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2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(福建卷.理)



本试卷祥细解析由胡明健提供 Humj119@sina.com

2005 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)

数学(理工农医类)
YCY 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利!

第 I 卷

(选择题

共 60 分)

注意事项: 注意事项 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 z = 1 的共轭复数是
1 i

( C. 1 i D. 1 + i



A. 1 + 1 i
2 2
解: z = 1 = 1 + i ,∴ z = 1 i

B. 1 1 i
2 2

1 i

选(B) (
D.64

2

2

2.已知等差数列 {a n } 中, a7 + a9 = 16, a 4 = 1 ,则 a12 的值是
A.15 B.30 C.31



7 解:由 a7 + a9 = 16 ,得 a8=8,∴ d = 8 1 = 7 ,∴a12=1+8× =15,选(A) 4 84 4
3.在△ABC 中,∠C=90°, AB = (k ,1), AC = (2,3), 则 k 的值是 A.5 B.-5 C. 3
2


D. 3
2



解:∵∠C=90°,∴ CB AC = 0,∴ ( AB AC ) AC = 0 ,即((k-2,-2)(2,3)=0,解得 K=3,选(A)
4.已知直线 m、n 与平面 α , β ,给出下列三个命题:

①若 m // α , n // α , 则m // n; ②若 m // α , n ⊥ α , 则n ⊥ m;

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③若 m ⊥ α , m // β , 则α ⊥ 其中真命题的个数是 A.0 B.1 解:②③命题为真命题,选(C) 5.函数 f ( x) = a
x b

β.
( C.2 D.3 )

的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是





A. a > 1, b < 0 B. a > 1, b > 0 C. 0 < a < 1, b > 0 D. 0 < a < 1, b < 0 解: 从曲线走向可知 0<a<1,从曲线位置看,是由 y=ax(0<a<1)向左平移|-b|个单位而得到,故-b>0, 即 b<0,选(D) 6.函数 y = sin(ωx + )( x ∈ R , ω > 0,0 ≤ < 2π ) 的部分图象如图,则 A. ω = ( )

π π
2

6 5π C. ω = , = D. ω = , = 4 4 4 4 T 2π π π 解 : 由 图 得 = 2,∴ T = 8 , 由 T= ,得 ω = , 在 y=sin( x + ) 中 令 x=1,y=1, 得 4 ω 4 4

, =

π π
4

B. ω =

π π
3

, =

π

π

4

+ = 2k π +

π

2

, = 2 kπ +

π

4

,得 =

π

4

,选(C) )

7.已知 p: | 2 x 3 |< 1, q : x ( x 3) < 0, 则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解: | 2 x 3 |< 1, 得-1<x<2 即 x∈(-1,2),由 x ( x 3) < 0, 得 0<x<3,即 x∈(0,3),∵(-1,2)不是(0,3) 由 的子集,(0,3)也不是(-1,2)的子集,选(D) 8.如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=AB=2, AD=1,点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1 的中 点,则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是( ) A. arccos 15 5 B.

π 4

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C. arccos

10 5

D.

π
2
2 2 2 2

解:∵GB1∥A1E,∠B1GF 即为 A1E 与 GF 所成的角,B1G= C1 B1 + C1G = 1 + 1 = B1F= B1 B + BF =
2 2

2

22 + 12 = 5 ,GF= CG 2 + CB 2 + BF 2 = 3 ,B1G2+FG2=B1F2∴

∠B1GF=90°,选(D) 9.从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人 游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案 共有 ( ) A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 解:分三种情况:情况一,不选甲、乙两个去游览:则有 P4 种选择方案,情况二:甲、乙中有一 人去游览:有 C2C3C4 P 种选择方案;情况三:甲、乙两人都去游览,有 C2 C4 C3 P 种选择方 3 3 案,综上不同的选择方案共有 P4 + C2C3C4 P + C2 C4 C3 P =240,选(B) 3 3 10.已知 F1、F2 是双曲线
4 1 1 3 3 2 2 1 3 1 1 3 3 2 2 1 3 4

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角 a2 b2
( )

形 MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 A. 4 + 2 3 B. 3 1 C.

3 +1 2

D. 3 + 1

解:设 E 是正三角形 MF1F2 的边 MF1 与双曲线的交点,则点 E 的坐标为( 线方程,并将 c=ae 代入,整理得 e4-8e2+4=0,由 e>!,解得 e= 3 + 1 ,选(D) 11.设 a, b ∈ R , a 2 + 2b 2 = 6, 则a + b 的最小值是 A. 2 2 B.

c 3 , ),代入双曲 2 2





5 3 3

C.-3

D.

