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2016届湖南省衡阳市高三第三次联考(三模)数学(文)试题



2016 届湖南省衡阳市高三第三次联考(三模)数学(文)试题 文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.设集合 P ? {x | 0 ? x ? A. m ? p B. m ? p

2} , m ? 3 ,则下列关系中正

确的是(
C. m ? p D. m ? p



2.如图 1,在复平面内,复数 z1 , z2 对应的点分别是 A, B ,则 A. 1 ? 2i B. ?1 ? 2i C. ?1 ? 2i D. 1 ? 2i

z1 ?( z2



3.某研究机构对学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据: x y 6 2 8 3 10 5
^ ^

12 6
^

根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a 中的 b 的值为 0.7,则 a 为( A.1.2 B.-1.2 ) C.-2.3 D.7.5 )

4.执行如图 2 所示的程序框图,如果输入 m ? 30, n ? 18 ,则输出的 m 的值为( A.0 B.6 C.12 D.18

5.若将函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位,所得图象关于原点对 称,则 ? 的最小值为( A. ) C.

?
8

B.

?
4

3? 8

D.

3? 4

6.若 a, b 是两个正数,且 a, b, ?2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等 比数列,则 a ? b 的值等于( A.3 B.4 C.5
x

) D.20

7.设命题 p : ?x0 ? R,3 0 ? x0 ? 2016 ,命题 q : ?a ? (0, ??), f ( x) ?| x | ? ax( x ? R) 为偶函 数,则下列命题为真命题的是( A. p ? q B. ( ? p ) ? q ) D. (?p ) ? (?q )

C. p ? ( ? q )

8.已知点 (?1, 2) 和 ( 围是( A. ( )

3 则直线 l 倾斜角的取值范 , 0) 在直线 l : ax ? y ? 1 ? 0(a ? 0) 的同侧, 3

? ?

, ) 4 3

B. (0,

?
3

)?(

3? ,? ) 4

C. (

3? 5? , ) 4 6

D. (

2? 3? , ) 3 4

9.如图 3,是一建筑物的三视图(单位:米) ,现需将其外壁用油漆一遍,若每平方米用漆 1 千克,则共需油漆的总量(单位:千克)为( A. 48 ? 24? B. 39 ? 24? C. 39 ? 36? ) D. 48 ? 30?

10.函数 y ? ln(

x ? sin x ) 的图象大致是( x ? sin x



11.已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 也是抛物线 C2 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 2 a b


的焦点, C1 与 C2 的一个交点为 P ,若 PF ? x 轴,则双曲线 C1 的离心率为( A. 2 ? 1 B. 2 C. 2 ? 1 D. 3 ? 1
x ?x

12.已知函数 f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ) (其中 x1 ? x2 ? x3 ) , g ( x) ? e ? e ,且函数 ,设 ? ? f ( x) 的两个极值点为 ? , ? ( ? ? ? ) A. g (? ) ? g (? ) ? g ( ? ) ? g ( ? ) C. g (? ) ? g (? ) ? g ( ? ) ? g ( ? )

x ? x3 x1 ? x2 ,? ? 2 ,则( 2 2



B. g (? ) ? g (? ) ? g ( ? ) ? g ( ? ) D. g (? ) ? g (? ) ? g ( ? ) ? g ( ? )

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) ? ? ? ? 13.若向量 a ? (1, 2), b ? (1, ?1) ,则 2a ? b ? .
14.已知 S n 是数列 {an } 的前 n 项和,且 S n ? n 2 ? n ,则 an ? .

15.若在区间 [?5,5] 内任取一个实数 a ,则使直线 x ? y ? a ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2
2 2

有公共点的概率为

.

16.已知非零向量序列: a1 , a2 , a3 , ? , an 满足如下条件: | a1 |? 2 , a1 ? d ? ?

?? ?? ? ?? ?

?? ?

??

?? ? ?

?? ? ???? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? an ? an ?1 ? d ( n ? 2, n ? N * ) , S n ? a1 ? a1 ? a1 ? a2 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? an ,当 S n 最大时,

1 ,且 2

n?

