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北京市第四中学高中数学选修2-1:椭圆基本性质 巩固练习A



椭圆专题练习题(一)
一、选择题 1.一个椭圆的半焦距为 2,离心率 e ? A.3 B. 5 C. 2 5

2 ,那么它的短轴长是( 3



D.6 )

2.已知点(3,2)在椭圆

y2 x2 + =1 上,则( a2 b2

A.点(-3

,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断点(-3,-2)、(3,-2)、(-3,2)是否在椭圆上 3.若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 ( ) A. (0,5) B. (0,1) C.[1,5] D.[1,5)

x2 y 2 ? ? 1 总有公共点,那么 m 的取值范围是 5 m

4.已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭圆的 长轴长是 26,cos ? OFA=

5 ,则椭圆的方程是( ) 13
B.

A.

x2 y2 ? =1 169 144

y2 x2 ? =1 169 144

y2 x2 x2 y2 ? ? C. =1 或 =1 144 25 169 144
5.椭圆

x2 y2 y2 x2 ? ? D. =1 或 =1 169 144 169 144

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点 4
) C.

为 P,则 | PF2 | 为( A.

3 2

B. 3

7 2

D.4
2

6.已知椭圆 C: ( ) A.

x2 y x2 y2 + =1 与椭圆 + =1 有相同离心率,则椭圆 C 的方程可能是 4 a2 b2 8

x2 y2 + =m2(m≠0) 8 4

B.

x2 y2 + =1 16 64

-1-

C.

x2 y2 + =1 8 2

D.以上都不可能

二、填空题 7.椭圆

x2 y 2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 m=________. 2 4 m x2 y 2 ? ? 1 有公共点,则实数 a 的取值范围是________. 9 4

8.若圆 x2+y2=a2(a>0)与椭圆

9.若椭圆的两个焦点,短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为 10.已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3,最小值为 1, 则椭圆 C 的标准方程为 三、解答题 11.已知椭圆的长轴是短轴的 3 倍,且过点 A(3,0) ,并且以坐标轴为对称轴,求椭圆 的标准方程。 12.椭圆 .

y2 x2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的两焦点为 F1(0,-c),F2(0,c)(c>0),离心率 e= , 2 2 a b

焦点到椭圆上点的最短距离为 2- 3 ,求椭圆的方程.

13.若椭圆的对称轴在坐标轴上,两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点,且焦 点到同侧长轴端点距离为 2 ? 1 , (1)求椭圆的方程; (2)求椭圆的离心率 14. 已知长轴为 12, 短轴长为 6, 焦点在 x 轴上的椭圆, 过它对的左焦点 F1 作倾斜解为 的直线交椭圆于 A , B 两点,求弦 AB 的长.

? 3

x2 y2 15..设 F1、F2 为椭圆 ? ? 1 的两个焦点,P 为椭圆上的一点,已知 P、F1、F2 是一 9 4
个直角三角形的 3 个顶点,且|PF1|>|PF2|,求

| PF1 | 的值. | PF2 |

-2-

【答案与解析】 1.答案:C 2.答案: C 3.答案:D 解析: 直线 y=kx+1 过定点(0,1) , 定点在椭圆的内部或椭圆上时直线 y=kx+1 与 焦点在 x 轴上的椭圆

解析: 方程中 4 和 m 哪个大哪个就是 a2, 因此要讨论: (1)若 0<m<4 则 a2=4,b2=m, ∴c ? 4?m , ∴e ? m=3。 ( 2 ) m > 4 , 则 b2=4 , a2=m , ∴

4?m 1 ? ,得 2 2

x y ? ? 1 总有公共 5 m

2

2

c ? m?4 ,
∴e ?

点,∴

02 12 ? ? 1,得 m≥1,∴m 的取值范 5 m

围是 1≤m<5。 4.答案:D 解析:由 cos ? OFA=

m?4 1 16 ? ,得 m ? 。 3 m 2
16 。 3

综上,m=3 或 m ?

