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湖北省枣阳市第七中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理



湖北省枣阳市第七中学高二年级 2015-2016 学年度下学期期中考试 数学(理科)试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间:120 分钟 分值 150 分_ 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设复数 z ? A.
1? i 2 1 , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z ? ( 1? i

>
)

B. i

C. ?1

D.1

2.下列命题错误的是 A.命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 “的逆否命题为”若 x ? 1, 则x ? 3 x ? 2 ? 0
2

B.若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p为:?x ? R,x ? x ? 1 ? 0
2 2

C.若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题 D. " x ? 2" 是x ? 3 x ? 2 ? 0" 的充分不必要条件
2

3.已知命题 p : ?x ? (??, 0) , 2 ? 3 ,命题 q : ?x ? (0,
x x

? ), tan x ? sin x ,则下列命题为 2

真命题的是 A. (?p ) ? q B. p ? (?q ) C. p ? q D. p ? ( ? q )

4.若复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 1 ? 3i ,则复数 z 在复平面上的对应点在( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 5.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1)的子集有 3 个; 2 2 ②“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真; ③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的必要不充分条件; ④命题“ ?x ∈R,均有 x 2 ? 3 x ? 2 ≥0”的否定是: “ ?x ∈R,使得 x —3x-2≤0”
2

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

6.在空间直角坐标系中,点 A.
?

关于 C.

平面的对称点的坐标是( D. )



B.

7.已知 a, b ? R ,那么“ log 1 a ? log 1 b ”是 “ a ? b ”的(
2 2

1

A.充要条件 C.必要不充分条件
2 2

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

8.设 p : x ? x ? 20 ? ?? q:1 ? x ? 0 ,则 p 是 q 的 (

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知 p:x=2,q:0<x<3,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分,又不必要条件
* 10.某个命题与正整数有关,若当 n ? k (k ? N ) 时该命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时

该命题也成立,现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得( ) (A)当 n ? 6 时,该命题不成立 (B)当 n ? 6 时,该命题成立 (C)当 n ? 4 时,该命题成立 (D)当 n ? 4 时,该命题不成立 11..若 f ( x ) ? x ? 2
2

?

1

0

f ( x )dx, 则 ? f ( x )dx ? (
0

1



A. ?1

B. ?

1 3

C.

1 3

D.1

x2 2 12.设椭圆 +y =1 的左焦点为 F,P 为椭圆上一点,其横坐标为 3 ,则|PF|等于( 4
(A)

)

1 2

(B)

3 2

(C)

5 2

(D)

7 2

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13.将长为 l 的铁丝剪成两段,分别围成长与宽之比为 2 :1 及 3 : 2 的矩形,那么面积多和的 最小值为 。

x2 ? y2 ? 1 4 14.椭圆 的焦距为

.

15 . 已 知 l ∥ α , 且 l 的 方 向 向 量 为 u=(2,m,1), 平 面 α 的 法 向 量 为 v=(1, ,2), 则 m= . 16.①终边相同的角的同名三角函数的值相等;②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若

sin? ? 0

,则

? 是第一,二象限的角;

④若

sin? ? sin?

,则

? ? 2k ? ? ? ? k ? Z ;
⑤已知 ? 为第二象限的角,则 其中正确命题的序号有

?
2

为第一象限的角. 。

2

三、解答题(70 分) 17. (本题 12 分) 抛物线顶点在原点, 以 x 轴为对称轴, 过焦点且垂直于对称轴的弦长为 8 , 求抛物线的方程。 18. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 设 g ( x) ? ? x ? 2bx ? 4 , 若对任意 x1 ? (0 , 2) ,x 2 ? ?1 , 2? , 不等式 f ( x1 ) ? g ( x 2 )
2

1 3 x? ?1. 4 4x

恒成立,求实数 b 的取值范围. 19. (本题 12 分) 如图 1, 若射线 OM, ON 上分别存在点 M1, M2 与点 N1, N2, 则
S ?OM1N1 S ?OM 2 N 2

=

OM 1 ON1 · ; OM 2 ON 2

如图 2,若不在同一平面 内的射线 OP,OQ 和 OR 上分别存在点 P1,P2,点 Q1,Q2 和点 R1,R2, 则类似的结论是什么?这个结论正确 吗?说明理由.

20. (本题满分 10 分) 已知 p : y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 在 R 上为增函数, q: 直线 3x+4y+a=0 与圆 x +y =1 相交. 若
2 2

p 真 q 假,求实数 a 的取值范围.

