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导数及应用高考题及解析[1]



1.(2008 山东文 21 题)设函数 f ( x) ? x2e x?1 ? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值 点. (Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)设 g ( x ) ?

2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3

>
2.(2008 山东理 21)已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), 其中 n∈N*,a 为常数. (1 ? x)n

(Ⅰ)当 n=2 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a=1 时,证明:对任意的正整数 n, 当 x≥2 时,有 f(x)≤x-1. 3.(2009 山东文 21 题)已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(1) 当 a, b 满足什么条件时, f (x) 取得极值? (2) 已知 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围. 4.(2010 山东文 10 题)观察 ( x2 )' ? 2 x , ( x 4 )' ? 4 x 2 , (cos x) ' ? ? sin x ,由归纳推理可得:若 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x)为f ( x) 的导函数,则 g (? x) = (A) f ( x ) (B) ? f ( x) (C) g ( x) (D) ? g ( x)

5. (2010 山东文 21 题)已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ?

1? a ? 1(a ? R). x

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求曲线 ? f ( x)在点( ,f (2))处的切线方程; y 2 (Ⅱ)当 a≤

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

6. (2011 山东理 16 题) 已知函数 f ( x) ? loga x ? x ? b (a ? 0 , 且a ? 1) , 当 2 ? a ? 3 ? b ? 4 时,函数 f ( x ) 的零点 x0 ? (n , n ? 1) , n ? N * ,则 n ? __________. 7. (2011 山东理 21 题)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器 的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为

80? 立方米,且 l ? 2r . 3

假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形 部分每平方米建造费用为 c (c ? 3) 千元.设该容器的建造费用为 y 千元。 (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小值时的 r .

1

8.(2011 山东文 4 题) 曲线 y ? x ? 11在点 P(1,12) 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是
3

(A)

-9

(B) -3

(C) 9

(D) 15 )

9. (2008 全国文卷一 4 题)曲线 y ? x3 ? 2x ? 4 在点 (1 3) 处的切线的倾斜角为( , A.30° B.45° C.60° D.120°

10.(2008 全国文卷一 21 题)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? 11.(2009 全国文卷二 21 题)设函数 f ( x) ? (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

? 2 ? 3

1? 3?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a ? 1 3

12.(2009 全国理卷一 9 题)已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为(

)

(A)1

(B)2

(C) -1
3 2

(D)-2

13. ( 2009 全 国 理 卷 一 22 题 ) 设 函 数 f ? x ? ? x ? 3bx ? 3cx 在 两 个 极 值 点 x1、x2 , 且

x1 ?[?1 0], x2 ?[1, 2]. ,
(I)求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点 ? b, c ? 的区域; (II)证明: ?10 ? f ? x2 ? ? ?

1 2 x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
C. x ? 4 y ? 5 ? 0
2

14.(2009 全国理卷二 4 题)曲线 y ? A. x ? y ? 2 ? 0

B. x ? y ? 2 ? 0

D. x ? 4 y ? 5 ? 0

15.(2009 全国理卷二 22 题)设函数 f ? x ? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2 (I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2 In2 4

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

16.(2010 全国文卷一 21)已知函数 f ( x) ? 3ax ? 2(3a ? 1) x ? 4 x
4 2

2

(I)当 a ?

1 时,求 f ( x ) 的极值; 6

(II)若 f ( x ) 在 ? ?1,1? 上是增函数,求 a 的取值范围。 17.(2010 全国文卷二 7 题) 若曲线 y ? x2 ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程式 x ? y ? 1 ? 0 , 则 (A) a ? 1, b ? 1 (C) a ? 1, b ? ?1 (B) a ? ?1, b ? 1 (D) a ? ?1, b ? ?1

18.(2010 全国文卷二 21 题) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 (Ⅰ)设 a ? 2 ,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设 f ( x ) 在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围. 19.(2010 全国理卷一 20 题)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ? x2 ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 . 20.(2010 全国理卷二 22 题) 设函数 f ? x ? ? 1 ? e .
?x

(Ⅰ)证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x ; x ?1

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1
3 2

21.(2011 全国文卷一 21 题) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? (3 ? 6a) x+12a ? 4 ? a ? R ? (Ⅰ)证明:曲线 y ? f ( x)在x ? 0处的切线过点(2,2);

(Ⅱ)若 f ( x)在x ? x0处取得最小值,x0 ? 求 (1,3), a 的取值范围.
22.(2011 全国理卷二 8 题) 曲线 y ? e 成的三角形的面积为 (A)
?2 x

? 1 在点(0,2)处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围
2 3

1 3

(B)

1 2

(C)

(D) 1

23. (2011 全国理卷二 22 题) (Ⅰ) 设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

2x , 证明: x>0 时, f ( x)>0 ; 当 x?2

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取 20

3

次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证明: p<(

9 19 1 ) < 2 10 e

23

1.解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ex?1 (2 x ? x2 ) ? 3ax2 ? 2bx

? xex?1 ( x ? 2) ? x(3ax ? 2b) ,
又 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f ?(?2) ? f ?(1) ? 0 ,

因此 ?

