (2)在判断三角形的形状时,出现漏解 的情况。 例1 (3) 在△ABC 中, a ? 2 3, b ? 6, A ? 30?, 求B; (4) 在△ABC 中, a ? 2 3, b ? 2, A ? 60?, 求B; 【错解】 (1) 由正弦定理得 sin B ? b ?

sin A sin 30? 3 ? 6? ? ,? B ? 60? a 2 2 3
sin A sin 60? 1 ? 2? ? ,? B ? 30?或150? a 2 2 3

(2) 由正弦定理得 sin B ? b ?

【点拨】 (1)漏解,由 sin B ?

3 (0°<B<180°)可得 B ? 60?或120? 因为 b>a,所以 2

1 (0°<B<180°)可得 B ? 30?或150? ,因为 b<a, 2 根据三角形中大边对大角可知 B<A,所以 B ? 150? 不符合条件,应舍去。
两解都存在。 (2)增解。由 sin B ? 【正解】 (1)由正弦定理得 sin B ? b ?

sin A sin 30? 3 ? 6? ? . a 2 2 3

又∵0°<B<180°

? B ? 60?或120? (经检验都符合题意)
(2)由正弦定理得 sin B ? b ?

sin A sin 60? 1 ? 2? ? . a 2 2 3

又∵0°<B<180°? B ? 30?或150? ∵b<a,根据三角形中大边对大角可知 B<A, ? B ? 150? 不符合条件,应舍去,? B ? 30? 。

易错点

忽略三角形本身的隐含条件致错
c 的取值范围。 b

【易错点解析】 解题过程中, 忽略三角形本身的隐含条件, 如内角和为 180°等造成的错误。 例 2 在△ABC 中,若 C ? 3B, 求 【错解】 由正弦定理得

c sin C sin 3B sin( B ? 2 B) = ? ? b sin B sin B sin B sin B cos 2 B ? cos B sin 2 B ? sin B

? cos 2B ? 2cos2 B ? 4cos2 B ? 1.
0 ? cos 2 B ? 1??1 ? 4 cos 2 B ? 1 ? 3,? 0 ?
【点拨】在上述解题过程中,得到了 的 A, B, C 均为正角这一条件。 【正解】 由正弦定理可知

c ?3 b

c =4 cos 2 B ? 1 后,忽略了三角形的内角和定理及隐含 b

c sin C sin 3B sin( B ? 2 B) = ? ? b sin B sin B sin B sin B cos 2 B ? cos B sin 2 B ? sin B

? cos 2B ? 2cos2 B ? 4cos2 B ? 1.
A ? B ? C =180?, C ? 3B.
∴0°<B<45°,
2

2 < cos B <1. 2
c <3. b

∴1< 4cos B ? 1 <3,故 1<

『高考真题评析』
例 1(2010·广东高考)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若

a ? 1, b ? 3, A ? C ? 2B, 则 sin C ? _______
【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质,解题的关键是确定角 C 的值。 【 点 拨 】 在 △ ABC 中 , A ? B ? C ?? , 又 A ? C ? 2 B , 故 B ?

?
3

,由正弦定理知

sin A ?

a sin B 1 B ? ? , 又 a<b,因此 A ? 从而可知 C ? ,即 sin C ? 1 。故填 1. 6 2 b 2

【名师点评】解三角形相关问题时,应灵活掌握边角关系,实现边角互化。 例 2(2010·北京高考)如图 1-9 所示,在△ABC 中,若 b ? 1, c ? 则 a ? _________ .

3, C ?

2? , 3

【命题立意】 本题考查利用正弦定理解决三角形问题, 同时要注意利用正弦定理得到的两解 如何取舍。 【点拨】由正弦定理得,

3 1 1 ? ,? sin B ? . 2? sin B 2 sin 3

∵C 为钝角,∴B 必为锐角,

?B ?

?
6

?A?

?
6

.? a ? b ? 1.

