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2015-2016学年高中数学人教A版必修4课时训练:3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(含答案)



第三章
数学· 必修 4(人教 A 版)

三角恒等变换

第三章
3.1 3.1.2

三角恒等变换

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

基 础 提 升 4 3 1.已知 sin α= ,cos(α+β)=- ,α、β 都是

第一象限的角, 5 5 则 sin β 等于( 24 A. 25 24 7 C. 或 25 25 ) 7 B. 25 D.- 24 25

答案:A π 2.若函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x,0≤x< ,则 f(x)的最大值为 2 ( ) A.1 B.2 C. 3+1 D. 3+2

解析:因为 f(x)=(1+ 3tan x)cos x
? π? =cos x+ 3sin x=2cos?x-3?. ? ?

第三章

三角恒等变换

π 故当 x= 时,函数取得最大值为 2.故选 B. 3 答案:B

π 3.已知 α+β= ,则(1+tan α)(1+tan β)的值是( 4 A.-1 π 解析:∵α+β= , 4 ∴由 tan(α+β)= tan α+tan β =1, 1-tan α· tan β B.1 C.2

) D.4

可得 tan α+tan β=1-tan αtan β,故原式可化为 1 + tan α + tan β + tan αtan β = 1 + (1-tan αtan β) + tan

αtan β=2.故选 C. 答案:C

4.已知 tan α=4, tan β=3,则 tan(α+β)=( 7 A. 11 B- 7 11 C. 7 13

) 7 D.- 13

解析:tan(α+β)= 答案:B

tan α+tan β 4+3 7 = =- ,故选 B. 11 1-tan α· tan β 1-12

5.设 a=sin 14° +cos 14° ,b=sin 16° +cos 16° ,c=

6 ,则 a, 2

第三章
b,c 的大小关系是( A.a<b<c ) B.a<c<b

三角恒等变换

C.b<a<c

D.b<c<a

解析:a= 2? b= 2? c=

? 2 ? 2 ?= 2sin 59° , sin 14° + cos 14° 2 ? 2 ?

? 2 ? 2 ?= 2sin 61° , sin 16° + cos 16° 2 ?2 ?

6 3 = 2× = 2sin 60° . 2 2

∵sin 59° <sin 60° <sin 61° , ∴a<c<b,故选 B. 答案:B

巩 固 提 高 6.已知函数 f(x)= 3sin x-cos x,x∈R,若 f(x)≥1,则 x 的取值范围为(
? ?

)
?

? ? ? π A.?x?kπ+3≤x≤kπ+π,k∈Z ? ? ? ? π B.?x?2kπ+3≤x≤2kπ+π,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? π 5π C.?x?kπ+6≤x≤kπ+ 6 ,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? π 5π D. ?x?2kπ+6≤x≤2kπ+ 6 ,k∈Z ? ? ? ?

第三章
答案:B

三角恒等变换

sin 7° +cos 15° sin 8° 7. 等于( cos 7° -sin 15° sin 8° A.2+ 3 C.1+ 3 2

)

B.2- 3 D.1- 3 2

解析:原式= = =

sin?15° -8° ?+cos 15° sin 8° cos?15° -8° ?-sin 15° sin 8°

sin 15° cos 8° -cos 15° sin 8° +cos 15° sin 8° cos 15° cos 8° +sin 15° sin 8° -sin 15° sin 8° sin 15° cos 8° sin 15° = cos 15° cos 8° cos 15°

sin?45° -30° ? = cos?45° -30° ? = sin 45° cos 30° -cos 45° sin 30° cos 45° cos 30° +sin 45° sin 30°

2 3 2 1 × - × 3-1 2 2 2 2 = = 2 3 2 1 3+1 × + × 2 2 2 2 = 4-2 3 =2- 3.故选 B. 2

答案:B

4 4 8. 已知 cos(α+β)= , cos(α-β)=- , 则 cos αcos β 的值为( 5 5

)

第三章
A.0 B. 4 5

三角恒等变换
4 C.0 或 5 4 D.0 或± 5

解析:由已知得: 4 ? cos α · cos β - sin α · sin β = , ? 5 ? 4 ? cos α · cos β + sin α · sin β =- , ? 5 ①+②得:2cos αcos β=0, ∴cos αcos β=0,故选 A. 答案:A ① ②

?1 π? 9.已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? ?5π? (1)求 f? 4 ?的值; ? ? ?5π? ?1 5π π? π 解析:(1)f? 4 ?=2sin ?3× 4 -6?=2sin = 4 ? ? ? ?

2.

? π? ? π? 10 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?= , f(3β+2π)= ,求 cos(α+ 5 ? ? ? ? 13

β)的值.
? π? ? π π? 10 解析:(2)∵f?3α+2?=2sin?α+6-6?= 2sin α= , 13 ? ? ? ?

∴sin α=

5 , 13

? 2π π? ? π? 6 ∵f(3β+2π)=2sin?β+ 3 -6 ?=2sin?β+ 2?=2cos β= ,∴cos β 5 ? ? ? ?

第三章
3 = , 5
? π? 又 α,β∈?0,2?, ? ?

三角恒等变换

∴cos α= 1-sin2α=

12 4 ,sin β= 1-cos2β= , 13 5

12 3 5 4 16 ∴cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β= × - × = . 13 5 13 5 65

10.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴为始边作两个锐 角 α,β,它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的 横坐标分别为 2 2 5 , . 10 5

(1)求 tan(α+β)的值;

解析:由已知条件即三角函数的定义可知 cos α= 2 2 5 ,cos β= , 10 5

因 α 为锐角,故 sin α>0, 7 2 从而 sin α= 1-cos2α= , 10 同理可得 sin β= 1-cos2β= 1 因此 tan α=7,tan β= . 2 tan α+tan β = 1-tan α· tan β 1 7+ 2 5 , 5

所以 tan(α+β)=

=-3. 1 1-7× 2

第三章
(2)求 α+2β 的值.

三角恒等变换

解析:tan(α+2β)=tan [(α+β)+β] tan?α+β?+tan β = 1-tan?α+β?· tan β -3+ = 1 2

=-1, 1 1-?-3?× 2

π π 又 0<α< ,0<β< , 2 2 3π 故 0<α+2β< , 2 从而由 tan(α+2β)=-1, 得 α+2β= 3π . 4



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