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高中数学(人教A版,选修2-2)备选练习:1.7定积分的简单应用


选修 2-2

第一章

1.7

1.如图是一个质点做直线运动的 v—t 图象,则质点在前 6 s 内的位移为________.

[答案] 9m 3 3 3 [解析] 直线 OA 方程为 y= x, 直线 AB 方程为 y=- x+9, 故质点在前 6 s 内的位移为?4 xdx+?6(- 4 2 ?4 ?
0 4

3 3 3 x+9)dx= x2|4 +(- x2+9x)|6 4=6+3=9. 2 8 0 4 1 2.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程为 y= x+2,则 f(1)+f ′(1)=________. 2 [答案] 3 1 [解析] ∵切点 M 在切线 y= x+2 上, 2 1 5 ∴f(1)= ×1+2= , 2 2 1 1 又切线斜率 k= ,∴f ′(1)= , 2 2 5 1 ∴f(1)+f ′(1)= + =3. 2 2 1 3.在曲线 y=x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 ,试求: 12 (1)切点 A 的坐标; (2)过切点 A 的切线方程. [解析] 如图所示,设切点 A(x0,y0),由 y′=2x 知过 A 点的切线 2x0(x-x0), 即 y=2x0x-x2 0. x0 ? x0 令 y=0 得 x= ,即 C? ? 2 ,0?. 2 设由曲线和过 A 点的切线及 x 轴所围成图形的面积为 S, 1 S=S 曲边△AOB-S△ABC,S 曲边△AOB=∫x00x2dx= x3 , 3 0 x0 2 1 3 1 1 x - ?· S△ABC= |BC|· |AB|= ? x= x, 2 2? 0 2 ? 0 4 0 1 1 1 1 即 S= x3 - x3= x3= . 3 0 4 0 12 0 12 所以 x0=1,从而切点 A(1,1),切线方程为 y=2x-1. 方程为 y-y0=


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