故填 1 【名师点评】 在 ? 0, ? ? 范围内,正弦值等于 忽略角的范围而出现增解

1 的角有两个,因为角 C 为钝角,所以角 B 必为锐角,防止 2

C

1

2? 3

a
B

A

3

图 1-9 例 3(2010·湖北高考)在△ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60?, 则 cos B 等于( )

A. ?

2 2 3

B.

2 2 3

C. ?

6 3

D.

6 3

【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式,解题的关键是确定角 B 的范 围。

【点拨】由正弦定理得

15 10 10 sin 60? ? ,? sin B ? ? sin 60? sin B 15
2 2

10 ?

3 2 ? 3 .∵ a >b , 15 3

? 3? 6 A ? 60? ,∴B 为锐角。? cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ,故选 D ? 3 ? ? ? 3 ? ?
【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角 B 的范围,从而确定角 B 的余弦值。 例 4(2010·天津高考)在△ABC 中, (1)求证 B ? C ; (2)若 cos A ? ?

AC cos B ? . AB cos C

1 ?? ? ,求 sin ? 4 B ? ? 的值。 3 3? ?

【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、 二倍角的正弦与余弦等基础知识,同时考察基本运算能力。 证 明 :( 1 ) 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 及 已 知 , 得

sin B cos B ? 。于是 sin C cos C

sin B

co C? s

c Bo s C ?s i 即 n sin ? B 0? , C ? ? 0.
? ??2 B? ?? cos 1 3

因为 ?? <B-C< ? ,从而 B-C=0,所以 B=C .

cos 解: (2)由 A ? B ?C ? ? 和 (1) 得 A ? ? ? 2 B ,故 cos2 B ??
又 0<2B< ? ,于是 sin 2 B ? 1 ? cos 2 B ?
2

A ?

2 2. 4 2 从而 sin 4 B ? 2sin 2 B cos 2 B ? , 3 9

7 ?? ? 4 2 ?7 3 ? cos 4 B ? cos 2 2 B ? sin 2 2 B ? ? 。所以 sin ? 4B ? ? ? sin 4B cos ? . 9 3? 3 18 ?
【名师点评】 (1)证角相等,故由正弦定理化边为角。 (2)在(1)的基础上找角 A 与角 B 的函数关系,在求 2B 的正弦值时要先判断 2B 的取值范围。

1.1.2
『典型题剖析』
考察点 1: 利用余弦定理解三角形

余弦定理

例 1:已知△ABC 中, b ? 3, c ? 3 3, B ? 30?, 求 A,C 和 a 。 【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长 a 的方程,首先求出边长 a ,再由再由正弦 定理求角 A,角 C,也可以先由正弦定理求出角 C,然后再求其他的边和角。 解法 1: 由正弦定理 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B, 得 32 ? a 2 ? 3 3

? ?

2

? 2a ? 3 3 ? cos30? ,

? a2 ? 9a ? 18 ? 0, 解得 a ? 3 或 6.当 a ? 3 时, A ? 30?,? C ? 120?

当 a ? 6 时,由正弦定理得 sin A ? 解法 2:

a sin B ? b

6? 3

1 2 ? 1, ? A ? 90?,? C ? 60?.

由 b < c , B ? 30?, b > c sin 30? ? 3 3 ?

1 3 3 ,知本题有两解。 ? 2 2

1 3 3? c sin B 2? 3, 由正弦定理得 sin C ? ? b 3 2 ? C ? 60? 或 120? , 当 C ? 60? 时, A ? 90? ,由勾股定理得:
a ? b 2 ? c 2 ? 32 ? 3 3

?

?

