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陕西省高三数学测试题12月份 12.14



高陵县第一中学高三数学测试题 12.14
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 如果 M ? { y | y ? x } ,N={x|x ≤2},那么 M ? N ? (
2

9. 若 x 0 是函数 f ( x ) ? 3 x ? A. f ( x 1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? 0

/>
1 x?2

的一个零点, x 1 ? ( 2 , x 0 ) , x 2 ? ( x 0 , ? ? ) ,则( B. f ( x 1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? 0 D. f ( x 1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? 0
1



2

) C. f ( x 1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? 0

A. ? 1 ?

B. ? (1,1), ( ? 1,1)?

C. ? 0 ,1 ?

D. [ 0 , 2 ] )

2. 已知命题 p、q 均为真命题,则下列命题中的假命题是( A. p 或 q B. p 且 q C. ? p 且 q D. ? p 或 q 3. 已知 a , b ? R , i 是虚数单位,且 ( a ? 2 ) i ? b ? 1 ? i ,则 i A. i B. -i C. 1 D. -1
a?b

10. 已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0 , ? ? ) 单调增加,则满足 f ( 2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是(
3



A. , (
的值为( )
3

1

2 3



B.[ ,
3

1

2 3



C.(

1 2



2 3



D.[

1 2



2 3



二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、已知五个正数 7,8,9,x,y 的平均数是 8,则 xy 的最大值是____ ) 12、已知
f (x) ? x
2

4. 若 { a n } 为等差数列, S n 是前 n 项和, a 1 ? 1, S 3 ? 9 ,则该数列的公差 d 为( A. 1
4 5

, g (x) ?

(

1 2

) ?m
x

,若对 ? x 1 ? ?? 1,1 ? ,? x 2

? ?0 , 2 ? ,总有 f ( x1 ) ≥ g ( x 2 ) ,则实数 m



B. 2
3 5
? 3
0 .5

C. 3
2 3
2? 3

D. 4
3 4

取值范围是


2 2

5、已知角 ? 的顶点与原点生命,始边与横轴的正半轴重合,终边在直线 y=3x 上,则 cos2 ? = A、 ? B、 ? C、 D、 ,则(

13、已知直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 交于 M 、 N 两点,O 是坐标原点,则 O M ? O N ?

???? ???? ?

.

6、设 a A. c

, b ? lo g 3 2 , c ? c o s

) C. c
? a ? b

14、甲地与乙地相距 250 公里,一天小张从上午 7:50 由甲地出发驾车前往乙地.在上午 9:00,11:00 时,车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶,那么还有 1 小时到达乙地” ·假设导航 仪提示语都是正确的,那么在上午,11:00 时,小张距乙地还有 公里. D. b
? c ? a

? b ? a

B. a

? b ? c
?1 ? ? ?0

15. 观察下列几个三角恒等式:

7、Direchlet 函数定义为: D ( t ) 性质叙述不正确的是( ... A. D ( t ) 的值域为 ? 0 ,1? C. D ( t ) 不是单调函数

t?Q t ? ?RQ

,关于函数 D ( t ) 的

) B. D ( t ) 为偶函数 D. D ( t ) 不是周期函数

① ta n 1 0 ? ta n 2 0 ? ? ta n 2 0 ? ta n 6 0 ? ? ta n 6 0 ? ta n 1 0 ? ? 1 ; ② ta n 1 3 ? ta n 3 5 ? ? ta n 3 5 ? ta n 4 2 ? ? ta n 4 2 ? ta n 1 3 ? ? 1 ; ③ ta n 5 ? ta n 1 0 0 ? ? ta n 1 0 0 ? ta n ( ? 1 5 ? ) ? ta n ( ? 1 5 ? ) ta n 5 ? ? 1 ; 一般地,若 为
ta n ? , ta n ? , ta n ?

都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论 .

8、右图是一个几何体的三视图(左视图中的弧线是半圆) ,则该几何体的表 面积是( ) A、20+3 ? B、24+3 ? C、20+4 ? D、24+4 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16. 已知函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? cos

2

x

.

