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河北省衡水市冀州中学2016届高三上学期第三次月考(理数)



试卷类型:A 卷 河北省衡水市冀州中学 2016 届高三上学期第三次月考 数学(理科) 考试时间:120 分钟 分数:150

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x log 2 x ? x ? 1 , 则A

? B = (
2 2

?

?

?

?

? ?

)

A.

3? ? 2,

B.

3? ? 2,

C.

? 2? ? ?3,

D.

? 2? ??3,

2.给出下列两个命题,命题 p : “ x ? 3 ”是“ x ? 5 ”的充分不必要条件;命题 q:函数

y ? log 2

?

x 2 ? 1 ? x 是奇函数,则下列命题是真命题的是(
C. p ? q D. p ? ?q

?

)

A. p ? q B. p ? ?q

3.设 a ? 0, b ? 0. 若 3 是 9 a 与 27 b 的等比中项,则 A.25 B.24 C.36

3 2 ? 的最小值为 ( a b

)

D.12

4.一个几何体的三视图如图所示,其中主(正)视图是边长为 2 的正三角形,俯视图是正 方形,那么该几何体的左(侧)视图的面积是( A. 2 B. C. 4 D. 2 )

5. 已知向量 a ? ?1,2?, b ? ?1,0?, c ? ?3,4? , 若 ? 为实数, a ? ?b ∥ c , 则 ? =( A.2 ) B.1 C.

?

?

1 2

D.

1 4
1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点, 则 log 2 a2013 3
D.5

6. 等差数列 ?an ? 中的 a1 , a4025 是函数 f ? x ? ? 等于( A.2 ) B.3 C.4

? 7 .将函数 y ? cos 2 x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y ? f ? x ? ? cos x 的图象,则 4 f ? x ? 的表达式可以是( )
A. D. f ? x ? ?

f ? x? ?

2 sin 2 x 2

B.

f ? x ? ? 2sin x

C.

f ? x ? ? ?2sin x

2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 1 3 1 2 8.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c在x1 处取得极大值,在 x2 处取得极小值,满足 3 2

1

x1 ? ? ?1, 0 ? , x2 ? ? 0,1?,则
A.

a ? 2b ? 4 的取值范围是( a?2
C.



? 0, 2?

B. ?1,3?

?0,3?

D. ?1,3?

9. 已知函数 f ( x) ? 2x ? x, g ( x) ? log2 x ? x, h( x) ? log2 x ? 2 的零点依次为 a, b, c ,则 ( ) A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c

2 10. 已知函数 f ( x) ? 2 cos

?x
2

? cos( ?x ?

?
3

), (其中 ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,在锐角

1 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f ( A) ? ? , c ? 3, ?ABC 的面积为 2

6 3 ,则 ?ABC 的外接圆面积为(
A. 45? B. 49?

) C. 3? D.

49? 3

11. 函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,对 ?x ? R,都有 2 f ?( x) ? f ( x) 成立,若 f (ln 4) ? 2 , 则不等式 f ( x) ? e 2 的解是( A. x ? ln 4
x

) C. x ? 1 D. 0 ? x ? 1

B. 0 ? x ? ln 4

12.设函数 y=f(x)在区间 D 上的导函数为 f′(x),f′(x)在区间 D 上的导函数为 g(x)。 若在区间 D 上,g(x)<0 恒成立,则称函数 f(x)在区间 D 上为“凸函数”。已知 实数 m 是常数, f ( x) ?

x 4 mx 3 3x 2 若对满足 | m |≤2 的任何一个实数 m , ? ? 12 6 2 ,


函数 f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”,则 b ? a 的最大值为( A.3 B.2 C.1 D. 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 3 2 2 13. 函数 f(x) = x - x + x + 1 在点 (1,2) 处的切线与函数 g (x) = x 围成的图形的面积 _______. 14. 已知命题p : ?

