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2.1.1椭圆及其标准方程



第二章 圆锥曲线与方程

我们知道 , 用一个垂直于圆锥 的轴的平面截 圆锥 , 截口曲线 ? 截面与圆锥侧面的交线 ? 是 一个圆 .如果变平面与圆锥轴线 的夹角, 会得到什么图形呢?
如图, 用一个不垂直于圆锥的 轴 的平面截圆锥 ,当截面与圆锥的 轴夹角不同时 , 可以得到不同的 截口曲线, 它们分别是椭圆、抛 物线、双曲线 .我们通常把圆、

椭圆、抛物线、双曲线 统称为 圆锥曲线?conic sec tions ?

圆锥曲线与科研、生产 以及人类生活有着紧密 的关系 .早在 16、 17 世纪之交, 开普勒就发现行星 绕太阳运 行的轨 道 是一个椭圆; 探 照 灯反射镜 面是抛物线绕其对称轴 旋转形成的抛物面 ; 发电 厂冷却塔的外形线是双 曲线 ? ? ? ? ? ?为什么圆锥曲 线有如此巨大的作用呢 ? 我 们 可以从它们的几 何特征及其性质中找到 答案. 圆锥曲线具有怎样的几 何 特 征呢 ? 如何研究圆 锥曲线的性质? 事实上,圆锥曲线的发现与研究 始于古希蜡 .当时 人们从纯粹几何学的观 点研究了这种与圆密切 相关的曲线 , 它们的几何性质是圆的 几何性质的

自然推广 .17 世纪初期, 笛卡儿发明了坐标系 , 人们 开始在坐标系的基础上 , 用代数方法研究圆锥曲 《数学2 》 线.本章我们继续采用必修 课程 中研究直 线与圆所用的坐标法 , 在探究圆锥曲线几何特 征 的基础上, 建立它们的方程 , 通过方程研究它们的 简单性质, 并用坐标法解决一些与 圆锥曲线有关 的简单几何问题和实际 问题, 进一步感受数形结 合的其本思想.

2 .1 椭圆

2 . 1 . 1 椭圆及其标准方程

探 究 取一 条定 长 的 细绳, 把它的两端都固 M F F 定在图板的同一点处 , 套上铅笔, 拉紧绳子, 移 动笔尖, 这时笔尖?动点? 图2.1 ? 1 画出的轨迹是一个圆 .如果把细绳的两端拉开 一 段距离, 分别固定在图板的两点 处 (图 2.1 ? 1 ), 套 上铅笔 , 拉紧绳子, 移动笔尖,画出的轨迹是什么 ?动点?满 曲线? 在这一过程中 , 你能说出移动笔尖 足的几何条件吗 ?
1 2

操作打开的几何画板 , 形象地展现探究过程 .

把细绳的两端拉开一段 距离, 移动笔尖的过 程中, 细绳的长度保持不变 ,即笔尖到两个定 点的距离和等于常数 . 我们把平面内与两个定 点F1 , F2 的距离和等
于常数 ?大于 | F1 F2 |?的点的轨迹叫做椭圆 . 焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .

?ellipse?.这两个定点叫做椭圆的焦点, 两个

下面我们根据椭圆的几 何特征, 选择适当的 坐标系 , 建立椭圆的方程 , 并通过方程研究椭 圆的性质.

思考 观察椭圆的形状 , 你认为怎样选择坐标 系才能使椭圆的方程简 单? 类比利用圆的对称性建 立圆的方程的过程 ,我 们根据椭圆的几何特征 , 选择适当的坐标系 ,建 立它的方程. y

如图2.1 ? 2, 以经过椭圆 两焦点 F1 , F2 的直线为 x 轴, 线段 F1 F2的垂直平分 线为 y 轴, 建立直角坐标 系xOy.

M
F1

c O

c F2

x

图2.1 ? 2

y 设M ? x, y ?是椭圆上任意 M 一点 , 椭圆的焦距 为 2c ?c ? 0 ?, 那么焦点F1 , F 2的 F1 c O c F2 ?? c,0 ?, ?c,0 ?. 坐标分别为 又设 M与F1 , F2的距离的 图2.1 ? 2 和等于2a . 由椭圆的定义 , 椭圆就是集合 P ? ? M || MF1 | ? | MF2 |? 2a ?.

x

因为 | MF1 |? 所以

?x ? c?

2

? y , | MF2 |?
2

?x ? c?

2

? y2 ,

? x ? c ?2 ? y 2 ? ? x ? c ?2 ? y 2

? 2a.

为化简这个方程 , 将左边的一个根式移到 右边, 得

?x ? c? ?x ? c?
2

2

? y ? 2a ?
2

?x ? c?

2

? y2 , ? y ? ?x ? c? ? y 2 ,
2 2

将这个方程两边平方 ,得
? y ? 4a ? 4a
2 2 2

?x ? c?
2

2

整理得 a ? cx ? a

?x ? c?

