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空间直角坐标系



4. 3.1 空间直角坐标系

数轴上的点
B
-2 -1 A

O

1

2

3

x

数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示

平面坐标系中的点
y

y

/>
P (x,y) 平面中的点可以用 有序实数对(x,y) 来表示点

O

x

x

思考:
? 空间中的点如何表示呢?

在教室里同学们的位置坐标
O
讲台

y

x

教室里某位同学的头所在的位置
z

y O

x

空间直角坐标系 —Oxyz
z
1

竖轴

纵轴
o
1

1

y

x

右手直角坐标系

横轴

探究:
? 在空间,给出一点如何去确定它的坐标? ? 给出一个点的坐标如何求确定点的位置?

空间中点的坐标
?? 有序数组 ( x , y , z ) 空间的点 ??
1? ?1

z
R

M ( x, y, z )

o x
P

Q

y

注: (1)在平面上画空间画空间直角坐标系,一般地, 角xoy画为135。角xoz画为135。角yoz画为90。 (2)y轴、z轴上的都取原来的长度,而x轴上的 长度则取原来的一半。

例2、如图,在长方体 OABC ? D?A?B?C ?中, OA ? 3, OC ? 4, OD? ? 2,写出D?,C,A?,B?四点的坐标。

z
2 D '(0, 0, 2)

C'
B'
? (3, 4, 2)

A'

4

y

o
3

C (0, 4, 0)
B (3, 4, 0)

x A (3, 0, 0)

特殊位置的点的坐标
? ? ? ? ? ? ? 原点(0,0,0) X轴上的点(x,0,0) Y轴上的点(0,y,0) Z轴上的点(0,0,z) Xoy平面上的点(x,y,0) Yoz平面上的点(0,y,z) Xoz平面上的点(x,0,z)

练习3:
? 在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关 (-1,2,-3) 于y轴的对称点是_________ ? 在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关 (1,-2,-3) 于x轴的对称点是_________ ? 在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关 (-1,-2,3) 于z轴的对称点是________

对称点
横坐标相反, 纵坐标不变。

y

P2 (-x0 ,y0) - x0

y0

P (x0,y0) x0 x

O

P3 (-x0 , -y0) -y0
横坐标相反, 纵坐标相反。

P1 (x0 , -y0)
横坐标不变, 纵坐标相反。

对称点
? ? ? ? 一般的P(x , y , z) 关于: ( x, ? y, ? z ) (1)x轴对称的点P1为__________; (? x, y, ? z ) (2)y轴对称的点P2为__________; (? x, ? y, z ) (3)z轴对称的点P3为__________;

关于谁对称谁不变

关于坐标平面对称
? ? ? ? 一般的P(x , y , z) 关于: (x,y,-z) (1)xoy平面对称的点P1为__________; ( -x,y, z) (2)yoz平面对称的点P2为 __________; (x, -y, z) (3)xoz平面对称的点P3为__________;

关于谁对称谁不变

4.3.2 空间两点间的距离公式

两点间距离公式
平面: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) 1 2 |?
2 2

类比

猜想

空间: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 ) 1 2 |?
2 2

2

例1
? (1)设在空间直角坐标系中点 P的坐标是(x,y,z), 求点P到坐标原点O的距离. ? 探究:x2+y2+z2=r2表示的是什么图形? ? (2)设点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2) 是空间中任意两 点,求P1到P2的距离.

2 2 2 空间: | PP | ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) 1 2 1 2 1 2 1 2

例 2 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 .

解 M1 M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? (2 ? 1)2 ? 14,

2

M 2 M 3 ? (5 ? 7)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 2)2 ? 6, M 3 M1 ?
2

2

(4 ? 5)2 ? (3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,
原结论成立.

? M 2 M 3 ? M 3 M1 ,

例3

设 P 在 x 轴上,它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为

到点 P2 ( 0,1,?1) 的距离的两倍,求点 P 的坐标 .

解 因为 P 在x 轴上, 设P点坐标为 ( x ,0,0),

PP1 ? x 2 ? ? 2 ?2 ? 32 ? x 2 ? 11,
2 2 ? ? PP2 ? x ? ? 1 ? 1 ? 2

x 2 ? 2,

? PP1 ? 2 PP2 , ? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2
? x ? ?1,
所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).



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