19. 如 图 , 在 直 三 棱 柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中 , A C ?
A C? B C ?

, B C 且

(1)若

f (? ) ? 1 ,求 sin ? ? cos ?
f (x)

的值;

1

C C , M 是 A B 1 , A1 B 的交点, N 是 B 1 C 1 的中点. ? 2

(2)求函数

的单调增区间.
2 2 2

17.在 ? A B C 中, a , b , c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 b ? c ? a ? b c (I)求角 A 的值; (II)若 a ?
3 , cos C ? 3 3

(Ⅰ)求证:MN∥平面 ACC1A1; (Ⅱ)求三棱锥 N-A1BC 的体积 20. 如图, 在三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中, A C ? 3 ,
C C1 ?

平面 A B C , B C

? 4 , A B ? 5 , A A1 ? 4



,求 c 的长。

点 D 是 A B 的中点, (1)求证: A C ? B C 1 ; (2)求证: A C 1 ? 平 面 C D B 1 ; (3)求三棱锥 C 1 ? C D B 1 的体积.

18.已知数列 ? a n ? 的首项 a 1 ?

1 4

的等比数列,其前 n 项和 S n 中 S 3 ?

3 16

, 21.已知函数 f ( x ) ? x ? 1 与函数 g ( x ) ? a ln x ( a ? 0 ) .
2

(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ? lo g | a n | , T n ?
1 2

1 b1 b 2

?

1 b 2 b3

? ??? ?

1 b n b n ?1

(I)若
,求 T n

f ( x ), g ( x ) 的图象在点 (1 , 0 )

处有公共的切线,求实数 a 的值;

(Ⅱ)设 F ( x ) ?

f ( x ) ? 2 g ( x ) ,求函数 F ( x ) 的极值.

文科数学参考答案 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 B 5 A 6 A 7 D 8 D 15. 略 9 B 10 A

由正弦定理知: c ?

a s in C s in A

3?

6 3 3 ? 2 3 6
? c ?

=?
2

2 3

6

………………12 分

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 2 5 分) 11. 6 4 12. [1,+∞) 13. ? 2 14. 60

18.解: (Ⅰ)若 q

? 1 ,则 S 3 ?

3 4

?

3 16

不符合题意,∴ q
1 ? a ? ? 1 ? 4 ? ?q ? ? 1 ? 2 ?

?1,

……………………………2 分

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.解:解: (1) f ( x ) ? sin 2 x cos
?
6 ? cos 2 x sin

?
6

?

1 ? cos 2 x 2

?

3 2

sin 2 x ? 3 6

1 2

3分

1 ? a1 ? ? 4 ? 当 q ? 1 时,由 ? 3 a 1 (1 ? q ) 3 ?S ? ? 3 ? 1? q 16 ?



∴ an

?

1 4

? (?

1 2

)

n ?1

? (?

1 2

)

n ?1

…… 6 分



f (? ) ? 1 ,可得 sin 2 ? ?

3 3

?5 分
? 2 k? , k ? Z

所以 sin ,

? ? cos ? ?

1 2

sin 2 ? ?

??7 分
(Ⅱ)∵ b n
? lo g 1 a n ? lo g 1 ( ?
2 2

1 2

(2)当 ? 即 x ? [?
?
4

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
2

)

n ?1

? n ?1

……………………………………7 分

?????????9 分

? k? ,

?
4

? k ? ], k ? Z

时,

f (x)

单调递增.
?
4
b ? c ? a
2 2 2



1 bn bn ?1

?

1 ( n ? 1)( n ? 2 )

?

1 n ?1

?

1 n ? 2

………………………………………9 分

所以,函数

f (x)

的单调增区间是 [ ?
2 2

?
4

? k? ,

? k ? ], k ? Z

???12 分
∴Tn =
1 b1 b 2 ? 1 b 2 b3 ?? ? 1 bn bn ?1

=(

1 2

?

1 3

)? (

1 3

?

1 4

) ? ?????? ?(

1 n ?1
A1

?