21. (本题 12 分)已知 ABCD 是平行四边形,P 点是 ABCD 所在平面外的一点,连接 PA、PB、 PC、PD.设点 E、F、G、H 分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 的重心. (1)试用向量方法证明 E、F、G、H 四点共面; (2)试判断平面 EFGH 与平面 ABCD 的位置关系,并用向量方法证明你的判断.

x2 y2 22. (本题 12 分)如图,已知 P 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上且位于第一象限的一点, a b
F 是椭圆的右焦点,O 是椭圆的中心, B 是椭圆的上顶点, H 是直线 x ? ?

a2 ( c 是椭圆 c

的半焦距)与 x 轴的交点,若 PF ? OF , HB // OP ,试求椭圆的离心率的平方的值.

参考答案

3

1.D 【 解 析 】

z?

1 1? i 1 1 ? ? ? i 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2 2





z?

1 1 ? i 2 2







z?z ?

1 1 1 1 ? i ? ( ? i) ? 1,故选 D 2 2 2 2

2. C 【 解 析 】 对 于 C : 若 p ? q 为假命题,则 p、q 中至少有一个假命题.所以 C 错. 3.A 【解析】
x x 试题分析:因为任意 x ? ? -?,0 ? , 2 >3 ,所以命题 p : ?x ? (??, 0) , 2 ? 3 为假命题。

x

x

命题 q : ?x ? (0,

? ), tan x ? sin x ,为真命题。所以 (?p ) ? q 为真命题; p ? (?q ) 为假命 2

题; p ? q 为假命题; p ? (?q ) 为假命题。 考点:命题真假的判断;复合命题真假的判断;指数函数的图像;三角函数的图像。 点评:熟练掌握指数函数 y =2 和 y =3 在同一坐标系内图像的特征。属于中档题。 4.B 【解析】解:因为 z ? 5.D 【解析】①中,集合 A 有 2 个元素,则其子集个数为 2 ? 4 个,①错误;
2
x x

1 ? 3i (1 ? 3i)(1 ? i) ?2 ? 4i ? ? ? ?1 ? 2i 表示的点在第三象限,选 B 1? i 2 2

②中,若 am 2 ? bm 2 ,则有 m 2 ? 0 ,从而可得 a ? b ,所以原命题是真命题,则其逆命题 为假命题,②错误; ③中,命题 p ? q 为真,则 p, q 至少有一个为真命题,即 p, q 中可能存在一个假命题,则此 时 p ? q 为假。而当 p ? q 为真时, p, q 都是真命题,所以 p ? q 为真,所以“命题 p ? q 为 真”是“命题 p ? q 为真”的必要不充分条件,③正确; ④中,命题“ ?x ? R ,均有 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,使得 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” , ④错误。 综上可得,选 D 6.D 【解析】 试题分析:在空间直角坐标系中, 点 关于 平面的对称点的坐标是 关于 平面对称的点的坐标为 .故本题答案选 D. ,则

考点:空间直角坐标系 7.A

4

【解析】 试题分析:因为前提条件是 a, b ? R ,所以由 log 1 a ? log 1 b ,可以推出 a ? b ,反之也能
2 2

?

推出,所以“ log 1 a ? log 1 b ”是 “ a ? b ”的充要条件.
2 2

考点:本小题主要考查对数函数的单调性和充分、必要条件的判断. 点评:判断充分、必要条件,关键是弄清楚谁是条件谁是结论,是充分条件还是必要条件. 8.A 【解析】 试题分析: 由 p 得 x ? 5或x ? ?4 , 由 q 得 x ? 1或x ? ?1 , 所以, p 是 q 的充分不必要条件, 选 A。 考点:充要条件的概念,不等式的解法。 点评:简单题,涉及充要条件的判断问题,往往综合性较强。常用方法有:定义法、集合关 系法、等价关系法。 9.A. 【解析】 试题分析:因为命题 p:x=2,显然满足 0<x<3,即 p 是 q 的充分条件;反过来,若 0<x <3,则不能推出 x=2,即 q 不能推出 p. 故 p 是 q 的成分不必要条件. 考点:充分条件与必要条件. 10.D 【解析】略 11.B 【解析】 试题分析:令 m ? 所以 m ?
1

? f ?x ?dx ,则 f ?x ? ? x
1 0
1 1

2

? 2 ? f ? x ?dx ? x 2 ? 2m ,
1 0
1

1 1 2 2 ? ? ? ? ? ? f x dx ? x ? 2 f x dx dx ? x ? 2 m dx ? x 2 dx ? 2m ? ? 2m , ? ? ?0 ?0 ? ?0 ? ? 0 0 ? 3 1 1 1 所以 m ? ? ? ? f ? x ?dx ? ? 0 3 3

?

