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(文)第三章 函数的单调性与导数



3.3

导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数

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函数的单调性与导数
[提出问题] 1 已知函数 y1=x,y2=x ,y3=x的图像如图所示.
2

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问题 1:试结合图像指出以上三个函数的单调性.
提示

:函数 y1=x 在 R 上为增函数,y2=x2 在(-∞,0) 1 上为减函数,在(0,+∞)上为增函数,y3=x在(-∞,0), (0,+∞)上为减函数.

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问题 2:判断它们的导数在其单调区间上的正、负.
提示:y1′=1,在 R 上为正;y2′=2x,在(-∞,0) 1 上为负,在(0,+∞)上为正;y3′=- 2,在 (-∞,0)及(0, x +∞)上均为负.
问题 3:结合问题 1、2,探讨函数的单调性与其导函数 的正负有什么关系?

提示:当 f′(x)>0 时,f(x)为增函数;当 f′(x)<0 时, f(x)为减函数.

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[导入新知] 一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与其导函数有

导函数
f′(x)>0

函数的单调性
递增 单调______

f′(x)<0

递减 单调______

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[化解疑难] 在某个区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间内 为增(减)函数的充分不必要条件.出现个别点使 f′(x)=0, 不会影响函数 f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调 性.例如,函数 f(x)=x3 在定义域(-∞,+∞)上是增函数, 但由 f′(x)=3x2 知,f′(0)=0,即并不是在定义域内的任 意一点处都满足 f′(x)>0.

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函数与导函数的图像

[例 1]

已知函数 y=f′(x)的图像如图 )

所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数),下列 四个图像中为 y=f(x)的大致图像的是(

y

y

y ? f ( x)
(A)
2 1 2

y y ? f ( x) x o y
o
1 2

y ? f ?( x )
2

o
y

o
1 2

x

x

y ? f ( x)
x

(B)

y ? f ( x)
(D) x
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o 1 (C)

[解析] 导函数要看图像,大于 0 是增函数,小 于 0 是减函数.原函数要看图像什么时候上升 是增函数,图像下降是减函数。
由题图知:当 x<0 时,f′(x) >0,原函数是增函数,图像上 升。 当 1<x<2 时,∴f′(x)<0,原函数是减函数,图像下降。 当 x>2 时,∴f′(x)>0,原函数是增函数,图像上升。

[答案]

C

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[类题通法] 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时, 注 意抓住各自的关键要素: 对于原函数, 要注意其图像在哪个 区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数, 则应注意其函数值在哪个区间内大于零, 在哪个区间内小于 零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.

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[活学活用] 函数 f(x)的图像如图所示, 则导函数 y=f′(x) 的图像可能是 ( )

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解析:从原函数 y=f(x)的图像可以看出,其在区间(-∞, 0)上是减函数,f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x) >0;在区间(x1,x2)上是减函数,f′(x)<0;在区间(x2,+ ∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项可知,只有 D 项满足.

答案:D

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判断(或证明)函数的单调性
[例 2]
[解]

bx 讨论函数 f(x)= 2 (-1<x<1,b≠0)的单调性. x -1
?x?′?x2-1?-x?x2-1?′ -b?x2+1? f′(x)=b· = 2 . ?x2-1?2 ?x -1?2

-?x2+1? ∵x∈(-1,1), 2 2 <0, ?x -1? ∴当 b>0 时,f′(x)<0,f(x)在(-1,1)上单调递减, 当 b<0 时,f′(x)>0,f(x)在(-1,1)上单调递增.

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[类题通法] 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性, 实质上就是判断或证明不等式 f′(x)>0(f′(x)<0)在给定区 间上恒成立,一般步骤为:①求导数 f′(x);②判断 f′(x)的 符号;③给出单调性结论. 注意:如果出现个别点使 f′(x)=0,不影响函数在包含 该点的某个区间内的单调性.

