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【金版教程】2014届高考数学总复习 第8章 第5讲 椭圆课件 理 新人教A版



第5讲





不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性 质. 2. 了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用.

3. 理解数形结合的思想.

1 个重要关系 x2 y2 椭圆焦点位置与 x2, 2 系数间的关系

: y 给出椭圆方程m+ n = 1 时,椭圆的焦点在 x 轴上?m>n>0;椭圆的焦点在 y 轴上 ?0<m<n.

2种必会方法

1. 定义法:根据椭圆定义,确定a2、b2的值,再结合焦点
位置,直接写出椭圆方程. 2. 待定系数法:根据椭圆焦点是在x轴还是 y 轴上,设出相 应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a、b、c的方程组, 解出a2、b2,从而写出椭圆的标准方程.

3点必记技巧 1. 椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴端点到焦

点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为a+c,最
小距离为a-c. 2. 求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次方程, 再结合c2=a2-b2,就可求得e(0<e<1). 3. 求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为

标准方程,判断的依据是:①中心是否在原点;②对称轴是否
为坐标轴.

课前自主导学

1. 椭圆的概念 在平面内到两定点F1 、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的 点 的 轨 迹 ( 或 集 合 ) 叫 ________ . 这 两 定 点 叫 做 椭 圆 的

________,两焦点间的距离叫做________.
集合P = {M||MF1| +|MF2| =2a}, |F1F2| =2c ,其中 a>0, c>0,且a,c为常数: (1)若________,则集合P为椭圆; (2)若________,则集合P为线段;

(3)若________,则集合P为空集.

(1)判断下列点的轨迹是否为椭圆(请在括号内填“是”或 “否”) ①平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之和等于2的点的轨迹 ( )

②平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之和等于4的点的轨迹
( ) ③平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之和等于6的点的轨迹 ( )

x2 y2 (2)设 P 是椭圆25+16=1 上的点, F1, 2 是椭圆的两 若 F 焦点,则△PF1F2 的周长为________.

2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方 程 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) y2 x 2 a2+b2=1(a>b>0)

图形

范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系

______≤x≤______ ______≤y≤______ 对称轴:坐标轴 -b),B2(0,b)

-b≤x≤b- a≤y≤a 对称中心:原点 a) B1(-b,0),B2(b,0)

A1(-a,0),A2(a,0) B1(0, A1(0,-a),A2(0, 长轴 A1A2 的长为____; 短轴 B1B2 的长为______ |F1F2|=______ c e=a∈______ c2=______

(1)若方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的椭圆,则A与B具

有什么关系?
(2)椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系?

x2 y 2 (1)已知椭圆 2 +m=1 的焦点在 y 轴上, 若椭圆的离心率 2 为 2 ,则 m 的值为________. x 2 y2 (2)椭圆m+ 4 =1 的焦距等于 2,则 m 的值为________.

1. 椭圆 焦点 焦距 a>c a=c a<c
判一判:①否 ②否 填一填:16 2.-a a -b b 2a 2b 2c (0,1) a2-b2 想一想:(1)提示:A>B且A>0,B>0. ③是

c (2)提示:离心率 e=a越接近 1,a 与 c 就越接近,从而 b= a2-c2就越小,椭圆就越扁平;同理离心率越接近 0, 椭圆就越接近于圆. 填一填:(1)4 (2)3 或 5

核心要点研究

例 1 [2011· 课标高考]在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 2 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________.
[审题视点] 先由△ABF2的周长确定a的值,根据离心率求

得c,进一步确定b值,写出椭圆方程.

x2 y2 [解析] 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),因为 AB 过 F1 且 A、 在椭圆上, B 如图, 则△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2| c =|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16, ∴a=4.又离心率 e=a 2 =2, ∴c=2 2,∴b2=a2-c2=8. x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为16+ 8 =1. x2 y2 [答案] 16+ 8 =1

求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定

形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建
立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有 两解.有时为了解题方便,也可把椭圆方程设成mx2 +ny2 = 1(m>0,n>0,m≠n)的形式.

[变式探究]

[2012·上海高考]对于常数m、n,“mn>0”是 )

“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的(

A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

答案:B 解析:条件是“mn>0”,结论是“方程mx2+ny2=1的曲线

是椭圆”,方程mx2 +ny2 =1的曲线是椭圆,可以得出mn>0,
且m>0,n>0,m≠n,而由条件“mn>0”推不出“方程mx2+ny2 =1的曲线是椭圆”.所以为必要不充分条件,选B.

x2 y2 例 2 [2012· 江西高考]椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、 右顶 点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|, |F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为______.
[审题视点] a、c的关系. 利用|AF1||F1B|=|F1F2|2的关系为突破口,寻找

[解析] 因为 A,B 为左、右顶点,F1,F2 为左、右焦 点, 所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c. 又因为|AF1|,|F1F2|,|BF1|成等比数列, 所以(a-c)(a+c)=4c2,即 a2=5c2. 5 c 所以离心率 e=a= 5 .

