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江苏省苏州市五中2009届高考数学复习中档题训练五



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苏州市第五中学 2009 届高考数学复习
中档题训练五
1.已知: a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x,cos x) , f ( x) ? 2a ? b ? 2m ? 1 ( x , m ? R ). (1) 求 f ( x ) 关于 x 的表达式,并求 f ( x ) 的最小正周期; (2) 若 x ? [0 ,

?

?

? ?

?
2

] 时 f ( x) 的最小值为 5,求 m 的值.

2 图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD,AC ? CD, ?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE ;

P

E

A
B

D

C

3.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产,已知该厂 连续生产 n 个月的累计产量为 f (n) ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) 吨,但如果月产量超过 96 吨,将会给环境 2 造成危害.(1)请你代表环保部门给该厂拟定最长的生产周期.(2)若该厂在环保部门的 规定下生产,但需要每月交纳 a 万元的环保税,已知每吨产品售价 0.6 万元,第 n 个月的工

8 2 人工资为 g (n) ? n2 ? n ? 1 万元,若每月都赢利,求出 a 的范围. 5 5

4. 已知直线 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (3 ? 12k ) ? 0(k ? R) 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的 一个焦点,且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)已知圆

O : x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : mx ? ny ? 1 .试证明当点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动时,直线 l 与圆
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O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围.

中档题训练五参考答案
1.解:(1) f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ? 2m ?1

? 3sin 2x ? cos 2x ? 2m
x (2) ∵ ? [0 ,

? 2 s i nx2 (?

?
6

? ) m . 2? f ( x) 的最小正周期是 ? .

?
2

] , 2x ? ∴

?
6

?[

? 7?
6 , 6

] ∴ 2x ? 当

?
6

?

2 m 最小值是 2m ? 1 . ∵ m ? 1 ? 5 ,∴ ? 3 .

7? ? 即 x ? 时, 函数 f ( x ) 取得 6 2

2.解: (1)证明:在四棱锥 P ? ABCD 中,因 PA ? 底面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , 故 PA ? CD .∵ AC ? CD,PA ? AC ? A ,∴ CD ? 平面 PAC . 而 AE ? 平面 PAC ,∴ CD ? AE . P (2)证明:由 PA ? AB ? BC , ?ABC ? 60° , M 可得 AC ? PA . E ∵ E 是 PC 的中点,∴ AE ? PC . 由(1)知, AE ? CD ,且 PC ? CD ? C , A D 所以 AE ? 平面 PCD . C 而 PD ? 平面 PCD ,∴ AE ? PD . B ∵ PA ? 底面 ABCD,PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD , AB ? AD ,∴ AB ? PD .又∵ AB ? AE ? A ,综上得 PD ? 平面 ABE .

3.解: (1)第 n 个月的月产量= ?

? f ?1? , n ? 1 ? . ? f ? n ? ? f ? n ? 1? , n ? N,n ? 2 ?

1 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ,∴ f ?1? ? 1.当 n ? 2 时, f (n ? 1) ? (n ? 1)(n)(2n ? 3) 2 2 2 ∴ f ( n)? f ( n 1 ) 3 ? 2 ? ? n n
∵f (n) ? 令

f (n) ? f (n ?1) ? 96 ,即 3n2 ? 2n ? 96 ? 0 ,解得: ?

16 ? n ? 6, 3

n ∵ ? N ,∴ max n
(2)

?6.
n ? N , n ? 6 恒成立.

3 2 (3n ? 2n) ? a ? g (n) ? 0 5

1 1 1 1 a ? (n ? 2) 2 ? , n ? 1, 2,3, 4,5,6 ,令 h(n) ? (n ? 2) 2 ? , n ? 1, 2,3, 4,5,6 5 5 5 5
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∴ ? 2 时 h(n) 最小, h(2) ? n

1 1 ,所以 0 ? a ? . 5 5

4.解:(1)由 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (3 ? 12k ) ? 0(k ? R) ,得 ( x ? 2 y ? 3) ? k (4 x ? 3 y ?12) ? 0 ,

则由 ?

? x ? 2 y ? 3? 0 x2 y 2 , 解 得 F(3,0), 设 椭 圆 C 的 方 程 为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 则 a b ?4 x ? 3y ? 12? 0

? c?3 ?a ? 5 x2 y 2 ? ? a ? c ? 8 ,解得 ?b ? 4 , 所以椭圆 C 的方程为 ? ?1 ? 25 16 2 2 2 ?a ? b ? c ?c ? 3 ? ?
(2)因为点 P( m, n) 在椭圆 C 上运动,所以 1 ?

m2 n 2 ? ? m2 ? n 2 , 25 16

从而圆心 O 到直线

l : mx ? ny ? 1 的距离 d ?

1 m ? n2
2

? 1 ? r .所以直线 l 与圆 O 恒相交
1 1 m ? n2 ? 2 1 ? 9 2 m ? 16 25
2

又直线 l 被圆 O 截得的弦长为 L ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 1 ?

由于 0 ? m ? 25 ,所以 16 ?
2

9 2 15 4 6 m ? 16 ? 25 ,则 L ? [ , ], 25 2 5

即直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围是 L ? [
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

15 4 6 , ] 2 5

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