??6a ? 2b ? 0, ?3 ? 3a ? 2b ? 0,

1 3 1 (Ⅱ)因为 a ? ? , b ? ?1 , 3
解方程组得 a ? ? , b ? ?1 . 所以 f ?( x) ? x( x ? 2)(e x?1 ?1) , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2 , x2 ? 0 , x3 ? 1 .

? 1) 因为当 x ? (??, 2) ?(0, 时, f ?( x) ? 0 ; 0) , 当 x ? (?2, ? (1 ? ?) 时, f ?( x) ? 0 . 0) , 所以 f ( x ) 在 (?2, 和 (1 ? ?) 上是单调递增的; ? 1) 在 (??, 2) 和 (0, 上是单调递减的.
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x e 故 f ( x) ? g ( x) ? x e 令 h( x) ? e
x ?1 2 x ?1
2 x ?1

1 ? x3 ? x 2 , 3

? x3 ? x2 (e x?1 ? x) ,

? x,

则 h?( x) ? e

x ?1

?1 .

令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 因为 x ? ? ??, 时, h?( x) ≤ 0 , 1?
4

所以 h( x) 在 x ? ? ??, 上单调递减. 1? 故 x ? ? ??, 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 ; 1? 因为 x??1 ? ?? 时, h?( x) ≥ 0 , , 所以 h( x) 在 x??1 ? ?? 上单调递增. , 故 x??1 ? ?? 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 . , 所以对任意 x ? (??, ?) ,恒有 h( x) ≥ 0 ,又 x ? 因此 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,
2

≥0,

? 故对任意 x ? (??, ?) ,恒有 f ( x) ≥ g ( x) .
2. 解:由已知得函数 f(x)的定义域为{x|x>1}, 当 n=2 时, f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), (1 ? x)2

所以

f ?( x) ?

2 ? a(1 ? x)2 . (1 ? x)3

(1)当 a>0 时,由 f ?( x) ? 0 得

x1 ? 1 ?

2 2 >1, x2 ? 1 ? <1, a a ?a( x ? x1 )( x ? x2 ) . (1 ? x)3

此时 f ?( x) ?

当 x∈(1,x1)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减; 当 x∈(x1+∞)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增. (2)当 a≤0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,所以 f(x)无极值. 综上所述,n=2 时, 当 a>0 时,f(x)在 x ? 1 ? 当 a≤0 时,f(x)无极值. (Ⅱ)证法一:因为 a=1,所以 f ( x) ?

2 2 a 2 处取得极小值,极小值为 f (1 ? ) ? (1 ? ln ). a a 2 a

1 ? ln( x ? 1). (1 ? x)n

5

当 n 为偶数时, 令 g ( x) ? x ? 1 ?

1 ? ln( x ? 1), (1 ? x) n

则 g ?( x) ? 1 ?

n 1 x?2 n ? ? ? ? 0,( x ? 2) . n ?1 x ? 1 x ? 1 ( x ? 1)n?1 ( x ? 1)

所以当 x∈[2,+∞]时,g(x)单调递增, 又 g(2)=0 因此 g ( x) ? x ? 1 ?

1 ? ln( x ? 1) ≥g(2)=0 恒成立, ( x ? 1)n

所以 f(x)≤x-1 成立. 当 n 为奇数时, 要证 f ( x ) ≤x-1,由于 令

1 <0,所以只需证 ln(x-1) ≤x-1, (1 ? x) n

h(x)=x-1-ln(x-1),

则 h?( x) ? 1 ? 所以

1 x?2 ? ≥0(x≥2), x ?1 x ?1

当 x∈[2,+∞]时, h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) 单调递增,又 h(2)=1>0,

所以当 x≥2 时,恒有 h(x) >0,即 ln(x-1)<x-1 命题成立. 综上所述,结论成立. 证法二:当 a=1 时, f ( x) ?

1 ? ln( x ?1). (1 ? x) n 1 ≤1, (1 ? x) n

当 x≥2,时,对任意的正整数 n,恒有 故只需证明 1+ln(x-1) ≤x-1.

令 h( x) ? x ?1 ? (1 ? ln( x ?1)) ? x ? 2 ? ln( x ?1), x ??2, ??? 则 h?( x) ? 1 ?

