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大纲文数(3)



2014 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(大纲卷 )
文数(三)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.全卷共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一 、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. (新课标 B3-1)已知集合

M ? { y | y ? 1} , N ? {y | y ? ex }, 则 M , N 的关系是( A. N ? M B. M ? N C. M ? N D. M ? N )

1.B【解析】因 为 M ? { y | y? 1} , N ? {y | y ? ex } ? {y | y ? 0} , 所以 M ? N ,故选 B. 2. (原创) 若 2sin ? ? 1 , 0 ? ? ?

?
2

,则 tan ? ? ?

? ?

?? ? 的值是(
3?
D. ?



A. 3

B. ? 3

C.

3 3 ? ?

3 3

2.D【解析】 2sin ? ? 1,? ?

?
6

, tan ? ? ?

??

3 ?? ? ? ? ? tan ? ? ? = ? 3 . 3? ?6 3?
)

3. (福建 2-9 改)在 ?ABC 中,已知 AB ? (2x, 2), AC ? (1, 2) ,且 AB ? AC ,则 x=( A.5 B.2 C. ?2 D. ?1

3.C【解析】由 AB ? AC 可得 AB ? AC ? 0 ,即 2 x ? 4 ? 0 ,故 x ? ?2 . 4. (原创)已知函数 f ( x) ? x , ( x ? 0) ,若 0 ? a ? b ? c ,则
1 2

f ( a ) f (b) f (c ) , , 的大小关系是( ) a b c

A.

f (a ) f (b) f (c) ? ? a b c f (b) f (a ) f (c) ? ? b a c

B.

f (a ) f (c) f (b) ? ? a c b f (c) f (b) f (a ) ? ? c b a f ( x) 表示图象 x
Y

C.

D.
1 2

4.A【解析】作出函数 f ( x) ? x ( x ? 0) 的图象,

O

X

上的点( x, y )与原点连线的斜率,数形结合可得选 A.
3 5. (原创) (1 ? x ) 的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中含 x 项的系数为(

n



A.-8

B.8

C. -28

D.28
r r r
3

5.D【解析】由题意知 n ? 8 ,二项式(1- x)8 展开式的通项公式为 (?1) ? C8 ? x 2 ,当 r=6 时,可得 x 项

6 的系数为 (?1)6 ? C8 ? 28 .

6.(原创)函数 f(x)=x2 -4x+3(x≥3)的反函数为( ) A. f ?1 ? x ?= x ? 1 ? 2( x ? 0) C. f ?1 ? x ?= x ? 1 ? 2( x ? 0)
2

B. f ?1 ? x ?= x ? 1 ? 2( x ? ?1) D. f ?1 ? x ?= x ? 1 ? 2( x ? ?1)

6.C【解析】f (x)=(x-2) -1(x≥3),反解可得 x= y ? 1 ? 2 ,又因为原函数值域为? y | y ? 0? ,所以 所求反函数为 f ?1 ? x ?= x ? 1 ? 2( x ? 0) . 7. (福建 1-4)设等比数列{an } 的前 n 项积为 Tn ,且 a9 a11 ? 2 ,则 T19 ? ( A. ?2 2
19



19

B. 2 2

C. ?219

D. 219

7.A【解析】 a9 a11 ? 2 得 a10 ? ? 2 ,所以 T19 ? a1 ? a2 ? 8.(新课标 2-4)已知双曲线

? a19 ? a1019 ? ?2 2 .

19

x2 y 2 B 两点, O 为坐标原点. 若△ ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与直线 x=1 交于 A、 a 2 b2

AOB 的面积为 3 , 则双曲线的离心率为( ) A.1 B.

3 2

C. 2

D.3

8.C【解析】∵双曲线方程为

x2 y 2 , (n>0)则 ? ? 1 ,∴双曲线的渐近线方程是 y=± x,设 A( 1, n ) a 2 b2
(注:

1 b c S?AOB ? ?1? 2n ? 3,? n ? 3 . 所以双曲线的一条渐近线的斜率是: ? 3 , 所以 e ? ? 2. 2 a a
加上了 n>0,因为没交代 A 点在第一象限) 9. (新课标 B3-10)函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? ? ? ? 0, ? 对称轴方程为( A. x ?

? ?

? ? ? 5? ? ? ? ? 0 ? 的图像过点 ? , 0 ? ,则 f ? x ? 的图像的一条 2 ? ? 12 ?
? ,否则答案就是:B、C ) 6

)(注:删掉上面括号里的 ? >0,选项 C 应改为 x ? ? B. x ?

