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高中数学(人教A版,选修2-2)备选练习:1.6微积分基本定理


选修 2-2
1.函数 F(x)=?x t(t-4)dt 在[-1,5]上(

第一章

1.6

?0

)

A.有最大值 0,无最小值 32 B.有最大值 0 和最小值- 3 32 C.有最小值- ,无最大值 3 D.既无最大值也无最小值 [答案] B 13 1 x t -2t2?|0 = x3-2x2(-1≤x≤5). [解析] F(x)=?x (t2-4t)dt=? 3 ? ? 3 ?
0

F ′(x)=x -4x,由 F ′(x)=0 得 x=0 或 x=4,列表如下: x F ′(x) F(x) (-1,0) + ? 0 0 极大值 (0,4) - ? 4 0 极小值 (4,5) + ?

2

32 可见极大值 F(0)=0,极小值 F(4)=- . 3 7 25 又 F(-1)=- ,F(5)=- , 3 3 ∴最大值为 0,最小值为- 32 . 3 )

2.由曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为(

1 A. 4 1 C. 2 [答案] A y=x ? ? [解析] 由?y=t2 ? ?x>0
1 2 2 2 2

1 B. 3 2 D. 3

得,x=t,故 S=?t (t2-x2)dx+

?0

(x -t )dx=(t x- x )|0+( x -t x)|t ? 3 3 ?t

1

3 t

1

3

2

1

4 1 = t3-t2+ , 3 3 1 令 S′=4t2-2t=0,∵0<t<1,∴t= , 2 1 1 易知当 t= 时,Smin= . 2 4


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