? x ? 2 ? 10 , 命题q : ?m ? x ? 1 ? m, 若?p是?q的必要不充分条件, ? x ? 10 ? 0


则实数 m 的取值范围是

?x ? y ? 1 ? 15.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? ax ? 3 y 仅在点(1,0)处取得最小 ?2 x ? y ? 2 ?
值,则 a 的取值范围为_________.

2

2 Sn 2 ? ma1 16. 记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若不等式 a ? 对任意等差数列 {an } 2 n 2 n

及任意正整数 n 都成立,则实数 m 的最大值为_________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分。 17.(本小题满分 10 分) 已知 x ?

?
6

是函数 f ? x ? ? ? a sin x ? cos x ? cos x ?

1 图象的一条对称轴. 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调增区间; (2)作出函数 f ? x ? 在 x ??0, ? ? 上的图象简图。

18. (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 A1﹣EC﹣C1 的余弦值. AB.

19. (本小题满分 12 分) 已知数 列 为常数, (1)求 P 的值及数列 (2)设数列 20. (本小题满分 12 分)
2 x 设函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 e ? a ? 0 ?

成等差数列。 的通项公式; 的最大项。

?

?

(1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2) 当 a ? ?1 时, 函数 y ? f ? x ? 与g ? x ? ? 求实数 m 的范围.

1 3 1 2 x ? x ? m 的图像有三个不同的交点, 3 2

3

21.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,且 a10 ? 19 , S10 ? 100 ;数列 {bn } 对 任意 n ? N? ,总有 b1 ? b2 ? b3 ?bn?1 ? bn ? an ? 2 成立. (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 cn ? (?1) n

4n ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . (2n ? 1) 2

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x (sin x ? cos x) ? a , g ( x) ? (a 2 ? a ? 10)e x ( a ? R 且 a 为常数) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线过点 (1, 2) ,求实数 a 的值; (Ⅱ)若存在实数 x 1 , x 2?[0, ? ] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 13 ? e 2 成立,求实数 a 的取 值范围; (Ⅲ)判断函数 ? ( x) ? 并说明理由.
?

b(1 ? e2 ) g ( x) 1 ? ? 1 ? lnx (b ? 1) 在 (0, ??) 上的零点个数, 2 2 (a ? a ? 10)e x x

4

数学(理科)参考答案
A 卷:BCDBC 13. ACBAD AB 15. (-6,3) 16. 0.2

4 3

14. m≥9

17.解: (I) f ( x) ? ∵x? 即

1 1 a sin 2 x ? cos 2 x , 2 2

?

是函数 f ( x) 图象一条对称轴,∴ f (0) ? f ( ) , 6 3

?

1 a ? 1 ? ? sin 2( ) ? cos 2( ) ,∴ a ? 3 ; 2 2 3 2 3

f ? x? ?
2 k? ? k? ?

3 1 ?? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? 2 2 6? ?
? 2x ?

?
2

?
6

? 2 k? ?

?
2

? 2 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

2? ? ? 2 x ? 2k? ? 3 3

,k ?Z

函数 f ? x ? 的增区间为 [k? ? (2)列表

?

, k? ? ], k ? Z 3 6

?

?????? 5 分

x
2x ?

0

? 5? 2? 6 12 3
3? 2

11? 12

?

? 6

? ? ? 6 2
1 2

2?

13? 6 1 2
????? 10 分

f ( x)

1

0

-1

0

18.解: (1)证明:连接 AC1 交 A1C 于点 F, 则 F 为 AC1 的中点.又 D 是 AB 的中点, 连接 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF? 平面 A1CD,BC1?平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)解:由 AC=CB= AB,得 AC⊥BC.

????5 分

以 C 为坐标原点,CA 的方向为 x 轴正方向,CB 的方向为 y 轴正方向,CC1 的方向为 z 轴正 方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C﹣xyz. 设 CA=2,则 C(0,0,0) ,A(2,0,0) ,E(0,2,1) ,A1(2,0,2) ,

5



=(2,0,0) ,

=(0,2,1) ,

=(2,0,2) .