?

? ?

考点:定积分的应用. 12.D 【解析】设 P( 3 ,y), 由

3 2 +y =1, 4
2

解得 y =

1 . 4
x2 2 +y =1 知 a=2, b=1. 4

由椭圆方程

∴c= 3 ,F(- 3 ,0),
5

∴|PF|= = 12 ?

?
1 4

3? 3

?

2

? y2

=

7 . 2
3 2 l 104

13.

【 解 析 】 设 将 铁 丝 分 成 两 段 , 一 段 长 为 x , 则 另 一 段 长 为 l?x , 则

x x 3?l ? x ? 2 ?l ? x ? 1 l S? ? ? ? (0 ? x ? l ) , 令 S ' ? 0 得 x ? l , 所 以 当 x ? 时 , 6 3 10 10 2 2
S min ? 3 2 l 。 104

14. 2 3 【解析】由题意,得 a ? 4, b ? 1 ,则 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 3,2c ? 2 3 ,即焦距为 2 3 .
2 2

考点:椭圆的标准方程. 15.-8 【解析】由 l∥α 可推出 u⊥v,列出方程,求得 m. ∵l∥α ,∴u⊥v,∴u·v=0, 即 2×1+m× +1×2=0,解得 m=-8. 16.① 【解析】略 17.抛物线方程为 y ? ?8 x
2

【解析】设抛物线方程为 y ? 2ax(a ? 0) ,则其焦点为 ?
2

a ?a ? ,0 ? ,将 代入 y 2 ? 2ax 得 2 ?2 ?

y ? ? a ,∴ 2 a ? 8 , a ? ?4 ,所求抛物线方程为 y 2 ? ?8 x 。
18. (I)函数 f (x) 的单调递增区间是(1,3) ;单调递减区间是 (0,1), (3, ??) (II)b 的取值范围是 b ?

14 2
1 3 x? ? 1 的 定 义 域 是 (0, ?? ) 4 4x

【 解 析 】 第 一 问 利 用 f (x) ? ln x ?

f '(x) ?

1 1 3 4x ? x 2 ? 3 ? ? 2 ? x 4 4x 4x 2
6

由 x>0 及 f '(x) ? 0 得 1<x<3;由 x>0 及 f '(x) ? 0 得 0<x<1 或 x>3, 故函数 f (x) 的单调递增区间是(1,3) ;单调递减区间是 (0,1), (3, ??) 若 对 任 意 x1 ? (0, 2), x 2 ? [1, 2], 不 等 式 f (x1 ) ? g(x 2 ) 恒 成 立 , 问 题 等 价 于 第二问中,

f (x1 ) min ? g(x 2 ) max 只需研究最值即可。
解: (I) f (x) ? ln x ?

1 3 x? ? 1 的定义域是 (0, ??) 4 4x

. . . . . .1分

f '(x) ?

1 1 3 4x ? x 2 ? 3 ? ? 2 ? x 4 4x 4x 2

. . . . . . . . . . . . . 2分

由 x>0 及 f '(x) ? 0 得 1<x<3;由 x>0 及 f '(x) ? 0 得 0<x<1 或 x>3, 故函数 f (x) 的单调递增区间是(1,3) ;单调递减区间是 (0,1), (3, ??) (II )若对任意 x1 ? (0, 2), x 2 ? [1, 2], 不等式 f (x1 ) ? g(x 2 ) 恒成立, 问题等价于 f (x1 ) min ? g(x 2 ) max , . . . . . . . . .5 分 . . . . . . . .4 分

由(I)可知,在 (0, 2) 上,x=1 是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点, 故也是最小值点,所以 f (x) min ? f (1) ? ?

1 ; 2

. . . . . . . . . . . .6 分

g(x) ? ? x 2 ? 2bx ? 4, x ? [1, 2]
当 b<1 时, g(x) max ? g(1) ? 2b ? 5 ; 当 1 ? b ? 2 时, g(x) max ? g(b) ? b 2 ? 4 ; 当 b>2 时, g(x) max ? g(2) ? 4b ? 8 ; . . . . . . . . . . . .8 分

?b ? 1 ?1 ? b ? 2 ?b ? 2] ?b ? 1 ? ? ? ? 或? 1 或 问题等价于 ? 1 . . . . . . . .11 分 ? 1 2 ? 1 ? ? 2b ? 5 ? ? b ? 4 ? ? 4b ? 8 ? ? 2 b ? 5 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2
解得 b<1 或 1 ? b ? 19.类似的结论为:

14 或 b?? 2
VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2

即b ?