7 2

解: 6 sin α ,b= 3 cos α ,则 a+b=3sin( α + ),其中 = arctan a= 选(C)

2 ,∴ a + b 的最小值为-3. 2

12. f (x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f ( 2) = 0 在区间(0,6)内解的个数的

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最小值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解: 由题意至少可得 f(0)=f(2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在区间 (0, 内 f(x)=0 6) 的解的个数的最小值是 5,选(D)

第Ⅱ卷(非选择题
13. ( 2 x
r 6

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置。

1 6 ) 展开式中的常数项是 x

(用数字作答) 。

6 3 r 1 r 1 6 r r r 6r 解:Tr+1= C ( ) (2 x ) = C6 ( 1) 2 x 2 ,令 6-3r=0 得 r=2,故 ( 2 x ) 6 展开式中 x x

的常数项是 240 14.非负实数 x, y 满足

2 x + y 4 ≤ 0 则 x+3y 的最大值为 x + y 3 ≤ 0



解:如右图,在同一平面直角坐标系中画出下列 曲线方程的图象: 2x+y-4=0 (x≥0,y≥0) x+y-3=0 (x≥0,y≥0) 它们分别是线段 AB,CD 则非负实数 x、y 满足的不等式组

2 x + y 4 ≤ 0 表示的区域为 DMAO,令 x+3y=b, x + y 3 ≤ 0
使直线系 x+3y=b 通过区域 DMAO 且使 b 为取得最大值,当且仅当直线 x+3y=b 过点 D(0,3) 这时最大值 b=9. 15.若常数 b 满足|b|>1,则 lim

1 + b + b 2 + + b n 1 = n →∞ bn

.

解: lim

1 + b + b 2 + + b n 1 n →∞ bn

1 bn 1 bn 1 bn 1 1 = lim 1 nb = lim n = lim n = n →∞ n →∞ b (1 b) b b 1 n →∞ b b 1

16.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题: 若函数 f ( x) = 3 + log 2 x 的图象与 g (x ) 的图象关于 。 解:若函数 f ( x) = 3 + log 2 x 的图象与 g (x ) 的图象关于 y=x 对称, 则函数 g (x ) =2x-3. 对称,则函数 g (x ) =

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(注:填上你认为可以成为真命题的一件情形即可,不必考虑所有可能的情形). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知

π
2

< x < 0, sin x + cos x =

1 . 5

(I)求 sinx-cosx 的值;

x x x x 2 sin cos + cos 2 2 2 2 2 的值. (Ⅱ)求 tan x + cot x 24 1 1 解 : ( Ⅰ ) 由 sin x + cos x = , 得 (sin x + cos x) 2 = ( ) 2 , 得 2sinxcosx= , ∵ 5 5 25 49 7 π ,又 < x < 0, ∴sinx<0cosx>0,∴sinx-cosx=(sinx-cosxx)2=1-2sinxcosx= 25 2 5 x x x x x 3 sin 2 2 sin cos + cos 2 2sin 2 sin x + 1 2 2 2 2= 2 = sin x cos x(2 cos x sin x) (Ⅱ) sin x cos x tan x + cot x + cos x sin x 12 1 108 = ( ) × (2 ) = 25 5 125 3 sin 2
18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为

1 2 与 ,投中得 1 分,投不中得 0 分. 2 5

(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人得分之和ξ的数学期望; (Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率; 解:(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件 A,“乙投一次命中”为事件 B,则 P(A)=

1 2 1 3 ,P(B)= ,P( A )= ,P( B )= ,甲、乙两人得分之和 ξ 的可取值为 0、1、2,则 ξ 概率 2 5 2 5

分布为

ξ
P

0

1

2

3 10

1 2

1 5

E ξ =0×

3 1 1 9 +1× +2× = 10 2 5 10

答:甲、乙两人在罚球线各投球一次,两人得分之和ξ的数学期望为

9 10 1 1 3 3 9 (Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中” 的概率是 P = × × × = 2 2 5 5 100

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∴甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为 P=1- P =1答:甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