2

?6

当 C ? 120? 时, A ? 30? ,∴△ABC 为等腰三角形,? a ? 3 。 【解题策略】比较两种解法,从中体会各自的优点,从而探索出适合自己思维的解题规律和 方法。三角形中已知两边和一角,有两种解法。方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量 关系列出方程,利用解方程的方法求出第三边的长,这样可免去判断取舍的麻烦。方法二直 接运用正弦定理,先求角再求边。 例 2:△ABC 中,已知 a ? 2 6, b ? 6 ? 2 3, c ? 4 3 ,求 A,B,C 【点拨】解答本题可由余弦定理求出角的余弦值,进而求得各角的值。 解法 1: 由余弦定理得:

cos A ?

b ?c ?a 2bc
2 2

2

?6 ? 2 3 ? ? ?4 3 ? ? ?2 6 ? ? 2 ? ?6 ? 2 3 ? ? 4 3
2 2

2

?

36 ? 24 3 ? 12 ? 48 ? 24 48 3 ? 48 72 ? 24 3 3 ? 3 3 。 ? ? 48 3 ? 48 2 3 ? 2 2

?

因为 A ? ? 0?,180?? , 所以 A ? 30? 。

cos C ?

a ?b ?c 2ab
2 2

2

?2 6 ? ? ?6 ? 2 3 ? ? ?4 3 ? ? 2 ? 2 6 ? ?6 ? 2 3 ?
2 2

2

?

24 ? 36 ? 24 3 ? 12 ? 48 2 ? 2 24 6 ? 24 2

因为 C ? ? 0?,180?? , 所以 C ? 45? 因为 A ? B ? C ? 180?, 所以 B ? 180? ? 45? ? 30? ? 105? 解法 2: 由解法 1 知 sin A ?

1 , 2

由正弦定理得, sin C ?

c sin A ? a

4 3? 2 6

1 2?

2 . 2

因为 b > c ,所以 B>C, 所以角 C 应该是锐角,因此 C ? 45? 。 又因为 A ? B ? C ? 180?, 所以 B ? 180? ? 45? ? 30? ? 105? 【解题策略】已知三角形三边求角,可先用余弦定理求解,再用正弦定理求解,在用正弦定 理求解时,要根据边的大小确定角的大小,防止增解或漏解。 考察点 2: 利用余弦定理判断三角形的形状 例 3: 在△ABC 中, 已知 ? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? ? 3ab, 且 2 cos A sin B ? sin C , 试判断△ABC 的形状。 【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状,从问题的已知条出发, 找到三角形边角之间的关系,然后判断三角形的形状。 解法 1: (角化边) 由正弦定理得

sin C c ? , sin B b sin C c ? 。 2sin B 2b

由 2 cos A sin B ? sin C ,得 cos A ?

又由余弦定理的推论得 cos A ?

c2 ? b2 ? a 2 。 2bc

?


c c 2 ? b2 ? a 2 ? , 即 c2 ? b2 ? c2 ? a2 ,?a ? b 。 2b 2bc

? a ? b ? c?? a ? b ? c? ? 3ab. ? ? a ? b ?

2

? c 2 ? 3b 2 , ?4b2 ? c2 ? 3b2 , b ? c.

? a ? b ? c,? ABC 为等边三角形。
解法 2: (边化角)

A ? B ? C ? 180?,?sin C ? sin ? A ? B?.


2 cos A sin B ? sin C ,

? 2cos A sin B ? sin A cos B ? cos A sin B, ?sin ? A ? B? ? 0.
又∵A 与 B 均为 ABC 的内角,∴A=B.
2 又由 ? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? ? 3ab ,得 ? a ? b ? ? c ? 3ab , 2

a 2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 3ab ,即 a2 ? b2 ? c2 ? ab, 由余弦定理得 cos C ?
而 0°<C<180°,? C ? 60?. 又

1 , 2

A ? B,? ABC 为等边三角形。

【解题策略】已知三角形关系中的边角关系式判断三角形的形状,有两条思考路线:一是化 边为角,求出三个角之间的关系式;二是化角为边,求出三条边之间的关系式,种转化主要 应用正弦定理和余弦定理。 例 4:已知钝角三角形 ABC 的三边 a ? k , b ? k ? 2, c ? k ? 4, 求 k 的取值范围。 【点拨】由题意知△ABC 为钝角三角形,按三角形中大边对大角的原则,结合 a,b,c 的大小 关 系 , 故必 有 C 角 最大且 为 钝 角, 于 是可 有 余弦 定 力 理求 出 k 的 取值范 围 。 解:

