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一元二次不等式的解法



一、复习引入 一次函数、一元一次方程、一元一次不 等式之间的关系,通过观察一次函数的图像 求得一元一次不等式的解集. 考察:对一次函数y=2x-6, 当x为何值时,y=0,即2x-6=0 当x为何值时,y<0 ,即2x-6<0

y O 3 x

当x为何值时,y>0,即x 2x-6>0 方程的解即函数图象与 轴交点

的横 标,不等式的解集即函数图象在x轴 2x-6>0 2x-6<0的解为 的解为x>3 x<3 下方或上方图象所对应 x的范围. 2x-6=0的解为x=3

一、复习引入 一元一次函数 y=ax+b的图像

a>0

a<0

b ? a

y
o x

y o



b ? a


x

一元一次方程 ax+b=0的解 一元一次不等式 ax+b>0的解集 一元一次不等式 ax+b<0的解集

b x?? a
b {x | x ? ? } a

b x?? a

b {x | x ? ? } a b b {x | x ? ? } {x | x ? ? } a a

二、重难点讲解
?类似地,我们能不能将一元二次不等式的求解与

一元二次函数以及一元二次方程联系起来找到其 y 求解方法呢?
试一试:解不等式 x2-2x-3>0 作出y=x2-2x-3的图像 x2-2x-3=0的解为: -1 X=-1或x=3 x2-2x-3>0的解为: X<-1或x>3 x2-2x-3<0的解为: -1<x<3


X=1

o



3

x

二、重难点讲解 ?我们通过二次函数y=x2-2x-3的图像不仅求 得了的x2-2x-3>0解集,还求得了的x2-2x- 3<0解集.可见利用二次函数的图像来解一元二 次不等式是个有效的方法. 如果相应的一元二次方程分别有两个实根、 唯一实根、无实根的话,其相应的二次函数的 图像与轴的位置关系如何?

请观察表中的二次函数的图像,并写出相 应的一元二次不等式的解集.

?=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像(a>0) ax2+bx+c=0 的根 ax2+bx+c>0 的解集

?>0 y o
x1, 2


y
x2 x

?=0

?<0

y

x1



o



?b? ? ? 2a

b x1 ? x2 ? ? 2a
{ x | x ? R, x ? ?

x

?
R

o

x

{x | x ? x1或x ? x2}

b } 2a

ax2+bx+c<0 {x | x ? x ? x } 1 2 的解集

?

?

二、重难点讲解 这张表是我们今后求解一元二次不等式的主 要工具,必须熟练掌握,其关键是抓住相应的二 y 次函数的图像。 记忆口诀:.(a>0且△>0) x1 x2 大于0取两边,小于0取中间 ● ● o x 解一元二次不等式的步骤: ①把二次项系数化为正数; ②解对应的一元二次方程; ③根据方程的根,结合不等号方向及二次函数 图象; ④得出不等式的解集.

例1 解不等式2x2-3x-2>0 解: ∵?=b2-4ac =3-4×2×(-2)
-1/2


y

o



2

x

=25>0

1 ∴方程2x2-3x-2=0 的解是: x1 ? ? , x2 ? 2 1 2
∴不等式的解集是:

2x2-3x-2=(2x+

1 )(x-2)

{x | x ? ? 或x ? 2}. 2

三、例题讲解 例2 解不等式 4x2-4x+1 > 0 解:因为△ =0,方程4x2-4x+1 =0的解是

1 x1 ? x 2 ? 2,
所以,原不等式的解集是

y

1? ? ?x | x ? ? 2? ?
观察4x2-4x+1 <0的解

o



x

无解

三、例题讲解 例3 解不等式 -x2 +2x-3 > 0 解:∵ -x2 +2x-3 > 0 ∴x2 -2x+3 < 0 又∵△=-8<0,

∴原不等式无解.

三、例题讲解 例4 解不等式: -3x2+6x>2
解:∵-3x2+6x>2 ∴ 3x2-6x+2<0

∵ △=12>0,方程3x2-6x+2=0的解是
3 3 x1 ? 1 ? , x2 ? 1 ? 3 3 ∴原不等式的解集是: 3 3 {x | 1 ? ? x ? 1? } 3 3

y o
● ●

x

四、练习 解下列不等式: ? (1)3x2-7x+2<0 ? (2)-6x2-x+2≤0

1 2 (2) {x | x ? 或 x ? ? } 2 3

1 (1) {x | ? x ? 2} 3

参考答案:

? (3)4x2+4x+1<0 ? (4)x2-3x+5>0

(3) ?
( 4) R

例题5
? 若不等式mx2+nx-5<0的解集为{x|-2<x<5}, 求不等式nx2+mx-5>0的解集。

y 五、小结 x2 o x (1)一元二次不等式的解集与一元二次方程 的解及其相应的二次函数的图像相对于x轴的 位置密切相关.解题时要注意解题格式,头脑 中要想象图像或划出草图. (2)对于a<0的一元二次不等式可转化为 a>0的情形求解. (3)一元二次不等式的解法是今后学习其他 不等式的基础,要求大家熟练掌握解法,准 确运算结果.
● ●

x1

本节课到此结束,请同学们 课后再做好复习。谢谢!

再见!



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