?
3

2? 3

C. x ?

?
6

D. x ? ?

2? 3

9.B【解析】 f ? x ? 的图像过点 ?

5? ? ? 5? ? ? 5? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , , 0 ? ,所以 cos ? 2 ? ? ? ? ? 0 ,故 6 2 ? 12 ? ? 12 ?

? =k? ?
x?

?
3

? k ? Z ? ,又 ?

?
2

? ? ? 0 ,? ? ? ?

?

? ?? ? . ? f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ,由 2 x ? ? k? ? k ? Z ? 得 3 3 3? ?

k? ? 2? ? ? k ? Z ? . 当 k ? 1 时, x ? . 2 6 3 10. (新课标 B3-16 改)已知函数 y ? f ( x) 为偶函数,且 y ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,若 f (?3) ? 0, 则
不等式

f (? x) ? 3 f ( x) ? 0 的解集为( 2x



A. [?3, 0)

B. [3, ??)

C. [?3, 0)

[3, ??)

D. [?3,3]

10. C 【解析】y ? f ( x) 为偶函数, ? 不等式可化为

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 f ( x) 或? , 解得 ?3 ? x ? 0 ? 0, 即 ? x x ? 0 x ? 0 ? ?

或 x ? 3. 11.在△ABC 中,∠ACB =90° ,AB =8,∠ABC=60° ,PC⊥平面 ABC,PC=4,M 是 AB 上一个动点,则 PM 的最小值为( A. 7 ) C.2 5 D.3 7

B.2 7

11. B 【解析】 如图, ∵PC⊥平面 ABC, MC ? 面 ABC, ∴PC⊥MC. 故 PM= PC2 +MC2 = MC2 +16. 当 MC ? AB 时, MC 有最小值,又∵MC 的最小值为 ∴PM 的最小值为 2 7. (注:加上这一条件,答案更完整) 12. (福建 1-12)已知命题: “过抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点 F 作相互垂直的两条直线 l1 , l 2 ,抛物线 C 与 l1 交于点 P 1, P 2 , 与 l 2 交于点 Q1 , Q2 ,则 4× 4 3 =2 3, 8

1 1 1 ? ? ” .圆锥曲线在某些性质方面呈现出统一性,类 PP QQ 4 1 2 1 2
x2 y 2 ? ? 1的焦点且相互垂直的两条直线,其中椭圆 ? 与 l1 交 4 3


比上述结论,可得:若 l1 ,l 2 是过椭圆 ? : 于点 P 1, P 2 , 与 l 2 交于点 Q1 , Q2 ,则( A.

1 1 7 ? ? PP Q1Q2 12 1 2

B.

1 1 7 ? ? P Q1Q2 12 1P 2

C.

1 1 12 ? ? PP Q1Q2 7 1 2

D.

1 1 12 ? ? P Q1Q2 7 1P 2

12.A【解析】取特殊位置: l1 , l 2 分别垂直于两轴,可得 (注:将“平行”改为了“垂直” ,更严密。 ) 第Ⅱ 卷(非选择题 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

1 1 7 ? ? . PP Q1Q2 12 1 2

共 90 分)

13. (改编)甲乙两名同学从 4 门课程中选修课程,甲选修 2 门,乙选修 3 门,则不同的选修方案共有___种. 13.24【解析】 C4 C4 ? 24 .
2 3

14.(安徽 1-8)已知 f ( x) ? ?

2 x ? 1( x ? 0) ,则 f (2) 等于_________. ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2)( x ? 0) ?

14.1【解析】 f (2) ? f (2 ?1) ? f (2 ? 2) ? f (1) ? f (0) ? ? f (1?1) ? f (1- 2)? ? f (0) ? ? f (0) ? f (?1)? ? f (0)

? ? f (?1) ? ?(?1? 2 ? 1) ? 1 .

? x ? 2y ?1 ? 0 15. (新课标 3-13)变量 x , y 满足条件 ? ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 3x ? 2 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?



15.11【解析】画出不等式组表示的可行域,它是以 A(3, ?1) 、 B(?1,1) 、 C (1,3) 为顶点的△ABC 的内 部(包括边界),在可行域内平移直线 3x ? 2 y ? z ,当经过 x ? 2 y ? 1 ? 0 与 2x+y-5=0 的交点 A(3, ?1) 时, 直线在 y 轴上的截距最小,此时 3x ? 2 y 的最大值为 3 ? 3 ? 2 ? 11 . (注:A 点是 x ? 2 y ? 1 ? 0 与 2 x ? y ? 5 ? 0 的交点) 16.(新课标 4-15)棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P在棱 DD1 上运动,Q在底面ABCD上运 动, PQ为定长 b a ? b ? 3a , R为PQ的中点, 则动点 R 的轨迹在正方体内的面积是________. (用 含 b 的式子表示) 16.