?2ab cos C >0,? a 2 ? b 2 < c2 , c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C, ?当C为钝角时,

? k 2 ? ? k ? 2 ? < ? k ? 4 ? ,解得-2<k<6.而 k+k+2>k+4,∴k>2.故 2<k<6.故 k 的取
2 2

值范围是 ? 2,6? . 【解题策略】应用三角形三边关系时,应注意大边对大角。 考察点 3:利用余弦定理证明三角形中的等式问题 例 5 在中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, (1)求证 a cos B ? b cos A ? c; (2)求证 a cos
2

C A 1 ? cos 2 ? ? a ? b ? c ? . 2 2 2

【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与二倍角公式的综合应用。 证明: (1)左边 ? a

a 2 ? c2 ? b2 b2 ? c 2 ? a 2 ?b 2ac 2bc

?

a 2 ? c2 ? b2 b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac 2bc 2c 2 ? c ? 右边,故原式成立。 2c a ?1 ? cos C ? c ?1 ? cos A? ? 2 2

?

(2)左边 ?

?

a ? a 2 ? b2 ? c2 ? c ? b2 ? c 2 ? a 2 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? 2? 2ab 2bc ? 2? ?

1? a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ? ? ?a ? ?c? ? 2? 2b 2b ?
? 1 ? a ? b ? c ? ? 右边,故原式成立。 2

【解题策略】 (1)小题利用余弦定理将角化为边。 (2)小题先降幂,然后利用余弦定理将角 化为边。 例 6 在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c。 (1)求证

a 2 ? b2 sin ? A ? B ? ? ; c2 sin C
a ? c cos B sin B ? b ? c cos A sin A

(2)求证

【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用 证明: (1)由 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, 得; 又∵

a 2 ? b2 c 2 ? 2bc cos A b ? ? 1 ? 2 ? ? cos A 。 2 2 c c c

b sin B ? , c sin C

∴ a 2 ? b2

c

2

? 1? 2 ?

sin B sin C ? 2sin B cos A ? cos A ? sin C sin C

?

sin ? A ? B ? ? 2cos A sin B sin A cos B ? cos A sin B ? sin C sin C

?

sin ? A ? B ? . sin C

故原式成立。

a 2 ? c 2 ? b 2 2a 2 ? a 2 ? c 2 ? b 2 2ac 2a (2)左边 ? ? 2 2 2 2 2 b ?c ?a 2b ? b ? c 2 ? a 2 b?c? 2bc 2b 2 2 2 a ?c ?b b sin B ? 2 2a ? ? ? 右边。 2 2 b ?c ?a a sin A 2b a ?c?
故原式成立。 考察点 4:正余弦定理的综合应用 例 7:在 ABC 中,已知 b ?

?

3 ? 1 a, C ? 30?, 求 A, B.

?

【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。 解:

b?

?

3 ? 1 a,? c 2 ? b2 ? a 2 ? 2ab cos C
2

?

?? ?

?

3 ? 1 a ? ? a 2 ? 2a 2 ?

?

?

3 ?1 ?
3 ?1 a2

?

3 2

? 4 ? 2 3 a2 ? a2 ? 3
2

? ? ? ?2 ? 3? a .

?

?

∵a>0,c>0,

? c ? 2 ? 3 a,?

c ? 2 ? 3. a c sin C , 由正弦定理得 ? a sin A

1 2? 3 3 ?1 6? 2 2 ? sin A ? ? ? ? ? , 2 4 2 2 2? 3 2? 3 sin C
? A ? 75? 或 105? .
由b ?

?

3 ? 1 a 知 a>b,

?

