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2.2.2-2用样本数字特征估计总体数字特征



2.2

用样本估计总体

2.2.2用样本的数字特征估计总体的 数字特征
第二课时

知识回顾

1.如何根据样本频率分布直方图,分别 估计总体的众数、中位数和平均数?

(1)众数:最高矩形下端中点的横坐标.
(2)中位数:直方图面积平分线与横轴 交点的横

坐标. (3)平均数:每个小矩形的面积与小矩 形底边中点的横坐标的乘积之和.

知识探究:标准差
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本 数据的“中心值”,其中众数和中位数容易计算, 不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本数 据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息, 但受样本中每个数据的影响,越极端的数据对平 均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时,使 用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置, 可能与实际情况产生较大的误差,难以反映样本 数据的实际状况,因此,我们需要一个统计数字 刻画样本数据的离散程度.

思考1:在一次射击选拔赛中,甲、乙 两名运动员各射击10次,每次命中的环 数如下: 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分 别为多少环?

x甲 ? 7,

x乙 ? 7

思考2:甲、乙两人射击的平均成绩相等,观 察两人成绩的频率分布条形图,你能说明其 水平差异在那里吗?
频率 0.4 0.3 0.2 0.1 O

(甲)
0.4 0.3 0.2 0.1 O

频率

(乙)

4 5 6 7 8 9 10 环数

4 5 6 7 8 9 10 环数

甲的成绩比较分散,极差较大,乙的 成绩相对集中,比较稳定.

思考3:对于样本数据x1,x2,?,xn, 设想通过各数据到其平均数 x 的平均距 离来反映样本数据的分散程度,那么这 个平均距离如何计算?

| x1 - x | + | x 2 - x | + L + | xn - x | n

思考4:反映样本数据的分散程度的大小,最 常用的统计量是标准差,一般用s表示.假设 样本数据x1,x2,?,xn的平均数为 x ,则标 准差的计算公式是:

s=

(x 1 - x ) + (x 2 - x ) + L + (x n - x ) n

2

2

2

那么标准差的取值范围是什么?标准差为 0的样本数据有何特点? s≥0,标准差为0的样本数据都相等.

思考5:对于一个容量为2的样本:x1, x2(x1<x2),则 x =

x1 + x 2 2

,s =

x 2 - x1 2

在数轴上,这两个统计数据有什么几何意义? 由此说明标准差的大小对数据的离散程度有 何影响?

标准差越大离散程度越大,数据较分散; 标准差越小离散程度越小,数据较集中 在平均数周围.

s =

2

(x 1 - x ) + (x 2 - x ) + L + (x n - x ) n

2

2

2

1.标准差的平方s2称为方差,有时用方

差代替标准差测量样本数据的离散度. 方差与标准差的测量效果是一致的,在 实际应用中一般多采用标准差. 2.现实中的总体所包含的个体数往往很 多,总体的平均数与标准差是未知的, 我们通常用样本的平均数和标准差去估 计总体的平均数与标准差,但要求样本 有较好的代表性.

例题分析

例1 画出下列四组样本数据的条形图, 说明他们的异同点.

(1) 5,5,5,5,5,5,5,5,5; (2) 4,4,4,5,5,5,6,6,6;
频率 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
O

x = 5 s= 0

频率
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

x= 5 s = 0.82

1 2 3 4 5 6 7 8
(1)

O 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)

(3) 3,3,4,4,5,6,6,7,7; (4) 2,2,2,2,5,8,8,8,8.
频率 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 频率

x= 5 s = 1.49

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

x= 5 s = 2.83

O

1 2 3 4 5 6 7 8
(3)

O

1 2 3 4 5 6 7 8
(4)

四组数据虽然有相同的平均数,但是它们有 不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.

例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种 零件,为了对两人的生产质量进行评比,从他们 生产的零件中各随机抽取20件,量得其内径尺寸 如下(单位:mm):
甲 : 25.46 25.45 25.44 乙: 25.40 25.49 25.47 25.32 25.38 25.40 25.43 26.36 25.31 25.45 25.42 25.42 25.44 25.34 25.32 25.39 25.39 25.35 25.48 25.33 25.32 25.36 25.43 25.41 25.48 25.43 25.32 25.34 25.39 25.39 25.47 25.43 25.48 25.42 25.40

25.49 25.32

从生产零件内径的尺寸看,谁生产的零件质量 较高?

x 甲 ? 25.401 s甲 ? 0.037

x 乙 ? 25.406
s乙 ? 0.068

甲生产的零件内径更接近内径标准,且稳定 程度较高,故甲生产的零件质量较高.
说明:1.生产质量可以从总体的平均数与标准差 两个角度来衡量,但甲、乙两个总体的平均数与 标准差都是不知道的,我们就用样本的平均数与 标准差估计总体的平均数与标准差. 2.问题中25.40mm是内径的标准值,而不是 总体的平均数.

小结作业

1.对同一个总体,可以抽取不同的样本, 相应的平均数与标准差都会发生改变.如 果样本的代表性差,则对总体所作的估 计就会产生偏差;如果样本没有代表性, 则对总体作出错误估计的可能性就非常 大,由此可见抽样方法的重要性.

2.在抽样过程中,抽取的样本是具有随 机性的,如从一个包含6个个体的总体中 抽取一个容量为3的样本就有20中可能抽 样,因此样本的数字特征也有随机性. 用样本的数字特征估计总体的数字特征, 是一种统计思想,没有惟一答案.

3.在实际应用中,调查统计是一个探究 性学习过程,需要做一系列工作,我们 可以把学到的知识应用到自主研究性课 题中去.

作业: P82习题2.2 A组:6.



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