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江苏省江都市2013届高三数学下学期开学考试试题苏教版



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江都市大桥高中 2013 届高三下学期开学考试 数学试题
一、填空题 1. 平面上有相异 10 个点, 每两点连线可确定的直线的条数是每三点为顶点所确定的三角形 个数的

? ,若无任意四点共线,则这 10 个点的连线中有且只有三点共线的直线的条数为 ?

__________条. 2

.已知 a ? 0 ,将 a a a 化为分数指数幂的形式为_________________. 3.已知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 ______________. 4.如果 x-1+yi, 与 i-3x 是共轭复数则实数 x 与 y 分别是______. 5.已知抛物线 y 2 ? 4 x, 焦点为 F , A(2,2) , P 为抛物线上的点,则 PA ? PF 的最小值为 ____ 6.若 z ? 3 ? 4i ? 2 ,则 z 的最大值是 7. f (x) 的定义域为 R,若存在常数 M ? 0 ,使 | f ( x) |? M | x | 对一切实数 x 均成立,则 称 f (x) 为 F 函数。现给出下列函数: ① f ( x) ? 2 x; ③ f ( x) ? ② f ( x) ? x ? 1 ;
2

2 (sin x ? cos x) ; ④ f ( x) ?

x ; x ? x ?1
2

⑤ f (x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,且对一切 x1, x2 , 均有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 | x1 ? x2 | 其中是 F 函数的函数有

?? ? y ? 2 sin? 2 x ? ? 3? ? 8.函数

的单调递增区间为____________。 。

9.圆心为 C(3,-5),且与直线 x-7y + 2 = 0 相切的圆的方程为 10. logx ( 2 ? 1) ? ?1,则 x= 11. cot 20? cos10? ? 3 sin10? tan 70? ? 2 cos 40? =

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,P 为双曲线右支上一点,I 是 ?PF1 F2 的 12.F1 , F2 分别是双曲线 16 9
内心,且 S?IPF2 ? S?IPF1 ? ? S?IF1F2 ,则 ? = _________.

1

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13.将二进制数 101 101(2) 化为八进制数,结果为____________. 14.命题 p : 4x ? 3 ? 1 ,命题 q : x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ,若 ?p是?q 的必要不
2

充分条件,则 a ? 二、解答题 15.已知抛物线 x2 ? 4 y 的焦点为 F ,过焦点 F 且不平行于 x 轴的动直线 l 交抛物线于 A ,

B 两点,抛物线在 A 、 B 两点处的切线交于点 M .

(Ⅰ)求证: A , M , B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)设直线 MF 交该抛物线于 C , D 两点,求四边形 ACBD 面积的最小值.

16.将曲线 xy ? 1 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°,求所得曲线的方程.

2

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? a ? (mx, y ? 1) 17 . 设 m ? R , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 向 量 ? ? ? b ? ( x, y ?1) , a ? b ,动点 M ( x, y) 的轨迹为 E.
(1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

, 向 量

1 4 时轨迹 E 上的任意一点,定点 Q 的坐标为(3,0) (2)点 P 为当 , ??? ? ???? N 满足 PN ? 2NQ ,试求点 N 的轨迹方程。 点 m?

2 18.已知不等式 mx ? nx ?

1 1 ? 0 的解为 {x | x ? ? 或 x ? 2} m 2

求 m, n 的值 解关于 x 的不等式: (2a ? 1 ? x)( x ? m) ? 0 ,其中 a 是实数

3

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19 . 设 全 集 是 实 数 集

R

, 集 合 A ? x 2 ? 4 x ? 64 x ? R ,

?

?

, 集 合

B ? x x 2 ? a ? 0, x ? R ,
(1) 当 a ? ? 4 时 ,求 (2) 若 (CR A) ? B ?

?

?

A? B;

B ,求实数 a 的取值范围.

20.有一个 3×4×5 的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成 60 个 1×1×1 的小正方体, 从这些小正方体中随机地任取 1 个, 设小正方体涂上颜色的面数为 ? . (1)求 ? ? 0 的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望.

4

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参考答案 1.3
7

2. a 8 3. ?22

4. 5.3 6.7 7.①④⑤

? 5? ? ? ?k? ? 12 , k? ? 12 ?, k ? z ? 8. ?
9. ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? 32
2 2

10. 2 ? 1 11. 2 12.

4 5

13.55(8) 14. ?0, ? 2 15. 解(Ⅰ)由已知,得 F (0,1) ,显然直线 AB 的斜率存在且不为 0, 则可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 ( k ? 0 ) A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , , 由?

? 1? ? ?

? x 2 ? 4 y, 2 2 消去 y ,得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 16k ? 16 ? 0 . ? y ? kx ? 1

所以 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 . ………………………………………………2 分
2 由 x ? 4 y ,得 y ?

1 2 1 x ,所以 y ' ? x , 4 2

所以,直线 AM 的斜率为 k AM ?

1 x1 , 2 1 x1 ( x ? x1 ) ,又 x12 ? 4 y1 , 2
5

所以,直线 AM 的方程为 y ? y1 ?

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所以,直线 AM 的方程为 同理,直线 BM 的方程为

x1x ? 2( y ? y1 ) ①.………………………………4 分 x2 x ? 2( y ? y2 ) ②.………………………………5 分
x1 ? x2 , 2

②-①并据 x1 ? x2 得点 M 的横坐标 x ?