1 n? 2

) ?

1 2

?

1 n ? 2
A

……12 分

17.解: (Ⅰ) b + c ? a ? b c ,
2

c o s ? A

?

1 2

…………………4 分

2bc
? 0 ? A ??

19.解:(Ⅰ)如图,连结 A C 1 , 易知 A1 B 1 B A 是平行四边形
? M 是 A B 1 与 A1 B 的交点,? M 是 A B 1 的中点
?

? A ?

?
3

……………………………………………6 分 ,a ?
1 3

(Ⅱ)在 ? ABC 中, A ?

?
3

3 ,cos C ?

3 3

又 N 是 B 1 C 1 的中点,? M N ∥ A C

C1
1

M
N

C

又? M N ? 平 面 A C C 1 A1 ,? (Ⅱ) V N ? A B C ? V A ? N B C ?
1 1

M N ∥ 平 面 A C C 1A 1

.……6 分

B1

B

? s in C ?

1 ? cos C ?
2

1?

?

6 3

,

1 3

? S ? N B C ? A1 C 1 ?

1 1 1 1 4 ? ? B C ? C C 1 ? A1 C 1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? . ……12 分 3 2 3 2 3

20.解: (1)直三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 ,底面三边长 A C ? 3 , B C ? 4 , A B ? 5 ,
? AB
2

所以当 x
x

? 0

时, F
(0,

'( x ), F ( x )
a)

的变化情况如下表:
a
( a , ?? )

? AC

2

? BC

2

,∴

AC ? BC



? C C1 ? 平 面 A B C , A C ? 平 面 A B C , ? A C ? C C1

F '( x)

?

,又 B C

? C C1 ? C ,

F (x)

递减
a

0 极小值

+ 递增
a ) ? 1 ? 2 a ln
2

?????11 分

? A C ? 平 面 B C C 1 B1 , B C 1 ? 平 面 B C C 1 B1



∴ AC

? B C1

?????????4 分

所以当 x ? 综上,当 a 当a

?

时, F ( x ) 取得极小值,且 F ( a ) ? ( 0 时,函数 F ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上无极值; 时,函数 F ( x ) 在 x
? a

a ? a ? 1 ? a ln a

.?12 分

(2)设 C B 1 与 C 1 B 的交点为 E ,连结 D E , ∵ D 是 A B 的中点, E 是 C 1 B 的中点,
? D E ? A C1, ? D E ? 平 面 C D B 1 , A C 1 ? 平 面 C D B 1 ,? A C 1 ? 平 面 C D B 1

? 0

处取得极小值 a ? 1 ? a ln

a

.



?????8 分 ???12 分

(3) V C

1

? C D B1

? VD?B C
1

1C

?

1 3

? S?B C
1

1C

?

1 2

AC ?

1

?1 ? 3 ? ? ? 4? 4?? ? 4 3 ? 2 ? 2

21.解: (I)因为

f (1) ? 0 , g (1) ? 0

, ????? 1 分 ,??3 分
? 2
g '( x ) ? a x

所以点 (1 , 0 ) 同时在函数 因为
2

f ( x ), g ( x ) 的图象上

f ( x ) ? x ? 1 , g ( x ) ? a ln x



f '( x ) ? 2 x

??4 分

由已知,得

f ' (1 ) ? g ' (1 ) ,所以 2 ?
? f (x) ? 2 g (x) ? x
2

a 1

,即 a

?????5 分
? 0)

(II)因为 F ( x ) 所以 F ' ( x ) 当a 当a
? 0

? 1 ? 2 a ln x

(x

? 2x ?

2a x

?

2(x ? a)
2

?????6 分 对x
? 0

x

时,因为 x

? 0

,且 x 2

? a ? 0 , 所以 F ' ( x ) ? 0

恒成立, ?????10 分

所以 F ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上单调递增, F ( x ) 无极值
? 0

?????8 分;
a

时,令 F ' ( x )

? 0

,解得 x1

?

a , x2 ? ?

(舍)



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