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[活学活用] ln x 试证明:函数 f(x)= x 在区间(0,2)上是增函数. 1 x-ln x 1-ln x x· ln x 证明:由于 f(x)= x ,所以 f′(x)= = , x2 x2
1-ln x 由于 0<x<2, 所以 ln x<ln 2<1, 故 f′(x)= > 0, x2 ln x 即函数 f(x)= x 在区间(0,2)上是增函数.

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求函数的单调区间
[例 3] 求下列函数的单调区间:

1 (1)f(x)= x+sin x,x∈(0,2π); 2 (2)f(x)=2x-ln x.
1 [解](1)∵f′(x)= +cos x, 2 1 1 ∴令 f′(x)>0 得 +cos x>0,即 cos x>- . 2 2 2 4 又∵x∈(0,2π),∴0<x< π 或 π<x<2π. 3 3

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2 4 同理,令 f′(x)<0 得, π<x< π. 3 3
? ? 2 ? ?4 ∴该函数的单调递增区间为?0,3π?,?3π,2π?; ? ? ? ? ?2 4 ? 单调递减区间为?3π,3π?. ? ?

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(2)函数的定义域为(0,+∞), 1 其导函数为 f′(x)=2-x. 1 1 令 2-x>0,解得 x> ; 2 1 1 令 2-x<0,解得 0<x< , 2
?1 ? ∴该函数的单调递增区间为?2,+∞?,单调递减区 ? ? ? 1? 间为?0,2?. ? ?

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[类题通法] (1)在利用导数求函数的单调区间时, 首先要确定函数的 定义域, 然后在定义域内通过解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0, 来确定函数的单调区间. (2)当单调区间有多个时,不要写成并集.

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[活学活用] 求下列函数的单调区间: 3 (1)f(x)=x +x;(2)y=xex. ? 1? 3 2 2 解:(1)f′(x)=3x - 2=3?x -x2?. x ? ?
3

由 f′(x)>0,解得 x<-1 或 x>1; 由 f′(x)<0,解得-1<x<1,且 x≠0. ∴函数的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 单调递减区间为(-1,0),(0,1).

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(2)y′=ex+xex=ex(1+x). 令 y′>0,得 x>-1; 令 y′<0,得 x<-1. 因此,y=xex 的单调递增区间为(-1,+∞), 单调递减区间为(-∞,-1).

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5.与参数有关的函数单调性问题

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[典例]
[ 解]

已知函数 f(x)=x3-ax-1.讨论 f(x)的单调性.
f′(x)=3x2-a.

①当 a≤0 时,f′(x)≥0,所以 f(x)在(-∞,+∞)上为 增函数. 3a ②当 a>0 时,令 3x -a=0 得 x=± ; 3
2

3a 3a 当 x> 或 x<- 时,f′(x)>0; 3 3 3a 3a 当- <x< 时,f′(x)<0. 3 3

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因此
? ? ?- ?

? f(x)在? ?-∞,- ?

? ? 3a? ? ? 3a ? , ,+ ∞ ? 3 ?上为增函数,在 3 ? ? ? ?

3a 3a? ? 上为减函数. , 3 3 ? ? 综上可知,当 a≤0 时,f(x)在 R 上为增函数; 当 a>0
? 时,f(x)在? ?-∞,- ? ? ? 3a? ? ? 3a ? , ,+∞?上为增函 ? ? 3 ? ? 3 ?

? 数,在? ?- ?

3a 3a? ? 上为减函数. , 3 3 ? ?

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[多维探究] 1.讨论含有参数的函数的单调性,通常归结为求含参 不等式的解集问题,而对含有参数的不等式要针对具体情况 进行讨论,但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分 类讨论的标准. 2.此题对含参数的函数的单调性进行了讨论.另外, 已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点,应注 意掌握,如更换本题的条件,可得如下问题:

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1.f(x)不变,若 f(x)为增函数,求实数 a 的取值范围.
解:由已知得 f′(x)=3x2-a, 因为 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, 所以 f′(x)=3x2-a≥0 在(-∞,+∞)上恒成立, 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立. 因为 3x2≥0,所以只需 a≤0. 又因为 a=0 时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1 在 R 上是 增函数,所以 a≤0,即 a 的取值范围为(-∞,0].

