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2007-2016年全国卷极坐标与参数方程高考题汇编



极坐标与参数方程(全国卷高考题)
(2007)坐标系与参数方程: ? O1 和 ? O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ?4sin ? . (Ⅰ)把 ? O1 和 ? O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过 ? O1 , ? O2 交点的直线的直角坐标方程.

(2008)坐标系与参数方程:
? ?x ? x ? cos ? ? 已知曲线 C1: ? (? 为参数) ,曲线 C2: ? ? ? y ? sin ? ?y ? ? ? 2 t? 2 2 (t为参数) 2 t 2



(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1 ' , C2 ' 。写出 C1 ' ,

C2 ' 的参数方程。 C1 ' 与 C2 ' 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由。

1

(2009)

已知曲线 C1: ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) , C2: ? ( ? 为参数) . ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值.

? ? ?x=1+tcosα, ?x=cosθ (2010)坐标系与参数方程:已知直线 C1:? (t 为参数),圆 C2:? ?y=tsinα, ?y=sinθ, ? ?

(θ 为参数). π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨迹的参 数方程,并指出它是什么曲线.

2

x ? 2cos ? (2011)坐标系与参数方程:在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ?

? y ? 2 ? 2sin ?

(?

为参数) ,M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

??? ?

???? ?

?
3

与 C1 的异于极点的交点

?x=2cosφ ? (2012)已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半 ? ?y=3sinφ

轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A、 π B、C、D 以逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2,3) (Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的取值范围。

3

(2013 课标 1) 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数) , 以坐标原点为极点, ? y ? 5 ? 5sin t

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? 。
(Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 。

(2013 课标 2)已知动点 P、Q 都在曲线 C : ?

? x ? 2cos t , ( t 为参数)上,对应参数分别为 ? y ? 2sin t

, M 为 PQ 的中点。 t =? 与 t =2? ( 0 ? ? ? 2? ) (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

(2014 课标 1)已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最 小值.

4

(2014 课标 2)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? , ? ? [0, (1)求 C 得参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(1)中你得到 的参数方程,确定 D 的坐标.

?
2

].

(2015 课标 1)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,
2 2

以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程. (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 面积.

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2MN 的 4

x ?t cos α { (2015 课标 2)在直线坐标系 xOy 中,曲线 C : y ?t sin α (t 为参数,t ? 0)其中 0 ? α
1

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2: p=2 sin ? , C3: p=2 3 cos? 。 ? ? .在以 O 为极点, (I) (II) 求 C1 与 C3 交点的直角坐标; 若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

5

9.【2015 高考新课标 1,文 23】选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极
2 2

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程. (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 面积.

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的 4 1 2

【答案】 (Ⅰ) ? cos ? ? ?2 , ? 2 ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? 0 (Ⅱ) 【解析】

试题分析: (Ⅰ)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 C1 ,C2 的极坐标方 程; (Ⅱ)将将 ? =

?
4

代入 ? 2 ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? 0 即可求出|MN|,利用三角形

面积公式即可求出 ? C2 MN 的面积.

试题解析: (Ⅰ)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , ∴ C1 的 极 坐 标 方 程 为 ? cos? ? ? 2 , C2 的 极 坐 标 方 程 为

? 2 ? 2 ? cos? ? 4? sin? ? 4 ? 0.……5 分
( Ⅱ )将 ? =

?
4

2 代入 ? 2 ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? 0 , 得 ? ? 3 2 ? ? 4 ? 0 , 解 得

?1 = 2 2 , ? 2 = 2 ,|MN|= ?1 - ? 2 = 2 ,
因为 C2 的半径为 1,则 ? C2 MN 的面积

1 1 ? 2 ?1? sin 45o = . 2 2

(23)2014(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(2)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (3)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最 小值.
6

解析 (1)曲线 C 的参数方程为(θ 为参数). 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ ,3sin θ )到 l 的距离为 d=|4cos θ +3sin θ -6|, 则|PA|==|5sin(θ +α )-6|,其中 α 为锐角, 且 tan α =. 当 sin(θ +α )=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为. 当 sin(θ +α )=1 时,|PA|取得最小值,最小值为. 5.(2014 课标Ⅱ,23,10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标 方程为 ρ =2cos θ ,θ ∈. (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y=x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标. 2 2 解析 (1)C 的普通方程为(x-1) +y =1(0≤y≤1). 可得 C 的参数方程为 (t 为参数,0≤t≤π ). (2)设 D(1+cos t,sin t). 由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆. 因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同.tan t=,t=. 故 D 的直角坐标为,即.

6.(2014 辽宁,23,10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 2 2 将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 解析 (1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为 C 上点(x,y),依题意,得 2 2 由+=1 得 x +=1,即曲线 C 的方程为 x +=1. 故 C 的参数方程为(t 为参数). (2)由解得或 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为,所求直线斜率为 k=,于是所求直线方程为 y-1=, 化为极坐标方程,并整理得 2ρ cos θ -4ρ sin θ =-3,即 ρ =.
7

例 2 (2009· 辽宁)在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系. 曲 π ? 线 C 的极坐标方程为 ρcos? ?θ-3?=1,M、N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. π? (1)由 ρcos? ?θ-3?=1 得

2.解

1 3 ρ? cos θ+ sin θ?=1. 2 ?2 ? 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2 即 x+ 3y=2,当 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0). π 2 3 2 3 π? 当 θ= 时,ρ= ,所以 N? . 2 3 ? 3 ,2? (2)M 点的直角坐标为(2,0). 2 3 N 点的直角坐标为(0, ). 3 3 所以 P 点的直角坐标为?1, ?, 3? ? 2 3 π? 则 P 点的极坐标为? , ? 3 ,6? π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= ,ρ∈(-∞,+∞). 6

变式迁移 2 (2010· 东北三校第一次联考)在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ+sin θ 和直 π 2 线 l:ρsin(θ- )= , 4 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.

