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直线与平面垂直的判定


徐州市高中数学公开课

直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定

2009 年 9 月 22 日
1

课题:直线与平面垂直的判定(一)

一、教学目标 1.借助对图片、实例的观察,抽象概括出直线与平面垂直的定义,并能正确理解直 线与平面垂直的定义。 2.通过直观感知,操作确认,归纳直线与平面垂直判定的定理,并能运用判定定理 证明一些空间位置关系的简单命题,进一步培养学生的空间观念。 3.让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣。 二、教学重点、难点 1.教学重点:操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 2.教学难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。 三、课前准备 1.教师准备:教学课件 2.学生自备:三角形纸片、铁丝(代表直线) 、纸板(代表平面) 、三角板 四、教学过程设计 1.直线与平面垂直定义的建构 (1)创设情境 ①请同学们观察图片,说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系? ②请把自己的数学书打开直立在桌面上,观察书脊与桌面的位置有什么关系? ③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。 (2)观察归纳 ①思考: 一条直线与平面垂直时, 这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系? ②多媒体演示:旗杆与它在地面上影子的位置变化。 ③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。 定义:如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面α互相垂直,记作:l⊥α. 直线 l 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的 公共点 P 叫做垂足。
2

l α
P

用符号语言表示为: m是平面?内任一直线? ??l ?? l?m ? (3)辨析(完成下列练习) : ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线就与这个平面垂 直。 ②若 a⊥α,b ? α,则 a⊥b。 在创设情境中,学生练习本上画图,教师针对学生出现的问题,如不直观、不标字 母等加以强调,并指出这就叫直线与平面垂直,引出课题。 在多媒体演示时,先展示动画 1 使学生感受到旗杆 AB 所在直线 与过点 B 的直线都垂直。再展示动画 2 使学生明确旗杆 AB 所在直线 与地面内任意一条不过点 B 的直线 B1C1 也垂直,进而引导学生归纳出 直线与平面垂直的定义。
B1 B C1 C A

在辨析问题中,解释“无数”与“任何”的不同,并说明线面垂直的定义既是线 面垂直的判定又是性质,线线垂直与线面垂直可以相互转化,给出常用命题:

a ? ?? ??a ?b b ? ??
2. 直线与平面垂直的判定定理的探究 (1)设置问题情境 提出问题:学校广场上树了一根新旗杆,现要检验它是否与地面垂直,你有什么 好办法? (2)折纸试验 如图,请同学们拿出准备好的一块(任意)三角形的纸片,我们一起来做一个实 验: 过△ABC 的顶点 A 翻折纸片, 得到折痕 AD, 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上, (BD、 DC 与桌面接触).观察并思考: ①折痕 AD 与桌面垂直吗? ②如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直? ③多媒体演示翻折过程。 (3)归纳直线与平面垂直的判定定理 ①思考:由折痕 AD⊥BC,翻折之后垂直关系,即
B
3

A

B

D A

C

D C

AD⊥CD,AD⊥BD 发生变化吗?由此你能得到什么结论? ②归纳出直线与平面垂直的判定定理。 定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直。 用符号语言表示为:
l p α m n

m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ??l ?? l ? m, l ? n ?

在讨论实际问题时,学生同桌合作进行试验(将铁丝当旗杆,桌面当地面)后交流 方案,如用直角三角板量一次,量两次等。教师不作点评,说明完成下面的折纸试验后 就有结论。 在折纸试验中,学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况,引导这两类学生进行 交流,根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸,进而探究直 线与平面垂直的条件,经过讨论交流,使学生发现只要保证折痕 AD 是 BC 边上的高,即 AD⊥BC,翻折后折痕 AD 就与桌面垂直,再利用多媒体演示翻折过程,增强几何直观性。 在归纳直线与平面垂直的判定定理时, 先让学生叙述结论, 不完善的地方教师引导、 补充完整,并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实,简要说明直线与平面垂直的 判定定理。然后,学生试用图形语言表述,练习本上画图,可能出现垂足与两相交直线 交点重合的情况(如图) ,教师补充说明,同时给出符号语言表述。
l α m p 在理解直线与平面垂直的判定定理时,强调“两条” 、 “相交”缺一不可,并结合前 n