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2.f(x)不变,若 f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围.
解:因为 f′(x)=3x2-a,且 f(x)在区间(1,+∞)上为 增函数, 所以 f′(x)≥0 在(1, +∞)上恒成立, 即 3x2-a≥0 在(1, +∞)上恒成立, 所以 a≤3x2 在(1, +∞)上恒成立, 所以 a≤3, 即 a 的取值范围为(-∞,3].

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3.f(x)不变,若 f(x)在区间(-1,1)上为减函数,试求 a 的取值范围.
解: 由 f′(x)=3x2-a≤0 在(-1,1)上恒成立,得 a≥3x2 在(-1,1)上恒成立. 因为-1<x<1,所以 3x2<3,所以 a≥3. 即当 a 的取值范围为[3,+∞)时,f(x)在(-1,1)上为减 函数.

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4.f(x)不变,若 f(x)的单调递减区间为(-1,1),求 a 的 值.
? 解: 由例题可知, f(x)的单调递减区间为? ?- ?

3a 3a? ? , , 3 3 ? ?

3a ∴ =1,即 a=3. 3

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5.f(x)不变,若 f(x)在区间(-1,1)上不单调,求 a 的取 值范围.
解:∵f(x)=x3-ax-1,∴f′(x)=3x2-a. 3a 由 f′(x)=0,得 x=± (a≥0). 3 ∵f(x)在区间(-1,1)上不单调, 3a ∴ 0< <1,得 0<a<3, 3 即 a 的取值范围为(0,3).

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[随堂即时演练]
1.已知函数 f(x)=x3-3x2-9x,则函数 f(x)的单调递增区间 是 A.(3,9) C.(-1,3) B.(-∞,-1),(3,+∞) D.(-∞,3),(9,+∞) ( )

解析:∵f(x)=x3-3x2-9x, ∴f′(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3). 令 f′(x)>0 知 x>3 或 x<-1.

答案:B

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2.函数 f(x)=2x-sin x 在(-∞,+∞)上 A.是增函数 C.有最大值 B.是减函数 D.有最小值

(

)

解析:∵cos x≤1,∴f′(x)=2-cos x>0 恒成立, ∴f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
答案:A

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3.若函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的单调递减区间为(-1,2), 则 b=________,c=________.

解析:f′(x)=3x2+2bx+c,由题意知-1<x<2 是不等 式 f′(x)<0 的解, 即-1,2 是方程 3x2+2bx+c=0 的两个 3 根,把-1,2 分别代入方程,解得 b=- ,c=-6. 2 3 答案:- -6 2

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4.函数 f(x)=x-2sin x 在(0,π)上的单调递增区间为 ________.

解析:令 f′(x)=1-2cos x>0, 1 则 cos x< ,又 x∈(0,π), 2 π 解得 <x<π, 3
?π ? 所以函数的单调递增区间为?3,π?. ? ? ?π ? 答案:?3,π? ? ?

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5.讨论下列函数的单调性: (1)y=x3-x; (2)y=ex+e-x(x∈[0,+∞)).

解:(1)y=x3-x, y′=3x
2

? -1=3? ?x+ ?

? 3? 3? ?? ? x- ?. ? ? 3 ?? 3?

3 3 ∵当 x<- 或 x> 时,y′>0, 3 3 3 3 当- <x< 时,y′<0, 3 3

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∴ y= x
? ? ?- ?

3

? - x,在 ? ?-∞,- ?

? ? 3? ? ? 3 ? 和 ,+ ∞ ? 3 ? 上是增函数,在 3? ? ? ?

3 3? ? , ?上是减函数. 3 3?

x 2 ?1? ? ? ? e ? -1 1 -x x x x (2)f′(x)=(e )′+?ex?′=e +?-ex?=e -e = , ex ? ? ? ?

∵当 x∈[0,+∞)时,ex≥1,∴f′(x)≥0. ∴f(x)=ex+e-x 在[0,+∞)上为增函数.

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