设 =(x,y,z)是平面 A1CE 的法向量, 则 ,取 x=2,得 =(2,1,﹣2) .

∵CA⊥CB,CA⊥CC1,CB∩CC1=C, ∴CA⊥平面 ECC1, ∴ =(2,0,0)是平面 ECC1 的一个法向量, = . ????12 分

∴二面角 A1﹣EC﹣C1 的余弦值为

19.(1)a1=4 ,a2=a1+3p+1=5+3p a3= 6+12p a1,a2+6,a3 成等差数列. 的 2a2+12=a1+a3 即 22+6p=10+12p 解得 p=2 n an+1=an+2*3 +1 1 ∴a2-a1=2*3 +1 2 a3-a2=2*3 +1 ?? n-1 an-an-1=2*3 +1(n≥2) n n 叠加得: an-a1=3 +n-4, an=3 +n. 检验 n=1 时满足。 ∴an=3n+n. (2) bn=n2/(an-n)=n2/3n 设 f(x)=x2/3x (x>0) f/(x)=(2x*3x-ln3*3x*x2)/32x 令 f/(x)=0 得 1<x1<2 即 f(x)在(0,x1)上为增 在(x1,+无穷)为减 f(1)=1/3 f(2)=4/9 显然 f(1)<f(2) 即 f(x)max=f(2)=4/9 x∈N+ 所以(bn)max=b2=4/9

????6 分

????12 分

20.解: (1) f ' ? x ? ? [ax2 ? ? 2a ?1? x]ex ? x ? ax ? 2a ? 1? e x ? a ? 0?

f ' ? x ? ? 0, x1 ? 0, x2 ? ?2 ?
① a ? ? , f '? x? ? ? ②?

1 a

1 2

1 2 x x e ? 0 , f ? x ? 在 ? ??, ??? 上递减; 2

1 1? 1 ? ? ? ? a ? 0, x1 ? x2 , f ? x ? 在 ? ??,0? 上递减;在 ? 0, ?2 ? ? 上递增,在 ? ?2 ? , ?? ? 2 a? a ? ? ? 1 1 ? 1? , x2 ? x1 , f ? x ? 在 ? 在? 在 ? 0, ??? 上递减. ?2 ? , 0 ? 上递增, ??, ?2 ? ? 上递减; ? ? 2 a ? a? ? ?
6

上递减 ③a ? ? 7分

(2) a ? ?1 ,函数 y ? f ? x ? 与g ? x ? ?

1 3 1 2 x ? x ?m 3 2
2

的图像有三个不同的交点,等价于 ? m ? x ? x ? 1 e ?
x

?

?

1 3 1 2 x ? x 有三个不同的根 3 2

设 h ? x? ? x ? x ?1 e ?
2 x

?

?

1 3 1 2 x ? x 3 2

h ' ? x ? ? x ? x ? 1? ? e x ? 1? ,函数 h ? x ? 在? ??, ?1? ?, ? ?1,0? ?, ? 0, ??? ?

3 1 h ? x ?极大 =h ? ?1? ? ? , h ? x ?极小 =h ? 0 ? ? 1 e 6
当? ?

????10 分

3 1 1 1 ? m ? ?1 时方程 ?m ? ? x 2 ? x ? 1? e x ? x 3 ? x 2 有三个不同的根 ?12 分 e 6 3 2 21. 解: (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d , 10 ? 9 ? d ? 100 则 a10 ? a1 ? 9d ? 19, S10 ? 10a1 ? 2 解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1 ?????????????????????3 分
所以 b1 ? b2 ? b3 ?bn?1 ? bn ? 2n ? 1 ?? ① 当 n ?1 时, b1 ? 3

当n ? 2时, b1 ? b2 ? b3 ?bn?1 ? 2n ?1 ??②
①②两式相除得 bn ?