?

?

? b2
8

【解析】因为 DR ?

b b ,所以动点 R 在以 D 为球心,半径是 的球面上(正方体内的部分) , 2 2

2 1 ? ? b ? ? ? b2 所以动点 R 的轨迹的面积是 ? ? 4? ? ? ? ? . 8 ? 8 ? ?2? ? ?

三、解答题(本大题共 6 大题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明,演算步骤或证明过程) 17.(本小题满分 10 分) (福建1-17)已知等比数列 ?an ? 满足 a2 ? 3, a5 ? 81 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和满足 Sn ? n2 ? 2n . (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn .
4 17.解:(1)因为等比数列 ?an ? 满足 a2 ? 3, a5 ? 81 ,又 a5 ? a1q , a2 ? a1q , n ?1 所以 a1 ? 1, q ? 3 ,? an ? 3 . 2 又因为 Sn ? n ? 2n ,所以当 n ? 1 时, b1 ? 3 ,当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ,

? bn ? 2n ? 1 .

(6分)
n?1

(2)因为 an ? bn ? ? 2n ? 1? ? 3
0 1 2

, (7 分)
n ?2

所以 Tn ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 ? 7 ? 3 ? L ? ? 2n ?1? ? 3
1 2 3

? ? 2n ? 1? ? 3n?1 ? ? 2n ? 1? ? 3n ,

所以 3Tn ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 ? 7 ? 3 ? L ? ? 2n ?1? ? 3

n?1

所以 ?2Tn ? 3 ? 30 ? 2 ? 31 ? 32 ? L ? 3n ?1 ? ? 2n ? 1? ? 3n

?

?

? 3? 2?

3n ? 3 (10 分) ? ? 2n ? 1? ? 3n ? ?2n ? 3n ,所以 Tn ? n ? 3n . 2

18.(本小题满分 12 分) (新课标 5-17)在△ABC 中, AB ? 2 5 , AC ? 3 , sin C ? 2sin A . (1)求△ABC 的面积 S ; (2)求 cos(2 A ?

?

4

) 的值. AB BC ? , sin C sin A
. . . . . . . .2 分

18.解: (1)在 ?ABC 中,根据正弦定理: 所以 BC ? sin A

AB 1 ? AB ? 5 , sin C 2

根据余弦定理得: cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 5 ? 2 AB ? AC 5



而 A ? (0, ? ) ,所以 sin A ? 1 ? cos2 A ?

5 , . . . . . . . 6分 5
. . . . . . . . . .8 分

所以 S ?

1 1 5 AB ? AC ? sin A ? ? 2 5 ? 3 ? ?3 . 2 2 5

(2)由(1)可知 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? , 5 5

所以 cos(2 A ?

?
4

) ? cos 2 A cos

?
4

? sin 2 A sin

?
4

??

2 . ??? 12 分 10
P

19.(本小题满分 12 分) (福建 1-18)如图, P 为平面 ABCD 外一点, ABCD 是正方形, E 为线段 PD 上 的一个动点. (1)当 E 为线段 PD 中点时,证明: PB / / 平面 AEC ; (2)若平面 PAD ? 平面 ABCD , ?PAD ? 90 ,且 PA ? AD ? 2 ,试问当 E 在
B

E

A

D

C

何位置时, 平面 AEC 把三棱锥 P ? ABCD 分成的两部分几何体的体积比等于 1:3? 19.解: (1)证明:连结 BD , BD ? AC ? O ,连结接 EO ,因为 E 、 O 分别是线段 PD 、 BD 的中点, 所以 PB / / EO ,又因为 EO ? 平面 AEC , PB ? 平面 AEC ,所以 PB / / 平面 AEC . (6 分) (2)因为平面 AEC 把三棱锥 P ? ABCD 分成的两部分几何体的体积比等于 1:3,所以

VE ? ACD 1 ? , VP ? ABCD 4

所以

S?ACD 1 1 h 2 ? ,所以 1 ? ,所以 E 为线段 PD 中点. ? ,又 (12 分) 1 S 2 h 4 4 2 正方形 ABCD S ? h2 3 正方形ABCD