1 x?2 ? , x ?1 x ?1

当 x≥2 时, h?( x) ≥0,故 h(x)在 ?2,??? 上单调递增, 因此 故 当 x≥2 时,h(x)≥h(2)=0,即 1+ln(x-1) ≤x-1 成立. 当 x≥2 时,有

1 ? ln( x ? 1) ≤x-1. (1 ? x) n

即 f(x)≤x-1.
2 3. 解: (1)由已知得 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,
2

6

f (x) 要取得极值,方程 ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,
所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 2

此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为
2

x1 ?

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a ?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a , x2 ? , ? ? 2a a 2a a

所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 增函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.

当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) - 减函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a, b 满足 b ? a 时, f (x) 取得极值.
2

2 (2)要使 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? ) max 2 2x 2 2x 1 a( x 2 ? ) ax 1 a 1 a , ? 设 g ( x) ? ? , g '( x) ? ? ? 2 ? 2 2 2x 2 2x 2x
即b ? ? 令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 1 或x?? (舍去), a a

当 a ? 1 时, 0 ?

1 ax 1 1 ? 1 ,当 x ? (0, ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; a 2 2x a

7

当 x?(

ax 1 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a

所以当 x ?

1 1 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( )?? a. a a

所以 b ? ? a 当 0 ? a ? 1 时,

ax 1 1 在区间 (0,1] ? 1 ,此时 g '( x ) ? 0 在区间 (0,1]恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 2 2x a

上单调递增,当 x ? 1 时 g ( x) 最大,最大值为 g (1) ? ? 综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ; 4.D 5. 解: (Ⅰ) 当 a ? ?1 时,f ( x) ? ln x ? x ?

a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2 a ?1 当 0 ? a ? 1 时, b ? ? 2
2 ? 1, x ? (0,?? ), x

所以

x2 ? x ? 2 , x ? ( 0?? ) , f ' ( x) ? x2

? , 因此, f(2) 1
即 曲线 y ? f ( x)在点( ,f (2))处的切线斜率为, 2 1. 又

f (2) ? ln 2 ? 2,

所以曲线

y ? f ( x)在点(2,f (2))处的切线方程为 ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2, y

即x ? y ? ln 2 ? 0.
(Ⅱ)因为

f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1, x

所以

f ' ( x) ?

1 a ?1 ax2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ?? x x x2

x ? (0,??) ,



g ( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),

(1)当 a ? 0时, h( x) ? ? x ? 1, x ? (0, ??) 所以,当 x ? (0,1)时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减;

8

当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0,函数f(x)单调递 (2)当 a ? 0时,由f?(x)=0
2 即 ax ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ?1 a

①当 a ?

1 时, x1 ? x2 , h( x) ? 0 恒成立, 2

此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减; ②当 0 ? a ?

1 1 时, ? 1 ? 1 ? 0 2 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递减;
x ? (1, 1 ? 1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递增; a

1 x ? ( ? 1, ??)时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; a 1 ③当 a ? 0 时,由于 ? 1 ? 0 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增。
综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在(0,1)上单调递减; 函数 f ( x ) 在(1,+∞)上单调递增;

1 时,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减; 2 1 当 0 ? a ? 时,函数 f ( x ) 在(0,1)上单调递减; 2 1 函数 f ( x ) 在 (1, ? 1) 上单调递增; a 1 函数 f ( x)在( ? 1, ??) 上单调递减, a
当a ? 6. 2【解析】 2 < a < 3 , loga <1 = loga < loga , b - 2 >1 = loga , 3 < b < 4, b - 3 <1 = loga a
x ∴ g ( x) = loga - (b - x) 的零点在(2,3)上,∴n=2. 2 a 3 a

7. (1)设容器的容积为 V , 由题意知 V ? ? r l ?
2

4 3 80? ? r ,又 V ? , 3 3

9

4 V ? ? r3 80 4 4 20 3 故 l? ? 2 ? r ? ( 2 ? r) 2 ?r 3r 3 3 r 由于 l ? 2r , 因此 0 ? r ? 2
所以建造费用 y ? 2? rl ? 3 ? 4? r c ? 2? r ?
2

160? , 0?r?2 r 160? 8? (c ? 2) 3 20 ? (r ? ), 0? r ? 2 (2)由(1)得, y ' ? 8? ( c ? 2) r ? 2 2 r r c?2 由于 c ? 3 ,所以 c ? 2 ? 0 ,
因此 y ? 4? ( c ? 2) r ?
2

4 20 ( 2 ? r ) ? 3 ? 4? r 2c 3 r

当 r ?
3

20 20 ? 0 时, r ? 3 c?2 c?2

令 r?