2n ? 1 (n ? 2) 2n ? 1

因为当 n ? 1 时, b1 ? 3 适合上式,所以 bn ? (Ⅱ)由已知 cn ? (?1) 得 cn ? (?1)
n n

4n ? bn , (2n ? 1) 2

2n ? 1 (n ? N ? ) ????????????6 分 2n ? 1

4n 1 1 ? (?1)n ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 则 Tn ? c1 ? c2 ? c 3 ?? ? cn 1 1 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (?1) n ( ? ) ?????????7 分 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1
当 n 为偶数时,

1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (?1) n ( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (?1 ? ) ? ( ? ) ? (? ? ) ? ? ? ( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? ?1 ? ?? ????????????????????????9 分 2n ? 1 2n ? 1
当 n 为奇数时,

1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (?1) n ( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1

7

1 1 1 1 1 1 1 ? (?1 ? ) ? ( ? ) ? (? ? ) ? ? ? (? ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? ?1 ? ?? 2n ? 1 2n ? 1

? 2n ? 1 综上:T ? ? ? n ? ? 2n , n为偶数

??????11

??12 分

? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? 2n ? 1 ?
x

22.解: (Ⅰ) f ?( x) ? e x (sin x ? cos x) ? e x (cos x ? sin x) = 2e cos x , 又曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线过点 (1, 2) ,得 f ?(0) ? 即 2 ? 1 ? a ,解得 a ? ?1
?

f (0) ? 2 , 0 ?1
????2 分

(Ⅱ)存在实数 x 1 , x 2?[0, ? ] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 13 ? e 2 成立, 即 g ( x)min ? f ( x) max ? 13 ? e 2 由(Ⅰ)知 f ?( x) ? 2ex cos x ? 0 在 x ?[0, ? ] 上的解为 x ?
?

?
2



) 上递增,在 ( , ?) 上递减。 f ( x) max ? f ( ) ? e 2 ? a 2 2 2 2 2 x 又 a ? a ? 10 ? 0 恒成立, g ( x) ? (a ? a ? 10)e 在 [0, ? ] 上递增, (0, 函数 f ( x ) 在

?

?

?

?

g ( x)min ? g (0) ? a2 ? a ? 10 ,
2 故 a ? a ? 10 ? e 2 ? a ? 13 ? e 2 ,得 a ? 2a ? 3 ? 0 ,
2

?

?

所以实数 a 的取值范围是 (?1,3) (Ⅲ)由 ? ( x) ?
2

????????????6 分

b(1 ? e ) g ( x) 1 ? ? 1 ? ln x ? 0 ( x ? 0) 得 2 2 (a ? a ? 10) xe x 2 x b(1 ? e ) e 1 b(1 ? e2 ) e x ? ? 1 ? ln x ? 0 ? 1 ? x ? x ln x , ,化为 xe2 x e2 令 h( x) ? 1 ? x ? x ln x ,则 h?( x) ? ? 2 ? ln x 1 1 ?2 由 h?( x) ? ? 2 ? ln x ? 0 , 得x?e , 故 h( x ) 在 (0, 2 ) 上递增, 在 ( 2 , ?? ) 上 e e
1 1 ) ? 1? 2 . 2 e e 2 b(1 ? e ) e x 1 ? b(1 ? 2 )e x , 再令 t ( x) ? 2 e e 1 x 因为 b ? 1 ,所以函数 t ( x) ? b(1 ? 2 )e 在 (0, ??) 上递增, e 1 0 1 1 t ( x) ? t(0) ? b(1 ? 2 )e ? b(1 ? 2 ) ? 1 ? 2 . e e e 知 t ( x) ? h( x)max ,由此判断函数 ? ( x) 在 (0, ??) 上没有零点, h( x) max ? h(

递减,

故 ? ( x) 零点个数为 0.
8

??????12 分



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