14 14 , 所以实数 b 的取值范围是 b ? 2 2

=

OP OQ OR 1 · 1· 1. OP2 OQ2 OR2

【解析】 类似的结论为:

VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2

=

OP OQ OR 1 · 1· 1. OP2 OQ2 OR2

7

这个结论是正确的,证明如下: 如图,过 R2 作 R2M2⊥平面 P2OQ2 于 M2,连 OM2. 过 R1 在平面 OR2M2 作 R1M1∥R2M2 交 OM2 于 M1, 则 R1M1⊥平面 P2OQ2. 由 VO? P1Q1R1 =
1 3 1 2

1 S ?P1OQ1 ·R1M1 3

= · OP1·OQ1·sin∠P1OQ1·R1M1 = OP1·OQ1·R1M1·sin∠P1OQ1, 同理, VO? P2Q2 R2 = OP2·OQ2·R2M2·sin∠P2OQ2. 所以
VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2
1 6 1 6

=

OP1 ? OQ1 ? R1 M 1 . OP2 ? OQ2 ? R2 M 2 R1M 1 OR = 1. R2 M 2 OR2

由平面几何知识可得 所以
VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2

=

OP 1 ? OQ1 ? OR1 .所以结论正确. OP2 ? OQ2 ? OR2

20.a≥5. 【解析】 试题分析:若 P 真,则 a>1.??3 分 若 q 真,则

a <1,∴-5<a<5.??6 分 5

P 真 q 假,则 ?

?a ? 1, ∴a≥5.??10 分 ?a ? ?5或a ? 5,

考点:本题主要考查逻辑联结词,简单不等式组的解法。 点评:基础题,由 p 真 q 假,可得到 a 的不等式组,解之即得所求。 21.(1)证明略(2) 平面 EFGH∥平面 ABCD 【解析】 (1) 分别延长 PE、PF、PG、PH 交对边于 M、N、Q、R 点,因为 E、F、G、H 分别 是所在三角形的重心,所以 M、N、Q、R 为所在边的中点,顺次连接 M、N、Q、R 得到的四边 形为平行四边形,且有 PE =
PF =
2 PM , 3

2 2 2 PN , PG = PQ , PH = PR 3 3 3

∴ MQ = MN + MR =( PN - PM )+( PR - PM ) = ( PF - PE )+ ( PH - PE )
3 2 3 2

8

= ( EF + EH ) 又∵ MQ = PQ - PM = ∴
3 3 3 PG - PE = EG 2 2 2

3 2

3 3 EG = ( EF + EH ),∴ EG = EF + EH 2 2

由共面向量定理知:E、F、G、H 四点共面. (2) 由(1)得 MQ =
3 EG ,故 MQ ∥ EG . 2

又∵ MQ ? 平面 ABC,EG ? 平面 ABC. ∴EG∥平面 ABC. 又∵ MN = PN - PM =
3 3 3 PF - PE = EF 2 2 2

∴MN∥EF,又∵MN ? 平面 ABC,EF ? 平面 ABC, EF∥平面 ABC. ∵EG 与 EF 交 于 E 点, ∴平面 EFGH∥平面 ABCD. 22.

5 ?1 . 2

【解析】 试题分析:依题意,可求得 P ? c, 的性质即可求得 e .
2

? b2 ? ? a2 ? 2 , H ? ? ? , 0 ? ,利用 HB∥OP 求得 c =ab,再利用椭圆 a c ? ? ? ?

? a2 ? , 0 ? ,F(c,0),B(0,b). 试题解析:解 依题意知 H ? ? ? c ?
设 P(xP,yP),且 xP=c,代入到椭圆的方程, 得 yP=

? b2 ? b2 .∴P ? c, ? . a ? a?

b2 b?0 ? a ∵HB∥OP,∴kHB=kOP,即 a2 c 0? c
∴ab=c .
2

a2 ? c2 c b 2 -2 ∴e= = ,∴e = =e -1. 2 c a c
∴e +e -1=0.∵0<e<1,∴ e 2 ?
4 2

5 ?1 . 2

9

考点:椭圆的简单性质.

10



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