3

20 ? m ,则 m ? 0 c?2

8? (c ? 2) ( r ? m) ( r 2 ? rm ? m 2 ) 2 r 9 ① 当 0 ? m ? 2 即 c ? 时, 2
所以 y ' ? 当 r ? m 时, y ' ? 0 当 r ? (0, m) 时, y ' ? 0 当 r ? (m,2) 时, y ' ? 0

r ? m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 9 ② 当m ? 2 即3? c ? 时 2
所以 当 r ? (0, 2) 时, y ' ? 0 ,函数单调递减, 所以, r ? 2 是函数 y 的最小值点. 综上所述,当 3 ? c ? 当c ? 8.C

9 时,建造费用最小时 r ? 2 2

9 20 时,建造费用最小时 r ? 3 。 2 c?2

, 9. B 解析: y ? 3x ? 2, k ? y |x?1 ? 1, ? 曲线 y ? x ? 2x ? 4 在点 (1 3) 处的切线的倾斜角
/ 2 /
3

? ? 450 ,选择 B;
10

10. 解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 当a
2

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增; ? 3 ,由 f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
? ? ?

当a

2

?a ? a 2 ? 3 3

即 f ( x ) 在 ? ??,

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? 递增, ? ? 递减, ? ? ? 3 3 3 ? ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? 递增; ? ? ? ? 3 ? ?
(2) (法一) ∵函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 内是减函数,? ? ?

? 2 ? 3

1? 3?

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? , ? 递减, ? 3 3 ? ?

? ?a ? ? ? ∴ ? ? ?a ? ? ?

a2 ? 3 2 ≤? 3 3 a ?3 1 ≥? 3 3
2

,且 a

2

? 3 ,解得: a ≥ 2 。

2 1 (法二)只需3x 2 +2ax+1 ? 0在区间(- ,- )恒成立即可。 3 3 2 令g(x)=3x +2ax+1,∴只需: 2 4 2 ? 7 ? ?g(- 3 ) ? 3 ? 9 -2a ? 3 +1 ? 0 ? ?a ? ∴? 4 ∴a ? 2 ? ?g(- 1 )=3 ? 1 -2a ? 1 +1 ? 0 ?a ? 2 ? ? 3 9 3 ? ∴a的取值范围为[2,+?)
11. 解: (错误!未找到引用源。 f ?( x) ? x ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a) )
2
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (??,2) 是增函数; 当 2 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (2,2a) 是减函数; 当 x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (2a,??) 是增函数。 综上,当 a ? 1 时, f (x ) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是 减函数。 (错误!未找到引用源。 )由(错误!未找到引用源。 )知,当 x ? 0 时, f (x ) 在 x ? 2a 或

x ? 0 处取得最小值。
11

1 f (2a) ? (2a) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a 3 4 ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3
f (0) ? 24a
由假设知
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

?a ? 1 ? ? f ( 2a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ?24a ? 0. ?

解得 1<a<6

故 a 的取值范围是(1,6)
12. 解:设切点 P( x0 , y0 ) ,则 y0

? x0 ? 1, y0 ? ln( x0 ? a) ,又? y ' |x ? x0 ?

1 ?1 x0 ? a

? x0 ? a ? 1? y0 ? 0, x 0 ? ?1?a ? 2 .故答案选 B
13.解: f ? ? x ? ? 3x ? 6bx ? 3c 由题意知方程 f ? ? x ? ? 0 有两个根 x1、x2
2

且x1 ?[?1 0], x2 ?[1, 2]. 则有 f ? ? ?1? ? 0, ,

f ? ? 0? ? 0, ? ?1? ? 0,f ? ? 2? ? 0 故有 f
?2b ? c ? 1 ? 0 ?c ? 0 ? ? ?2b ? c ? 1 ? 0 ?4b ? c ? 4 ? 0 ?
右图中阴影部分即是满足这些条件的点 ? b, c ? 的区 域。 (II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因 是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元 的手段, 消去目标 f ? x2 ? ? x2 ? 3bx2 ? 3cx2 中的 b ,
3 2

(如果消 c 会较繁琐)再利用 x2 的范围,并借助(I) 中的约束条件得 c ? [?2,0] 进而求解,有较强的技巧性。 解: 由题意有 f ? ? x2 ? ? 3x2 ? 6bx2 ? 3c ? 0 ...... ......①
2

12

又 f ? x2 ? ? x23 ? 3bx22 ? 3cx2 ...........② .......... 消去 b 可得 f ? x2 ? ? ?

1 3 3c x2 ? x2 . 2 2
??1 0? f x2 ? ? ( ) 1 2

又? x2 ?[1, 2] ,且 c ? [?2,0] 14.B 解: y ? |x ?1 ?

2x ?1 ? 2x 1 |x?1 ? [? ] |x?1 ? ?1 , (2 x ? 1) 2 (2 x ? 1) 2
故选 B.

故切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0

15.解: (I) f ? ? x ? ? 2 x ?
2

a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) 1? x 1? x
1 。由题意知 x1、x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个均 2

令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ,其对称轴为 x ? ? 大于 ?1 的不相等的实根,其充要条件为 ?

?? ? 4 ? 8a ? 0