9 91 = 100 100

91 . 100

ax 6 的图象在点 M(-1,f(x))处的切线方程为 x+2y+5=0. x2 + b

(Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调区间. 解:(Ⅰ)由函数 f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为 x+2y+5=0,知-1+2f(-1)+5=0,即

a 6 = 2 1 a( x + b) 2 x(ax 6) 1 + b f(-1)=-2, f ′ (-1)= .∵ f ′ (x)= ,∴ 2 ( x 2 + b) 2 a (1 + b) + 2( a 6) = 1 (1 + b) 2 2
2

a = 2b 4 即 a (1 + b) 2( a + 6) 1 解得 a=2,b=3(∵b+1≠0,∴b=-1 舍去) = 2 (1 + b) 2
∴所求函数 y=f(x)的解析式是 y = (Ⅱ) f ′( x) =

2x 6 x2 + 3

2 x 2 + 12 x + 6 ,令-2x2+12x+6=0,解得 x1= 3 2 3 ,x2= 3 + 2 3 ( x 2 + 3) 2

当 x< 3 2 3 ,或 x> 3 + 2 3 时, f ′( x ) < 0 ;当 3 2 3 <x<时, f ′( x ) > 0 , 所以 f ( x ) =

2x 6 在(-∞, 3 2 3 )内是减函数;在( 3 2 3 , 3 + 2 3 )内是增函数; x2 + 3

在( 3 + 2 3 ,+∞)内是减函数 20. (本小题满分 12 分) 如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证 AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离.

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解法一:(Ⅰ) ∵BF⊥平面 ACE,∴BF⊥AE,∵二面角 D-AB-E 为直二面角,且 CB⊥AB, ∴CB⊥平面 ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面 BCE (Ⅱ)连结 BD 交 AC 于 G,连结 FG,∵正方形 ABCD 边长为 2,∴BG⊥AC,BG= 2 , ∵BF⊥平面 ACE,由三垂线定理的逆定理得 FG⊥AC,∴∠BCF 是二面角 B-AC-E 的平面角, 由(Ⅰ)AE⊥平面 BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形中,BE= 2 . 又∵直角三角形 BCE 中,EC= BC + BE =
2 2

6 ,BF=

BC BE 2 × 2 2 3 = = 3 EC 6

2 3 6 BF 6 ∴直角三角形 BFG 中,sin∠BGF= ,∴二面角 B-AC-E 等于 arcsin . = 3 = 3 BG 3 2
,(Ⅲ)过 E 作 EO⊥AB 交 AB 于 O,OE=1,∵二面角 D-AB-E 为直二面角,∴EO⊥平面 ABCD. 设 D 到平面 ACE 的距离为 h,∵ VD ACE = VE ACD ,∴

1 1 S△ ACE h = S△ ACD EO . 3 3 1 1 AD BC EO × 2 × 2 ×1 2 3 ∵AE⊥平面 BCE,∴AE⊥EC.∴h= 2 = 2 = . 1 1 3 AE EC × 2× 6 2 2 2 3 . 3

∴点 D 点 D 到平面 ACE 的距离为

解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所在直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz,如图

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∵AE⊥平面 BCE,BE 面 BCE,∴AE⊥BE,在直角三角形 AEB 中,AB=2,O 为 AB 的中点 ∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2), AE = (1,1, 0), AC = (0, 2, 2)

设平面 AEC 的一个法向量 n =(x,y,z),则

AE n = 0 AC n = 0,



x + y = 0 y = x, 解得 2 y + 2 z = 0, z = x.

令 x=1,得 n =(1,-1,1)是平面 EAC 的一个法向量,又平面 BAC 的一个法向量为 m =(1,0,0), ∴cos( m, n )=

mn 1 3 = = 3 | m|| n | 3
3 . 3

∴二面角 B-AC-E 的大小为 arccos

(Ⅲ)∵AD∥z 轴,AD=2,∴ AD = (0, 0, 2) ,∴点 D 到平面 ACE 的距离 d=| AD | | cos AD n |=

| AD n | 2 2 3 = = . 3 |n| 3

21. (本小题满分 12 分) 已知方向向量为 v=(1, 3 )的直线 l 过点 -2 3 ) (0, 和椭圆 C:

x2 y2 + = 1( a > b > 0) a2 b2

的焦点,且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在过点 E (-2, 的直线 m 交椭圆 C 于点 M、 满足 OM ON = 0) N,

4 6, 3

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cot∠MON≠0(O 为原点).若存在,求直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)由题意可得直线ι: y = 3 x 2 3 , 过原点垂直ι的方程为 y = 解①②得 x=



3 x, 3



3 .∵椭圆中心 O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆 C 的右准线上, 2



a2 3 = 2 × = 3 .∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0). c 2 x2 y 2 + = 1. 6 2