[答案]

5 5

x2 y2 奇思妙想:若椭圆a2+b2=1 的长轴的长度、短轴的长 度和焦距成等差数列,则椭圆的离心率为多少.
解:由题意得 a+c=2b, ∴(a+c)2=4(a2-c2). ∴3a2-2ac-5c2=0. ∴(3a-5c)(a+c)=0. c 3 ∴3a-5c=0,∴e=a=5.

x2 1. 椭圆的几何性质常涉及一些不等关系,例如对椭圆a2 y2 +b2=1,有-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1 等,在求与椭圆有 关的一些量的范围,或者求这些量的最大值或最小值时,经 常用到这些不等关系. 2. 求椭圆离心率问题, 应先将 e 用有关的一些量表示出 来,再利用其中的一些关系构造出关于 e 的等式或不等式, c2 从而求出 e 的值或范围.离心率 e 与 a、b 的关系:e2=a2= a2-b2 b2 b 2 2 =1- 2? = 1-e . a a a

[变式探究]

x2 y 2 [2012· 河南驻马店模拟]设椭圆 a2 + b2 =

1 1(a>b>0)的离心率为 e=2,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx -c=0 的两个实数根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)( A. 必在圆 x2+y2=2 上 C. 必在圆 x2+y2=2 内 B. 必在圆 x2+y2=2 外 D. 以上三种情形都有可能 )

答案:C
1 c 解析:由 e=2=a得 a=2c,b= 3c, 3 1 b c 所以 x1+x2=-a=- 2 ,x1x2=-a=-2,
2 所 以 点 P(x1 , x2) 到 圆 心 (0,0) 的 距 离 为 x1+x2 = 2

?x1+x2? -2x1x2=
2

3 4+1=

7 < 2, 所以点 P 在圆 x2+y2 4

=2 内.

例 3
? P? ? ?

x2 y2 [2012· 天津高考]已知椭圆a2 + b2 =1(a>b>0),点

5 2 ? ? a, 2 a?在椭圆上. 5 ? (1)求椭圆的离心率; (2)设 A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点,若点 Q 在椭

圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线 OQ 的斜率的值.

[审题视点]

(1)将椭圆上的点代入得到基本量关系,再求

出椭圆的离心率.(2)设出直线方程,通过解方程组求得交点的 坐标,再根据线段的长度相等求出直线的斜率.
[解] (1)因为点 b2 5 可得a2=8. a2-b2 b2 3 6 2 于是 e = a2 =1-a2=8,所以椭圆的离心率 e= 4 .
? P? ? ?

a2 a2 5 2 ? ? 故 a, 2 a?在椭圆上, 5a2+2b2=1, 5 ?

(2)设直线 OQ 的斜率为 k,则其方程为 y=kx,设点 Q 的坐标为(x0,y0). ?y0=kx0, ? 2 2 由条件得? x0 y0 消去 y0 并整理,得 ?a2+b2=1, ? a2b2 x2 = 2 2 .① 0 k a +b2 由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及 y0=kx0,得(x0+a)2+k2x2=a2. 0 整理得(1+k2)x2+2ax0=0,而 x0≠0, 0

-2a a2 故 x0 = ,代入①,整理得(1+k2)2=4k2·2+4. b 1+k2 a2 8 32 2 2 2 由(1)知b2=5,故(1+k ) = 5 k +4,即 5k4-22k2-15 =0,可得 k2=5. 所以直线 OQ 的斜率 k=± 5.

1. 直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次方程,然 后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离.

2. 消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐
标或纵坐标,通常是写成两根之和与两根之积的形式,这是 进一步解题的基础.

[变式探究]

x2 y 2 [2012· 北京高考]已知椭圆 C: a2 + b2 =

2 1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 2 .直线 y=k(x-1) 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; 10 (2)当△AMN 的面积为 3 时,求 k 的值.

?a=2, ? ?c 2 解:(1)由题意得? = , ?a 2 ?a2=b2+c2, ? 解得 b= 2. x2 y 2 所以椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1.

?y=k?x-1?, ? 2 2 (2)由?x y 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. ? 4 + 2 =1, ? 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1), 2k2-4 4k2 x1+x2= 2,x1x2= 2. 1+2k 1+2k 所以|MN|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 2 ?1+k2??4+6k2? = . 1+2k2

|k| 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= 2, 1+k 所以△AMN 的面积为 |k| 4+6k2 1 S=2|MN|· d= 2 . 1+2k |k| 4+6k2 10 由 = 3 ,解得 k=± 1. 1+2k2

课课精彩无限

【选题·热考秀】 [2012·重庆高考]如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴 上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的

中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程; (2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点, 使PB2⊥QB2,求直线l的方程.

[规范解答]

x2 (1)如图所示,设所求椭圆的标准方程为a2

y2 +b2=1(a>b>0),右焦点为 F2(c,0). 因△AB1B2 是直角三角形, 又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2 为直角,因此|OA|=|OB2|,得 c b=2,结合 c2=a2-b2 得 4b2=a2-b2,故 a2=5b2,c2=4b2, c 2 所以离心率 e=a=5 5.