5 ,知 A 是短轴的 13

8.答案:[2,3] 解析:根据图象可得圆的半径要比椭圆 长轴短,短轴长,因此半径 a 的取值范围为 [2,3] 9.答案:

端点.∵长轴长是 26,∴|FA|=13 即 a=13.∴

c 5 = , c=5, b2=132-52=122=144. ∴椭圆的 13 13

x2 y2 y2 x2 ? ? 方程为 =1 或 =1. 169 144 169 144
5.答案:C 解 析 : ∵

1 2

解析:由题意得

c 1 ? cos600 ? a 2

| PF1 | ? | PF2 |? 4,



10,答案

| PF1 |?

b2 1 1 7 ? ,∴ | PF2 |? 4 ? ? a 2 2 2
y x + =m2 写 成 8 4
2 2

x2 y 2 ? ?1 4 3

11. 解析:若椭圆的焦点在 x 轴上, 设 椭 圆 的 标 准 方 程 为

6.答案: A 解析: 把方程

y2 x2 + =1,则 a2=8m2,b2=4m2, 2 2 8m 4m
∴c2=4m2,∴

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2
?2a ? 3 ? 2b ?a ? 3 ? 由题意得 ? 9 ,解得 ? 。 0 b ? 1 ? ? 1 ? ? ? a 2 b2
∴椭圆的标准方程为

c 2 4 1 c = = ,e= = ,而椭 2 2 a 8 2 a

2



x2 y2 2 + =1 的离心率为 . 4 8 2
7.答案:3 或

16 3

x2 ? y 2 ? 1。 9

若椭圆的焦点在 y 轴上,

-3-


2 2

















因为 a ? 6 , b ? 3 ,所以 c ? 3 3 . 又因为焦点在 x 轴上, 所以椭圆方程为

y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) . 同理可求椭圆的方 2 a b
程为

y 2 x2 ? ?1 81 9

x2 y2 ? ? 1 ,左焦点 36 9

12.解析∵椭圆的长轴的一个端点到焦 点的距离最短,∴a-c=2- 3 .

F (?3 3 , 0) ,从而直线方程为 y ? 3x ? 9 .
由直线方程与椭圆方程联立得

c 3 又 e= = ,∴a=2.故 b=1. a 2
∴椭圆的方程为

13x 2 ? 72 3x ? 36? 8 ? 0 .
设 x1 , x2 为方程两根, 所以 x1 ? x2 ? ?

y2 2 +x =1. 4

13. 解 析 : 设 椭 圆 的 方 程 为

36 ? 8 72 3 , x1 x2 ? , 13 13

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

y 2 x2 或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

k ? 3,
从 而

,由椭圆的对称性和正方形的对称性可知: 正方形被椭圆的对称轴分割成了 4 个全等直 角三角形,因此 b ? c (2c 为焦距)

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ?
. 15. 答案:

48 13

? a ? c ? 2 ? 1, ?a ? 2 ? ? 由题意得 ?b ? c 解得 ?b ? 1 ?c ? 1 ? 2 2 2 ? ?a ? b ? c

2

7 或 2. 2

解析:|PF1|+|PF2|=6,|F1F2| ? 2 5 . 若 ∠ PF2F1 为 , 直 由 角 此 , 可 则 得




2









x ? y 2 ? 1, 2



y ? x2 ? 1 . 2
c 2 ? a 2

|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2

| PF1 |?

2

(2)椭圆的离心率为 e ?

14 4 , | PF2 |? ; 3 3

2

F1PF2
2











|PF1| +|PF2| =|F1F2| , 由 此 可 得 |PF1|=4 , 14. 解析:利用直线与椭圆相交的弦长 公 式 ∴ |PF2|=2.

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2
? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] .
求解.

| PF1 | 7 | PF1 | ? ,或 ? 2, | PF2 | 2 | PF2 |

-4-



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