∴a2=6,c=2,b2=2,故椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)设 M(x1,y1),N(x2,y2),当直线 m 不垂直 x 轴时,直线 m:y=k(x+2)代入③,整理得 (3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0,则 x1+x2=

12k 2 12k 2 6 ,x1x2= , 3k 2 + 1 3k 2 + 1
2

|MN|= 1 + k

2

( x1 + x2 ) 4 x1 x2 = 1 + k
2

12k 2 2 12k 2 6 2 6(1 + k 2 ) ( 2 ) 4 × = 3k + 1 3k 2 + 1 3k 2 + 1 4 6 cot∠MON,即 3

点 O 到直线 MN 的距离 d=

| 2k | 1+ k
2

.∵ OM ON =

4 cos ∠MON 6 ≠ 0, 3 sin ∠MON 4 2 4 ∴ | OM | | ON | sin ∠MON = 6 ,∴ S△OMN = 6,∴| MN | d = 6, 3 3 3 | OM | | ON | cos ∠MON =

即 4 6 | k | k +1 =
2

4 1 3 6(1 + 3k 2 ) .整理得 k 2 = ,∴ k = ± . 3 3 3

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当直线 m 垂直 x 轴时,也满足 S△OMN = 故直线 m 的方程为 y =

2 6 3

3 2 3 3 2 3 x+ , 或 y= x 或 x=-2. 3 3 3 3

经检验上述直线均满足 OM ON ≠ 0 . 所在所求直线方程为 y = 22. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}满足 a1=a, an+1=1+

3 2 3 3 2 3 x+ , 或 y= x 或 x=-2.. 3 3 3 3

1 我们知道当 a 取不同的值时,得到不同的数列,如 an

当 a=1 时,得到无穷数列: 1,2,

3 5 1 1 , , …;当a = 时, 得到有穷数列 : ,1,0. 2 3 2 2 1 求证 a 取数列{bn}中的任一个数, (n ∈ N + ) , bn 1

(Ⅰ)求当 a 为何值时 a4=0; (Ⅱ) 设数列{bn}满足 b1=-1, bn+1=

都可以得到一个有穷数列{an}; (Ⅲ)若

3 < a n < 2( n ≥ 4) ,求 a 的取值范围. 2 1 a +1 1 2a + 1 1 3a + 1 =a2,∴a2= , a3 = 1 + = , a4 = 1 + = , a1 a a2 a +1 a3 2a + 1

解:(Ⅰ)∵a1=a,∴1+ 故当 a =

2 时, a4 = 0 3

(Ⅱ)∵b1=-1, bn +1 =

1 1 ,∴ bn = + 1, bn 1 bn +1

当 a=b1 时,a1=1+

1 =0 b1 1 =b1,∴a2=0, b2

当 a=b2 时,a2= 1 +

当 a=b3 时,a3=1+

1 1 1 =b2,∴a3=1+ = 1 + = b1 ,∴a4=0, b3 a2 b2

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…… 一般地,当 a=bn 时,an+1=0,可得一个含育 n+1 项的有穷数列 a1,a2,a3,…,an+1. 可用数学归纳法加以证明: ① 当 n=1 时,a=b1,显然 a2=0,得到一个含 2 项的有穷数列 a1,a2. ② 假设当 n=k 时,a=bk,得到一个含有 k+1 项的有穷数列 a1,a2,a3,…,ak+1,其中 ak+1=0,则 n=k+1 时.a=bk+1,∴a2=1+

1 = bk . bk +1

由假设可知,可得到一个含有 k+1 项的有穷数列 a2,a3,…,ak+2,其中 ak+2=0. 由①②知,对一切 n∈N+,命题都成立. (Ⅲ)要使

3 3 1 < an < 2, 即 < 1 + < 2, ,∴1<an-1<2. 2 2 an 1

3 3 < an < 2, ,当且仅当它的前一项 an-1,满足 1<an-1<2,∵( ,2) (1,2), 2 2 3 3 ∴只须当 a4 ∈ ( , 2) ,都有 an ∈ ( , 2)( n ≥ 5). 2 2 3a + 2 3 3a + 2 由 a4 = ,得 < <2, 2a + 1 2 2a + 1
∴要使

1 3 3a + 2 2 < 2a + 1 a > 2 得 ,故 a>0. 解不等式组 3a + 2 < 2 a > 0或a < 1 2a + 1 2



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