若 A ? 75?, 则 B ? 180? ? ? A ? C ? ? 75?, a ? b, 与已知矛盾。

? A ? 105?, B ? 180? ? ? A ? C ? ? 45?.
【解题策略】本题边未知,已知一角,所以考虑使用余弦定理得 a,c 的关系,再结合正弦

定理求 sin A. 注意特殊角的三角函数值,如: sin 75? ?

6? 2 6? 2 ,sin15? ? . 4 4

例 8:设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b2 ? c2 ? a2 ? 3bc, (1)求 A 的大小; (2)求 2sin B cos C ?sin ? B ? C ? 的值。 【点拨】本题考察余弦定理,和角、差角的正弦公式的综合应用。

b2 ? c 2 ? a 2 3bc 3 解: (1)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A, 得 cos A ? ? ? , 2bc 2bc 2
2 2 2

所以 A ?

? . 6

(2) 2sin B cos C ? sin ? B ? C ?

? 2sin B cos C ? ?sin B cos C ? cos B sin C ? ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ? B ? C ?
? sin ?? ? A ? ? sin A ? 1 。 2

例 9:设 ABC 得到内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a cos B ? 3, b sin A ? 4. (1)求边长 a; (2)若 ABC 的面积 S=10,求 ABC 的周长 l 。 【点拨】 本题考察正弦定理、 余弦定理、 三角形面积公式及同脚三角函数关系式的综合应用。 解: (1)已知 a cos B ? 3, b sin A ? 4.

3 a cos B a cos B b cos B ? ? ? ? ? ? cot B. 4 b sin A sin A b sin B b 又由 a cos B ? 3 知 cos B >0, 3 4 则 cos B ? ,sin B ? ,则 a ? 5. 5 5 1 (2)由 S ? ac sin B ? 10, 得 c ? 5. 2
将两式相除,有 由 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 得b ? 2 5 。 2ac 5

故 l ? 10 ? 2 5 。 【解题策略】把已知两个关系式相除是本题的难点,也是解决此题的关键,相除之后出现

a ,使用正弦定理使问题得到顺利解决。 sin A

『易错疑难解析』
易错点 利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况
【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时,需要十分小心,当该因式恒正或恒负时可 以约去,一定要避免约去可能为零的因式而导致漏解。 例 1:在 ABC 中,已知 a cos A ? b cos B, 试判断 ABC 的形状。 【错解】由余弦定理得:

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a? ? b? , ? a 2 ?b2 ? c2 ? a 2 ? ? b2 ? a 2 ? c2 ? b2 ? , 2bc 2ac

?a2b2 ? a2c2 ? a4 ? b2a2 ? b2c2 ? b4 ,
? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? a 2 ? b 2 ?? a 2 ? b 2 ? ,

? c 2 ? a 2 ? b2 .
故 ABC 为直角三角形。 【点拨】利用余弦定理把已知等式中角的形式转化为边的形式,其思路是正确的,但是在等 式变形中约去了可能为零的因式 a ? b ,产生了漏解的情况,导致结论错误。
2 2

【正解】 由余弦定理得:

a?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 ? b? , ? a 2 ?b2 ? c2 ? a 2 ? ? b2 ? a 2 ? c2 ? b2 ? , 2bc 2ac

? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? a 2 ? b 2 ?? a 2 ? b 2 ? , ? ? a 2 ? b 2 ?? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ? 0,
? a ? b 或 c 2 ? a 2 ? b2 。
∴ ABC 为等腰三角形或直角三角形。

易错点 易忽略题中的隐含条件而导致错误
【易错点辨析】我们在解题时要善于应用题目中的条件,特别是隐含条件,全面、细致地分 析问题,如下列题中的 b>a 就是一个重要条件。 例 2:在 ABC 中,已知 a ? 2, b ? 2 2, C ? 15?, 求 A 。 【错解】由余弦定理,得

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 4 ? 8 ? 2 ? 2 ? 2 2 ?
由正弦定理,得 sin A ?