1 在 Rt△AB1B2 中,OA⊥B1B2,故 S△AB1B2=2· 1B2|· |B |OA| c =|OB2|· |OA|=2· 2. b=b 由题设条件 S△AB1B2=4 得 b2=4,从而 a2=5b2=20. x2 y2 因此所求椭圆的标准方程为20+ 4 =1.

(2)由(1)知 B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线 l 的倾斜角 不为 0, 故可设直线 l 的方程为 x=my-2.代入椭圆方程得(m2 +5)y2-4my-16=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1,y2 是上面方程的两根, 4m 16 因此 y1+y2= 2 ,y1·2=- 2 y . m +5 m +5 → → 又B2P=(x1-2,y1),B2Q=(x2-2,y2),

→ → 所以B2P · 2Q =(x1 -2)(x2 -2)+y1y2 =(my1 -4)(my2 -4) B 16?m2+1? 16m2 +y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=- - 2 m2+5 m +5 16m2-64 +16=- 2 . m +5 → B → 由 PB2⊥QB2,得B2P· 2Q=0,即 16m2-64=0,解得 m =± 2. 所以满足条件的直线有两条, 其方程分别为 x+2y+2= 0 和 x-2y+2=0.

【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 (1)由直角△AB1B2 的面积求出b、c的关系,进一步确定椭

圆的离心率和标准方程.(2)设出直线方程,联立直线方程和椭
圆方程进行消元,结合韦达定理设而不求,由PB2⊥QB2可以求 出直线方程.

No.2

角度关键词:模板构建

第1步:由△AB1B2是面积为4的直角三角形,可得b、c两个 量的等式关系.

第2步:结合a2-b2=c2,求出椭圆的离心率和标准方程.
第3步:设出直线方程,注意斜率是否存在. 第4步:联立方程,写出根与系数的关系. 第5步:建立关于所求问题的目标函数. 第6步:求出参数m的值,写出直线方程.

第7步:反思回顾,查看关键点、易错点及解题规范.第 (1)问中求椭圆离心率和方程的关键是寻求a、b、c的等式关

系.第(2)问中巧妙设直线方程为x=my-2,避免了讨论斜率不
存在的情况.

经典演练提能

x2 y2 1. 已知椭圆 + =1,长轴在 y 轴上,若焦距 10-m m-2 为 4,则 m 等于( A. 4 C. 7 ) B. 5 D. 8

答案:D 解析:椭圆焦点在y轴上,∴a2 =m-2,b2=10-m.又∵c

=2,∴m-2-(10-m)=22=4.∴m=8.

x2 y2 2. [2013· 金华联考]方程为a2+b2=1(a>b>0)的椭圆的左 顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,D 是它短轴上的一个 → → → 端点,若 3DF1=DA+2DF2,则该椭圆的离心率为( 1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 1 D. 5 )

答案:D
→ 解析:设点 D(0,b),则DF1=(-c,-b), → → DA=(-a,-b),DF2=(c,-b), → → → 由 3DF1=DA+2DF2,得 -3c=-a+2c, 1 即 a=5c,故 e=5.

x2 y2 3. [2012· 四川高考]椭圆 4 + 3 =1 的左焦点为 F,直线 x =m 与椭圆相交于点 A,B.当△FAB 的周长最大时,△FAB 的面积是________.
答案:3

解析:设椭圆的右焦点为 F1,则|AF|=2a-|AF1|=4-|AF1|.

∴△AFB 的周长为 2|AF|+2|AH|=2(4-|AF1|+|AH|). ∵△AF1H 为直角三角形, ∴|AF1|>|AH|,仅当 F1 与 H 重合时,|AF1|=|AH|. 1 ∴当 m=1 时,△AFB 的周长最大,此时 S△FAB=2×2×|AB|=3.

x2 y2 4. [2012· 九江模考]已知点 F1,F2 分别是椭圆 + k+2 k+1 =1(k>-1)的左、右焦点,弦 AB 过点 F1,若△ABF2 的周长 为 8,则椭圆的离心率为________.

1 答案:2
解析:由椭圆定义有 4a=8?a=2,所以 k+2=a2=4 c 1 ?k=2,从而 b =k+1=3,c =a -b =1,所以 e=a=2.
2 2 2 2

5. [2013· 绵阳模拟]在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: x2 y2 25+ 9 =1 的左、右焦点分别是 F1、F2,P 为椭圆 C 上的一 点,且 PF1⊥PF2,则△PF1F2 的面积为________.
答案:9

解析:∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2. 由椭圆方程知 a=5,b=3,∴c=4.
?|PF1|2+|PF2|2=4c2=64, ? ∴? ?|PF1|+|PF2|=2a=10, ?

解得|PF1||PF2|=18. 1 1 ∴△PF1F2 的面积为2|PF1||PF2|=2×18=9.



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