1 S?ACD ? h1 3

20.(本小题满分 12 分) (新课标 1-18) 《中国好声音(The Voice of China ) 》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造 的大型励志专业音乐评论节目, 于 2012 年 7 月 13 日正式在浙江收视播出. 每期节目均由四位导师组成, 导师背对歌手,当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身,则该选手可以选择加入为其转身的导师的 团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中,6 位选手演唱完后,四位导师为其转身的情况如下 表所示: 导师转身人数(人) 4 3 2 1 获得相应导师转身的选手人数(人) 1 2 2 1 现从这 6 位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师转身的情况. (1)请列出所有的基本事件; (2) 求两人中恰好其中一位为其转身的导师人数不少于 3 人, 而另一人为其转身的导师不多于 2 人的概率. 20.解: (1)设 6 位选手中, A 有 4 位导师为其转身, B, C 有 3 位导师为其转身, D, E 有 2 位导师为其 转身, F 只有 1 位导师为其转身. ??????????3 分 则所有的基本事件有 AB, AC, AD, AE, AF , BC, BD, BE, BF , CD, CE, CF , DE, DF , EF 共 15 个;?6 分 (2)事件“两人中恰好其中一位为其转身的导师人数不少于 3 人, 而另一人为其转身的导师不多于 2 人”所包含的基本事件有: AD, AE, AF , BD, BE, BF , CD, CE, CF 共 9 个, ??????????9 分 故所求概率为 P ?

9 3 ? . 15 5

??????????12 分

21.(本小题满分 12 分)

1 3 (1)曲线 C: y ? f ( x) 经过点 P(1,2),且曲线 C 在点 P 处的切线平行于直线 y ? 2x ?1,求 a , b 的值.
3 2 已知函数 f() x? x ? a x ? b x , a , b ? R

? a ? b ? 2 (2)已知 f(x在 ) 区间(1,2)内存在两个极值点,求证: 0 .

22.(本小题满分 12 分) (四川 1-20)若点 ( x, y ) 在以原点为圆心,2 为半径的圆上运动,动点 ( x ? y, xy) 的轨迹为曲线 C, (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)把曲线 C 的图象向下平移 1 个单位得到曲线 T ,过 (0, ?1) 的直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,则当 直线 l 转动时,以 AB 为直径的圆是否与某定直线相切?若存在,求出该直线方程;若不存在,则说明 理由.

1 2

(3)若过直线 y ? 2 上任意一点 P 作曲线 C 的两条切线,切点分别为 M、N,则直线 MN 是否过定点? 若过定点,则求出该定点坐标,若不过定点,则说明理由. 22.解: (1)

x2 ? y 2 ? 4 ,

设a ? x? y,

b?

1 , xy 2

由 a2 ? x2 ? y 2 ? 2xy 知:

a 2 ? 4 ? 4b ,

又 a2 ? x2 ? y 2 ? 2 xy ? 2( x2 ? y 2 ) ? 8 ,

, ?? 2 2 ? a ?2 2

故曲线 C 的轨迹方程为 x 2 ? 4 ? 4 y ( ?2 2 ? x ? 2 2 ) . (4 分) (2)曲线 T 方程: x 2 ? ?4 y ,焦点坐标 F (0, ?1) ,准线 l ? : y ? 1 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , AB 中点为 G,由抛物线定义知 AB ? AF ? BF ? d A?l? ? d B?l? ? 2dG?l? , ?dG?l? ? (8 分) ?以 AB 为直径的圆与抛物线准线 l ? : y ? 1 相切.

1 AB , 2

y ?2 1 (3)设 P( x0 ,2) 切点 M ( xM , yM ) , N ( xN , xN ) ,则 k PM ? y? |xm ? ? xM ? M 2 xM ? x0

1 1 1 1 ? yM ? 2 ? ? xM ( xM ? x0 ) ? ? xM 2 ? xM x0 ? 2 yM ? 2 ? xM x0 , 2 2 2 2 1 整理得: yM ? xM x0 ? 0 ① 2 1 同理得: yN ? xN x0 ? 0 ② 2 1 由①②可得 M ( xM , yM ) , N ( xN , yN ) 都在直线 x0 x ? y ? 0 上, 2 1 那么直线 MN 的方程为 x0 x ? y ? 0 ,恒过定点 (0,0) . (12 分) 2
(注: (3)中将 y |x0 更正为:y |xm )
, ,



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