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双曲线及其标准方程(修改版) (1)



2.3.1 双曲线及其标准方程

探索研究
椭圆的定义?
Y

平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点轨迹叫做椭圆。

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

r />
思考:如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”,那么点的轨迹是怎样的曲线? 即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么?

看图分析动点M满足的条件: ①如图(A),

|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B),

|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得:

| |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支。

双曲线在生活中

☆.☆

双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考: (1)2a< |F1F2| ; (2)2a >0 ;
F1 o F2 M

(1)若2a= |F1F2|,则轨迹是? (1)两条射线 (2)若2a> |F1F2|,则轨迹是? (2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是? (3)线段F1F2的垂直平分线

分3种情况来看: ①若2a=2c,则轨迹是什么?

此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
F1 F2 ②若2a>2c,则轨迹是什么? 此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么? 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线

F1

F2

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1. 建系.

y

M

以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点. 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式

F1

O

F2

x

|MF1| |MF2|=±2a


4.化简

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

? ( x ? c)

2

?y

2

? ? ?? 2a ?
2

( x ? c) ? y
2

2

?

2

cx ? a 2 ? ? a ( x ? c) 2 ? y 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2
x2 a2

? b 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

y2

此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程

若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y

M

M F2 x

F1

O

F2

x

O
F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正, 则在哪一个轴上

2

2

2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b y 2 x2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b
F(±c,0) F(±c,0)

焦点

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)

a>b>0,a2=b2+c2

a>0,b>0,但a不一定大于 b,c2=a2+b2

例 1 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

变式训练 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足

PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 解: ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6
∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x y ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
课本例2
2 2

例2.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸

声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解:
由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸 点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处 的一支上.

如图所示,建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上, 并且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y), 则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 A o B x 即 2a=680,a=340 ? AB ? 800 ? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 ? 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 , ? x ? 0 x 2 y2 ? ? 1( x ? 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400

思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.

思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差,可以确定爆炸点在某条曲线上,但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全,我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
答:再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处 测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方 程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

? 例3、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6,则 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______ 3 5 4

(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点P, |PF1| - |PF2| | = 6 | 若 |PF1|=10, 则|PF2|=_________ 4或16

例4 已知双曲线的焦点在Y轴上,并且双曲线上

的两点P1、P2的坐标分别( ? 2 ,? 3), 15 ( 3 , 2 ),求双曲线的标准方程。
设法一:

设法二:
设法三:
变式 已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为

( ? 2 ,? 3),( 标准方程。

15 3

, 2),求双曲线的

随堂练习
已知方程
x 2? m
2

?

y2 m ?1

? 1 表示焦点在y轴的

m<-2 双曲线,则实数m的取值范围是______________
变式: 上述方程表示双曲线,则m的取值范围是 m<-2或m>-1 __________________ 求适合下列条件的双曲线的标准方程 ①a=4,b=3,焦点在x轴上; 2 y2 x 16 9 ②焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5) y2 x2 20 16

?

?1 ?1

?

课时小结:
1、双曲线及其焦点,焦距的定义,双曲线的标准方程 以及方程中的abc之间的关系 2、焦点位置的确定方法 3、求双曲线标准方程关键(定位,定量)



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