? y2 ,

上式两边再平方 ,得 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ? 2a cx ? c x ? a x ? 2a cx ? a c ? a y ,

整理得 ?a2 ? c2 ? x2 ? a2 y 2 ? a2 ?a2 ? c2 ?, 2 2 x y 2 2 2 两边同除以a ?a ? c ? , 得 2 ? 2 ? 1. 2 a a ?c

?1?

由椭圆的定义可知 ,2a ? 2c, 即a ? c, 所以a ? c ? 0.
2 2

y
P

思考 观察图2.1 ? 3 , 你能 从中找出表示a, c, a 2 ? c 2 的线段吗?

F1

O

F2

x

图2.1 ? 3

由图2.1 ? 3可知, | PF 1 ?| PF 2 |? a, | OF 1 |?| OF 2 |? c,
| PO |? a ? c .令b ?| PO |? a ? c ,
2 2 2 2

x2 y 2 那么?1?式就是 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0 ? . a b

?2?

点的坐标都满足方程?2? ,以方程 ?2?的

从 上 述 过 程 可以 看到 , 椭圆上任意一 解? x, y ?为坐标的点到椭圆的两 个焦点 F1 ?? c,0 ?, F2 ?c,0 ?的距离之和为2a,即以

方程?2?的解为坐标的点在都在 椭圆上.

这样, 我们把方程?2? 叫做 椭圆的标准

方程 .它的焦点在 x 轴上, 两个焦点分
别是F1 ?? c,0 ?, F ?c,0 ?, 这里c 2 ? a 2 ? b 2 .

思考 如图2.1 ? 4, 如果焦点 F1 , F2在y轴上, 且F1 , F2的坐标 分别为?0,? c ?, ?0, c ?, a, b 的意 义同上 , 那么 椭圆的方程是 什么?
M

y

F2

O

x

F1

容易知道, 此时椭圆的方程是 y x ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0 ?, 2 a b
2 2

图2.1 ? 4

这个方程也是椭圆的标 准方程.

例1 已知椭圆的两个焦点坐 标分别是?? 2,0 ?, ?5 3? ?2,0 ?, 并且经过点? ,? ?, 求椭圆的标准方程 . ? 2 2? 解 因为椭圆的焦点在x轴上, 所以它的标准方 2 2 x y 程为 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0 ?. 由椭圆定义知 2a a b 2 2 2 2 ?5 ? ? 3? ?5 ? ? 3? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 10 , ?2 ? ? 2? ?2 ? ? 2?

则a ? 10 .又c ? 2, 故b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6. x2 y 2 因此, 所求椭圆的标准方程为 ? ?1. 10 6 你还能用其他方法求它 的方程吗?

例 2 如图2.1 ? 5 , 在圆 x ? y ? 4 上任取一点P, 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足.当 点 P 在圆上运动时 , 线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么 ?为 什么?
2

2

y
P M

O

D

x

图2.1 ? 5

操作打开的几何画板 , 观察点M形成轨迹的过程 .

分析 点P在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上运动,点 P 的运动引起 点M运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点 M 与点 P坐标之间的关系式 , 并由点 P 的坐标满足圆 的方程得到点 M的坐标所满足的方程 .

点 P 的坐标为? x0 , y0 ?, 则

解 设点 M 的坐标为? x, y ? , y0 x ? x0 , y ? . 2 因为点P? x0 , y0 ? 在圆 x 2 ? y 2

y
P M

O

D

x

? 4 上, 所以 x ? y ? 4.
2 0 2 0

?1?
2

图2.1 ? 5
2

把 x0 ? x, y0 ? 2 y 代入方程?1?, 得 x ? 4 y ? 4,
x 即 ? y 2 ? 1. 所以点M的轨迹是一个椭圆 . 4
2

在例2 中, 寻找点M 的坐标 x, y 与中间变量 x0 , y0 之间的关系, 然后消去x0 , y0 , 得到点 M 的轨迹方程 .这是解析几何中求点轨 迹 方程常用的一种方法 .

思考 从例2 你能发现椭圆与圆之间 的关系吗?

例 3 如图2.1 ? 6, 设点A, B 的坐标分别为?? 5,0 ? , ?5,0 ?. 直线 AM , BM 相交于点M , 4 且它们的斜率之积是? , 9 求点 M的轨迹方程 .

y
M

A

B

O

x

图2.1 ? 6

分析 设点M的坐标为? x, y ?, 那么直线AM , BM 的斜率就可以用含 x, y的式子表示 .由于直线AM , 4 BM 的斜率之积是? ,因此可以建立 x, y之间的 9 关系式, 得出点M的轨迹方程.

操作打开的几何画板观 察轨迹的形成过程 .

解 设点M的坐标为? x, y ?, y M 因为点 A 的坐标是 ?? 5,0 ? , 所以, 直线 AM 的斜率 A y O ? x ? ?5 ? ; k AM ? x?5 同理, 直线 BM 的斜率 图2.1 ? 6 y ? x ? 5 ?. k BM ? x?5 y y 4 ? ? ? ? x ? ?5 ?, 由已知中有 x?5 x?5 9

B

x

x2 y2 化简, 得点M的轨迹方程为 ? ? 1? x ? ?5 ?. 25 100/ 9



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