6? 2 ? 8 ? 4 3,? c ? 6 ? 2. 4

a sin C 1 ? . 又 0°<A<180°,? A ? 30? 或150? . c 2

【点拨】注意到已知条件中 b ? 2 2 > a ? 2 这一隐含条件,则 B > A ,显然 A ? 150? 是

不可能的。 【正解】由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 8 ? 4 3 ?c ? 6 ? 2.
2 2 2

又由正弦定理,得 sin A ?

a sin C 1 ? . ∵b>a,∴B>A.又 0°<A<180°,? A ? 30? c 2

『高考真题评析』
例 1: (2011.山东模拟) 在 ABC 中, D 为 BC 边上一点, BC ? 3BD, AD ? 2, ?ADB ? 135?, 若 AC ? 2 AB, 则 BD ? __________ . 【命题立意】本题主要考察余弦定理与方程组的应用。 【点拨】 如图 1-13 所示, 设 AB ? k , 则 AC ? 2k , 再设 BD ? x, 则 DC ? 2 x, 在 ABD 中, 由余弦定理得 k ? x ? 2 ? 2 ? x ? 2 ? ? ?
2 2

? ? ?

2? ? x 2 ? 2 ? 2 x ①。在 ADC 中,由余弦定理 ? ? 2 ?

得 2k ? 4 x ? 2 ? 2 ? 2 x ? 2 ?
2 2

2 ? 4 x 2 ? 2 ? 4 x, ? k 2 ? 2 x2 ? 1 ? 2 x ② 。 由 ① ② 得 2

,故填 2 ? 5 。 x2 ? 4x ?1 ? 0, 解得 x ? 2 ? 5 (负值舍去) 【名师点评】根据题意画出示意图由 CD=2BD,AC= 2 AB,设出未知量,在两个三角形中分别 利用余弦定理,然后联立方程组求解。

A

B D
图 1-13

C

例 2: ( 2010. 天 津 高 考 ) 在 ABC 中 , 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 是 a , b , c , 若

a2 ? b2 ? 3bc,sin C ? 2 3sin B, 则 A 等于(



A.30° B.60° C.120° D.150° 【命题立意】本题考察正、余弦定理的综合应用,考察分析问题、解决问题的能力。 【 点 拨 】 由 sin C ? 2 3 sin B, 根 据 正 弦 定 理 得 c ? 2 3b, 代 入 a2 ? b2 ? 3bc, 得

a2 ? b2 ? 6b2 , 即 a2 ? 7b2 , ,由余弦定理得

cos A ?
选A

b2 ? c2 ? a 2 b2 ? 12b2 ? 7b2 6b2 3 ? ? ? , 又 0°<A<180°,? A ? 30?. 故 2 2bc 2 2b ? 2 3 4 3b

【名师点评】应用正弦定理把已知条件中 sin C ? 2 3 sin B, 转化成边 b,c 的关系,再代入 已知得 a,b 的关系,利用余弦定理变形形式求角的余弦值。 例 3: (2010.北京高考)某班设计了一个八边形的班徽(如图 1-14 所示) ,它由腰长为 1, 顶角为 a 的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为( ) A. 2sin a ? 2 cos a ? 2 B. sin a ? 3 cos a ? 3 C. 3sin a ? 3 cos a ? 1 D. 2sin a ? cos a ? 1 【命题立意】 本题考察了用余弦定理理解三角形以及三角形面积公式和图形的分割求和等知 识。 【点拨】三角形的底边长为 x ? 1 ? 1 ? 2 ?1?1? cos a ? 2 ? 2cos a ,

1 ? S ? 4S三角形 ? S正方形 ? 4 ? ?1?1? sin a ? x 2 2 ? 2sin a ? 2 ? 2 cos a ? 2sin a ? 2 cos a ? 2
故选 A。 【名师点评】此题难度较低,该八边形由 4 个等腰三角形和一个正方形组合而成,应用余弦 定理求正方形的边长是关键。 例 4: (2010.安徽高考)设 ABC 是锐角三角形,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对边长, 且