8

变式迁移 2 解 (1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2=x+y, 即 x2+y2-x-y=0. π 2 直线 l:ρsin(θ- )= ,即 ρsin θ-ρcos θ=1, 4 2 则直线 l 的直角坐标方程为 y-x=1, 即 x-y+1=0. 2 2 ? ? ?x +y -x-y=0, ?x=0, ? (2)由 得? ?x-y+1=0 ?y=1. ? ? π 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1, ). 2

? ?x=5cos φ, 9.(12 分)(2011· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆? (φ 为参数)的 ?y=3sin φ ? ?x=4-2t, ? 右焦点,且与直线? (t 为参数)平行的直线的普通方程. ? ?y=3-t

9.解 由题设知,椭圆的长半轴长 a=5,短半轴长 b=3,从而 c= a2-b2=4,所以 右焦点为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程:x-2y+2=0.(6 分) 1 1 故所求直线的斜率为 ,因此其方程为 y= (x-4),(8 分) 2 2 即 x-2y-4=0.(12 分)

?x=3- 22t, 10.(12 分)(2010· 福建)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 2 ?y= 5+ 2 t

(t

为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|. 10.解 方法一 (1)ρ=2 5sin θ,得 x2+y2-2 5y=0, 即 x2+(y- 5)2=5.(4 分) (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 2 2 (3- t)2+( t)2=5,即 t2-3 2t+4=0.(6 分) 2 2

?t1+t2=3 2, 由于 Δ=(3 2)2-4×4=2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根,所以? t2=4. ?t1·
9

又直线 l 过点 P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2.(12 分) 方法二 (1)同方法一. (2)因为圆 C 的圆心为点(0, 5),半径 r= 5,直线 l 的普通方程为 y=-x+3+ 5.(8 分)
2 2 ?x +?y- 5? =5, 由? 得 x2-3x+2=0. y =- x + 3 + 5 ?

?x=1, ?x=2, 解得? 或? (10 分) ?y=2+ 5 ?y=1+ 5.
不妨设 A(1,2+ 5),B(2,1+ 5),又点 P 的坐标为(3, 5), 故|PA|+|PB|= 8+ 2=3 2.(12 分) 6.【2015 高考陕西,文 23】选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 3 ? t ? 2 ? (t 为参数) 在直角坐标版权法 xOy 吕,直线 l 的参数方程为 ? ,以原点为极点, x 3 ?y ? t ? ? 2
轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? . (I)写出 ? C 的直角坐标方程; (II) P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的坐标. 【答案】(I) x ? y ? 3
2

?

?

2

? 3 ; (II) (3,0) .

【解析】 试 题 分 析 : (I) 由 ? ? 2 3 sin ? , 得 ? 2 ? 2 3? sin ? , 从 而 有 x 2 ? y 2 ? 2 3 y , 所 以

x2 ? y ? 3
(II)

?

?

2

?3
? 1 3 ? P ? 3 ? t, t? 2 2 ? ?
2







C (0, 3 )





2 ? 1 ? ? 3 ? PC ? ? 3 ? t ? ? ? t ? 3 ? ? t 2 ? 12 ,故当 t ? 0 时, PC 取得最小值,此 2 ? ? 2 ? ?

时 P 点的坐标为 (3,0) . 试题解析:(I)由 ? ? 2 3 sin ? , 得 ? 2 ? 2 3? sin ? , 从而有 x 2 ? y 2 ? 2 3 y
10

所以 x ? y ? 3
2

?

?

2

?3

(II)设 P ? 3 ?

? ?

1 3 ? t, t ? ,又 C (0, 3) , 2 2 ?
2

2 ? 1 ? ? 3 ? 则 PC ? ? 3 ? t ? ? ? t ? 3 ? ? t 2 ? 12 , 2 ? ? 2 ? ?

故当 t ? 0 时, PC 取得最小值, 此时 P 点的坐标为 (3,0) .

? ? ?x=1+tcos α, ?x=cos θ, ? ? 11. (14 分)(2010· 课标全国)已知直线 C1: (t 为参数), 圆 C2: ?y=tsin α ?y=sin θ ? ? (θ 为参数). π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 α 变化时,求 P 点轨迹 的参数方程,并指出它是什么曲线.

π 11.解 (1)当 α= 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x2+y2=1,联 3

?y= 3?x-1?, 1 3 立方程组? 2 2 解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0),( ,- ).(7 分) 2 2 ?x +y =1, (2)C1 的普通方程为 xsin α-ycos α-sin α=0. A 点坐标为(sin2α,-cos αsin α), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 1 x= sin2α, 2 (α 为参数).(9 分) 1 y=- sin αcos α 2 1 1 P 点轨迹的普通方程为(x- )2+y2= .(12 分) 4 16 1 1 故 P 点轨迹是圆心为( ,0),半径为 的圆. 4 4 (14 分)

? ? ?

11



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