面 “检验旗杆与地面垂直” 问题再进行确认。 指出要判断一条直线与一个平面是否垂直, 取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,这充分体现了“直线与平 面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。 3. 直线与平面垂直的判定定理的初步应用 (1)尝试练习: 求证:与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。A
?

a C B

a ? AC,a ? BC.求证:a ? AB 学生根据题意画图,将其转化为几何命题:不妨设

请三位同学板演,其余同学在练习本上完成,师生共同评析,明确运用线面垂直 判定定理时的具体步骤,防止缺少条件,同时指出:这为证明“线线垂直”提供了一种 方法。
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(2)尝试练习:如图,有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有两 条长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆 脚不在同一条直线上 )C、D。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m, 那么旗杆就和地面垂直.为什么?

A

?C

B

D

本题需要通过计算得到线线垂直。 学生练习本上完成后, 对照课本 P69 例 1,完善自 己的解题步骤。 (3)尝试练习:如图,已知 a∥b,a⊥α,求证:b⊥α。 此题有一定难度,教师引导学生分析思路,可利用线面垂直的定 义证,也可用判定定理证,提示辅助线的添法,学生练习本上完成, α 对照课本 P69 例 2,完善自己的解题步骤。 4. 总结反思 (1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法? (2)在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题? (3)本节课你还有哪些问题? 学生发言,互相补充,教师点评,归纳出判断直线与平面垂直的方法,给出框图 (投影展示) ,同时,说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法,强调 “平面化”是解决立体几何问题的一般思路,并鼓励学生反思,大胆质疑,教师作好记 录,以便查缺补漏。 直线与平面 垂直的判定 间接法 a b
\ n b

m

直接法 判定定理 : 如果一条直 线垂直于一个平面内的 两条相交直线,那么此 直线垂直于这个平面。 如果一条直线垂于一个平面内 的任何一条直线 5.布置作业

定义法

如果两条平行直线中 的一条垂直于一个平 面,那么另一条也垂 直于同一个平面。

此直线垂直于这个平面

(1)如图,点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,O 是 对角线 AC 与 BD 的交点,且 PA=PC,PB=PD.
B A

P

D O C

5

求证:PO⊥平面 ABCD (2)探究:如图,PA⊥圆 O 所在平面,AB 是圆 O 的直径, C 是圆周上一点,则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥 中最多有几个直角三角形?四棱锥呢?

【板书设计】
2.3.1 直线与平面垂直的判定(一) 1、 直 线 与 平 面 垂 2、 直 线 与 平 面 垂 直 的判定定理: 直的定义: 练习 1: 练习 2: 练习 3:

教学设计说明
在这次新课程数学教学内容中, 立体几何不论从教材编排还是教学要求上都发生了 很大变化,因而,我在本节课的处理上也作了相应调整,借助多媒体辅助教学,采用“引 导—探究式”教学方法。整个教学过程遵循“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知 规律,注重发展学生的合情推理能力,降低几何证明的难度,同时,加强空间观念的培 养,注重知识产生的过程性,具体体现在以下几个方面: 1.线面垂直的定义没有直接给出,而是让学生在对图形、实例的观察感知基础上, 借助动画演示帮助学生概括得出,并通过辨析问题深化对定义的理解。这样就避免了学 生死记硬背概念,有利于理解数学概念的本质。 2.线面垂直的判定定理不易发现,在教学中,通过创设问题情境引起学生思考,安 排折纸试验,讨论交流,给学生充分活动的时间与空间,帮助学生从自己的实践中获取 知识。教师尽量少讲,学生能做的事就让他们自己去做,使学生更好的参与教学活动, 展开思维,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣。 3.本节中教师不作例题示范,而是让学生先尝试完成,后讲评明晰。为更好地巩固 判定定理,设置了有梯度的练习,其中练习(1)是补充题,是判定定理的最简单的运 用。作业中增加了基础题(第 1 题)和开放性题目(第 2 题) ,这样,有助于培养学生
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的发散思维,使学生在不同的几何体中体会线面垂直关系,发展学生的几何直观能力与 一定的推理论证能力。同时,在教学中,始终注重训练学生准确地进行三种语言(文字 语言、图形语言和符号语言)的转换,培养运用图形语言进行交流的能力。 4.以问题讨论的方式进行小结,培养学生反思的习惯,鼓励学生对问题多质疑、多 概括。

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