?? ? ?? ? sin 2 A ? sin ? ? B ? sin ? ? B ? ? sin 2 B 。 ?3 ? ?3 ?
(1)求角 A 的值; (2)若 AB ? AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b,c(其中 b<c) 【命题立意】 本题考察两角和的正弦公式, 同脚三角函数的基本关系, 特殊角的三角函数值, 余弦定理,向量的数量积等知识。 解: (1)因为

? 3 ?? 3 ? 1 1 sin 2 A ? ? cos B ? sin B cos B ? sin B ? sin 2 B ?? ? ? 2 ?? ? 2 2 ? ?? 2 ?
? 3 1 3 cos 2 B ? sin 2 B ? sin 2 B ? , 4 4 4

所以 sin A ? ?

? 3 。又 A 为锐角,所以 A ? . 3 2

(2)由 AB ? AC ? 12, 得 cb cos A ? 12. ①由(1)知 A ?
2 2 2

? . 所以 cb=24.② 3
2 2

由余弦定理知 a ? c ? b ? 2cb cos A. 将 a ? 2 7 及①代入,得 c ? b ? 52 ,③ ③+②×2,得 ? c ? b ? ? 100, ,所以 c ? b ? 10 。
2

因此 c,b 是一元二次方程 t ? 10t ? 24 ? 0 的两个根,解此方程并由 b<c 知 c=6,b=4.
2

【名师点评】 (1)题三角形的六个元素均未知,只能从已知条件出发,把方程右边关系式进

3 . (2)题考察了构造方程求跟的能力。 4 例 5(陕西高考)如图 1-15 所示,在 ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=10,
行化简整理,得 sin A ?
2

AC=14,DC=6,求 AB 的长。 【命题立意】本题主要考察利用正弦定理和余弦定理解三角形,同时考察运算求解能力。 解:在 ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cos ?ADC ?

AD 2 ? DC 2 ? AC 2 100 ? 36 ? 196 1 ? ?? 2 AD ? DC 2 ?10 ? 6 2

??ADC ? 120?, ?ADB ? 60?. 在 ABD 中, AD ? 10, B ? 45?, ?ADB ? 60?,
由正弦定理得

AB AD ? , sin ?ADB sin B

AD ? sin ?ADB 10sin 60? ? AB ? ? ? sin B sin 45?

10 ? 2 2

3 2 ? 5 6.

A

B

D

C
图 1-15

【名师点评】已知 ACD 的三边,则由余弦定理先求 ?ADC 的余弦值,再求角,即可求的 补角 ? ADB ,在 ? ABD 中,已知两角一边用正弦定理求解即可。 例 6: (2010.江苏高考) 在锐角 ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 若

b a ? ?6 c o s , C a b



tan C tan C ? 的值。 tan A tan B

【命题立意】本题考察三角函数的化简及正、余弦定理的综合应用。

b a ? ? 6 cos C , 得 b 2 ? a 2 ? 6ab cos C ? 3 ? 2ab cos C ? 3 ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? a b tan C tan C 2 2 2 ? 化简整理得 2 ? a ? b ? ? 3c . 将 切化弦,得 tan A tan B
解:由

sin C sin 2 C sin C ? cos A cos B ? sin C sin ? A ? B ? sin C ? ? ? . ?? ? ? ?? cos C ? sin A sin B ? cos C sin A sin B cos C sin A sin B cos C sin A sin B
根据正、余弦定理得

sin 2 C ? cos C sin A sin B

2c 2 2c 2 c2 ? ? ?4 a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? b2 ? c 2 3 c2 ? c2 ab ? 2 2ab

所以

tan C tan C ? ?4 tan A tan B
2 2

【名师点评】整理通式的常用方法是通分,出现 a ? b , cos C 这样的形式时应考虑向余 弦定理靠拢。



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