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 tan( (1)求

?
4

? A) ? 2 .

sin 2 A 的值; sin 2 A ? cos 2 A

(2)若 B ?

?

4

, ?ABC 的面积为 9,求边长 a 的值.

18. (本小题满分 12 分) 某中学有高一新生 500 名,分成水平相当的 A, B 两类进行教学实验,为对比教学效果,现 用分层抽样的方法从 A, B 两类学生中分别抽取了 40 人、60 人进行测试. (1)求该学校高一新生 A, B 两类学生各多少人? (2)经过测试,得到以下三个数据图表: 图一:75 分以上 A, B 两类参加测试学生成绩的茎叶图(茎、叶分别是十位和个位上的数字) (如图)

表一:100 名测试学生成绩频率分布表:

图二:100 名测试学生成绩的频率分布直方图

①在答题卡上先填写频率分布表(表一)中的六个空格,然后将频率分布直方图(图二)补 充完整; ②该学校拟定从参加考试的 79 分以上(含 79 分)的 B 类学生中随机抽取 2 人代表学校参 加市交流活动,求抽到的 2 人分数都在 80 分以上的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图 4,已知 ABCD 是边长为 2 的正方形, EA ? 平面 ABCD , FC / / EA ,设

EA ? 1, FC ? 2 .
(1)证明: EF ? BD ; (2)求多面体 ABCDEF 的体积.

20. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? x ? bx ? 2 x ? 1, b ? R .
3 2

(1)设 g ( x) ?

f ( x) ? 1 ,若函数 g ( x) 在 (0, ??) 上没有零点,求实数 b 的取值范围; x2

(2)若对 ?x ? [1, 2] ,均 ?t ? [1, 2] ,使得 et ? ln t ? 4 ? f ( x) ? 2 x ,求实数 b 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 如图 5, 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 短轴两个端点为 A, B , a b
且四边形 F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形, C , D 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点 M 满足

MD ? CD ,连接 CM ,交椭圆于点 P .
(1)求椭圆的方程; (2)证明: OM ? OP 为定值; (3)试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q ,使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP 与 MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

???? ? ??? ?

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 6, 圆周角 ?BAC 的平分线与圆交于点 D , 过点 D 的切线与弦 AC 的延长线交于点 E ,

AD 交 BC 于点 F .
(1)求证: BC / / DE ; (2)若 D, E , C , F 四点共圆,且弧 AC ? 弧 BC ,求 ?BAC .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? 1 ? 2t ? ? y ? 2t

( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴,

建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ? ?

sin ? . 1 ? sin 2 ?

(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)若点 P 是曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值,并求出此时 P 点的坐标. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 9 ? 6 x ? x ?
2

x 2 ? 8 x ? 16 .

(1)解不等式 f ( x) ? f (4) ; (2)设函数 g ( x) ? kx ? 3k (k ? R ) ,若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

数学(文科)参考答案及评分标准

1.D 解:? P ? [0, 2 ] , m ? 2.B 解:?

3 ? 2 ,故选 D.

z1 ? 2 ? i ? ? ?1 ? 2i ,故选 B. z2 i

3.C 解:? x ? 9 , y ? 4 ,? a ? 4 ? 0.7 ? 9 ? ?2.3 ,故选 C. 4.B 解:? r ? 12, m ? 18, n ? 12 ; r ? 6, m ? 12, n ? 6 ; r ? 0, m ? 6, n ? 0 ,故选 B. 5.A 解:? 2? ?

?
4

,? ? ?

?
8

,故选 A.

6.C 解:? 2a ? b ? 2, ab ? 4(0 ? a ? b) ? a ? 1, b ? 4 ,? a ? b ? 5 ,故选 C. 7.C 解: ? p 真 q 假,? p ? (?q ) 为真,故选 C. 8.D 解:? ? 3 ? a ? ?1 ,? ? ? (
2

2? 3? , ) ,故选 D. 3 4
2

9.B 解:? (? ? 3 ? 4 ? ? ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 3 ) ? 1 ? 39 ? 24? ,故选 B. 10.A 解:? f ( x) 为偶函数, x ? (??,0) ? (0,??) ;当 x ? (0, ? ) 时 f ( x) ? 0 ,故选 A.