即 A , M , B 三点的横坐标成等差数列. ……………………7 分 (Ⅱ)由①②易得 y=-1,所以点 M 的坐标为(2k,-1)( k ? 0 ). 所以 k MF ?

2 1 ?? , ?2k k

则直线 MF 的方程为 y ? ? 设 C(x3,y3),D(x4,y4)

1 x ? 1, k

…………………………………………8 分

? x 2 ? 4 y, 4 16 ? 2 由? 消去 y ,得 x ? x ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 2 ? 16 ? 0 , 1 k k ? y ? ? x ?1 k ?
所以 x3 ? x4 ? ? 又 | AB |?

4 , x3 x4 ? ?4 . k

…………………………………………9 分

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2

? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 4(k 2 ? 1) .…………10 分

| CD |? ( x3 ? x4 )2 ? ( y3 ? y4 )2 ? (1 ? ? (1 ?

1 )( x3 ? x4 )2 2 k

1 1 )[( x3 ? x4 )2 ? 4 x3 x4 ] ? 4( 2 ? 1) .……………12 分 2 k k

因为 kMF ? k AB ? ?1 ,所以 AB ? CD , 所以, S ACBD ?

1 1 1 | AB | ? | CD |? 8( 2 ? 1)(k 2 ? 1) ? 8(k 2 ? 2 ? 2) ? 32 , 2 k k

当且仅当 k ? ?1 时,四边形 ACBD 面积的取到最小值 32 .……………………14 分

cos 45? 16. 解 :由题意,得旋转变换矩阵 M ? [ sin 45?

? ? sin 45? ? ]? ? ? cos 45? ? ?

2 2 2 2

?

2? ? 2 ?, 2 ? ? 2 ?

6

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? ? 设 xy ? 1 上的任意点 P?( x?, y?) 在变换矩阵 M 作用下为 P( x, y ) , ? ? ? ?

2 2 2 2

?

2? ? 2 ? ? x? ? ? x ? , ? ??? ? 2 ? ? y ?? ? y ? ? 2 ?

? ?x ? ? ∴? ?y ? ? ?

2 x? ? 2 2 x? ? 2

2 y ?, 2 2 y ?. 2



y 2 x2 ? ? 1. 2 2

将曲线 xy ? 1 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°,所得曲线的方程为 17. (1) 当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆

y 2 x2 ? ? 1. 2 2

(3x ? 6)2 ? 9 y2 ? 1 4 (2) ? ? ? ? a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ?1) , 解:(1)因为 ? ? 2 2 a ? b ? mx2 ? y2 ?1 ? 0 , 所以 即 mx ? y ? 1 . w.w.w..c.o.m
当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. (2)设

N ( x, y), P( x? , y? )

???? ???? PN ? ( x ? x? , y ? y? ), NQ ? (3 ? x, ? y ) ( x ? x? , y ? y? ) ? 2(3 ? x, ? y ) x ? x? ? 6 ? 2 x y ? y? ? ?2 y, x? ? 3 x ? 6, y? ? 3 y
, ,

7

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m?


1 4









E



x2 ? y2 ? 1 4





P( x? , y? )代入椭圆方程,得

(3x ? 6)2 ? 9 y2 ? 1 4

(3x ? 6)2 ? 9 y2 ? 1 4 所以点 N 的轨迹方程为
18.



3 2 (2) (1)当 2a ? 1 ? 1 即 a ? 1 时,原不等式的解为 2a ? 1 ? x ? 1 ;
(1) m ? ?1, n ? (2)当 2a ? 1 ? 1 即 a ? 1 时,原不等式的解为 ? ; (3)当 2a ? 1 ? 1 即 a ? 1 时,原不等式的解为 1 ? x ? 2a ? 1

? ?m ? 0 ? n ? 1 解:(1)依题意 ? ? ? 2 ? ? m ? 2 1 1 ? ?? 2 ? 2 ? ? m 2 ?

……3 分

得 m ? ?1, n ?

3 ……4 分 2

(2)原不等式为 (2a ? 1 ? x)( x ? 1) ? 0 即 [ x ? (2a ? 1)]( x ? 1) ? 0 (1)当 2a ? 1 ? 1 即 a ? 1 时,原不等式的解为 2a ? 1 ? x ? 1 ;……6 分 (2)当 2a ? 1 ? 1 即 a ? 1 时,原不等式的解为 ? ;……8 分 (3)当 2a ? 1 ? 1 即 a ? 1 时,原不等式的解为 1 ? x ? 2a ? 1 ……10 分 19. (-2,3) (1) (2)

20. (1)

1 47 ; (2) . 10 30

解 :( 1 ) 60 个 1×1×1 的 小 正 方 体 中 , 没 有 涂 上 颜 色 的 有 6 个 ,

P(? ? 0) ?

6 1 ? 60 10

… (3 分)

(2)由(1)可知

P(? ? 0) ?

6 1 11 2 2 ? ; P(? ? 1) ? ; P(? ? 2) ? 5 ; P(? ? 3) ? 15 60 10 30

… (7 分)

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分布列

?
p

0

1

2

3

1 10

11 30
… (10 分)

2 5

2 15
…(12

E ? =0× 分)

2 2 47 11 1 +1× +2× +3× = 5 15 30 30 10

9



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