11.A 解:?

p b2 ? c, ? p ,? e 2 ? 2e ? 1 ? 0(e ? (1,??)) ? e ? 1 ? 2 ,故选 A. 2 a

12.D 解:? f ?( x) ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( x ? x 2 )( x ? x3 ) ? ( x ? x1 )( x ? x3 )

? f ?(? ) ? ?(

x ? x3 2 x1 ? x 2 2 ) ? 0 , f ?( ? ) ? ?( 2 ) ?0 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? ,又 g ( x) 在 R 上递增 ? g (? ) ? g (? ) ? g ( ? ) ? g ( ? ) ,故选 D.
13. (3,3) 解:? 2 a ? b ? (3,3) . 14. 2n 解:? a n ? S n ? S n ?1 ? 2n(n ? 2) ,又 a1 ? 2 , ? a n ? 2n . 15.
? ?

| a ?1| 2 4 2 解:? ? 2 ? ?1 ? a ? 3 ,? P ? ? . 5 10 5 2

16.8 或 9 解: ? a1 ? a n ?| a1 | 2 ?(n ? 1) a1 ? d ? 17.解: ⑴? tan(

?

?

?

? ?

?
4

9?n ? n ? 8 或 9 时 S n 最大. ? 0 ? n ?9, 2
………..2 分 ………..6 分

? A) ? 2 ,? tan A ?

1 3

?

sin 2 A 2 tan A 2 ? ? 2 sin 2 A ? cos A 2 tan A ? 1 5

⑵? tan A ?

10 3 10 1 , A ? (0, ? ) ,? sin A ? , cos A ? 10 10 3

……….8 分

? sin C ? sin( A ? B) ? sin( A ?

?
4

)?

2 5 5

……….10 分

?S ?

1 a 2 sin B ? sin C ac sin B ? ? a2 ? 9 2 2 simA

?a ? 3

…………12 分

18.解:⑴A 类学生有 500 ? ⑵①表一: 组号 1 2 3 4 5 6

40 ;B 类学生有 500 ? 200 ? 300 (人)……3 分 ? 200 (人) 100

分组 [55,60) [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85] 合计

频数 5 20 25 35 10 5 100

频率 0.05 0.20 0.25 0.35 0.10 0.05 1.00 …………6

分 图二:

…9 分

19.解:⑴? ABCD 是正方形,? BD ? AC

? EA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,? BD ? EA ? EA 、 AC ? 平面 EACF , EA ? AC ? A ? BD ? 平面 EACF ,又? EF ? 平面 EACF
? EF ? BD
⑵ V ABCDEF ? 2V B ? ACEF ? 2 ? 20.解: ⑴? g ( x) ? x ? …………6 分

1 BD ? S ACEF ? ?4 3 2

…………12 分

2 ? b ? 2 2 ? b ( x ? 0) ,? g ( x) min ? 2 2 ? b x

? g ( x) 在 (0,??) 上没零点 ? g ( x) min ? 2 2 ? b ? 0 ? b ? ?2 2

? b ? (?2 2 ,??)
⑵? et ? ln t ? 4 ? f ( x) ? 2 x ? et ? ln t ? x 3 ? bx 2 ? 3 设 h(t ) ? et ? ln t , t ? [1,2]

…………5 分

1 ? h ?(t ) ? e ? ? 0 对 t ? [1,2] 恒成立 t
? h(t ) 在 t ? [1,2] 上单调递增 ? h(t ) ? h(1) ? e

? e ? x 3 ? bx 2 ? 3 对 x ? [1,2] 恒成立

3?e ) 对 x ? [1,2] 恒成立 x2 3?e 设 m( x) ? ?( x ? 2 ) , x ? [1,2] x 6 ? 2e ? m?( x) ? ?1 ? ? 5 ? 2e ? 0 ,? m( x) 在 x ? [1,2] 递减 x3 ? b ? ?( x ?
? m( x) ? M (1) ? e ? 4

? b ? e ? 4 ,即 b ? [e ? 4,??)
21.解:⑴? a ? 2 , b ? c ,? b ? c ? ∴椭圆方程为

…………12 分

2
…………3 分

x2 y2 ? ?1 4 2

⑵设 M (2, y 0 ) , P ( x1 , y1 ) , C (?2,0) , D (2,0)

? OP ? ( x1 , y1 ) , OM ? (2, y 0 ) ,直线 CM 的方程为 y ?

?

?

y0 ( x ? 2) 4

y ? ? y ? 0 ( x ? 2) 2 2 2 ?? ? ( y0 ? 8) x 2 ? 4 y 0 x ? 4 y0 ? 32 ? 0 ( ? ? 0 恒成立) 4 2 2 ? ? x ? 2y ? 4

? (?2) ? x1 ?
?

2 2 y 8y 4 y0 ? 32 ? 2( y 0 ? 8) , y1 ? 0 ( x1 ? 2) ? 2 0 ? x ? 1 2 2 4 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8

2 ? 2( y 0 ? 8) 8 y 0 ? OP ? ( , 2 ) 2 y0 ? 8 y0 ? 8 ? ? 2 2 ? 4( y 0 ? 8) 8 y0 ? ? 4 (为定值) 2 2 y0 ?8 y0 ?8

? OM ? OP ?

……… 8 分

⑶假设存在点 Q (m,0) (m ? ?2) 满足条件,则 MQ ? DP

? MQ ? (m ? 2,? y 0 ) , DP ? (?
? ?

?

?

2 4 y0 8y , 2 0 ) 2 y0 ? 8 y0 ? 8

2 2 4 y0 ? 8 y0 )? 2 ?0?m?0 ? MQ? DP ? 0 ? (m ? 2)(? 2 y0 ? 8 y0 ? 8

故存在 Q (0,0) 满足条件

……… 12 分

22.解:⑴? ?EDC ? ?DAC , ?DAC ? ?DAB , ?DAB ? ?DCB

? ?EDC ? ?DCB ? BC // DE
⑵? D 、 E 、 C 、 F 四点共圆,? ?CFA ? ?CED ………… 5 分

? BC // DE ,? ?ACF ? ?CED ? ?CFA ? ?ACF
设 ?DAC ? ?DAB ? x ,又 = ,? ?CBA ? ?BAC ? 2 x

? ?CFA ? ?FBA ? ?FAB ? 3x
在等腰 ?ACF 中, ? ? ?CFA ? ?ACF ? ?CAF ? 7 x ,则 x ?

?
7

2? ? ?BAC ? 2 x ? 7
23.解:⑴? ?

………… 10 分

? x ? 1 ? 2t ( t 为参数) ,? x ? y ? 1 ? y ? 2t

故直线的极坐标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ,即 ? cos(? ?

?
4

)?

2 …… 2 分 2

?? ?

sin ? sin ? ? ? cos 2 ? ? sin ? ? ( ? cos ? ) 2 ? ? sin ? ? 2 2 1 ? sin ? cos ?

? x2 ? y
故曲线 C 的普通方程为 y ? x
2

……… 5 分

2 ⑵设 P ( x 0 , x 0 ) ,则 P 到直线 l 的距离 d ?

2 | x0 ? x0 ?1|

2

1 3 ( x0 ? ) 2 ? 2 4 ? 2
……… 10 分

? d min ?

3 2 1 1 ,此时 P ( , ) 8 2 4

24.解:⑴? f ( x) ? f (4) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 |? 9

? x ? ?4 ?? 4 ? x ? 3 ? x ? 3 或? 或? ? x ? ?5 或 x ? 4 ?? ?? 2 x ? 1 ? 9 ? 7 ? 9 ?2 x ? 1 ? 9
∴不等式的解集为 (??,?5] ? [4,??) ⑵由数形结合得 k ? (?1,2] ……… 5 分 ……… 10 分



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