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2、2-2-1综合法与分析法


2.2.1 综合法与分析法
一、选择题 1.设 α,β,γ 为平面,a,b 为直线,给出下列条件: ①a?α,b?β,a∥β,b∥α;②α∥γ,β∥γ;③α⊥γ,β⊥γ;④a⊥α,b⊥β,a∥b. 其中能使 α∥β 一定成立的条件是( A.①② [答案] C [解析] ①若 α∩β=l, a∥l, b∥l 亦满足, ③α 可与 β 相交, ④ 故选 C. 1 1 2.已知 x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则 + 的最小值是( x 3y A.2 [答案] C [解析] 依题意得 lg(2x· 8y)=lg2,即 2x x 3y 3y)=2+ + ≥2+2 3y x 选 C. 3.设 a,b∈R,且 a≠b,a+b=2,则必有( a2+b2 A.1≤ab≤ 2 a2+b2 C.ab< <1 2 [答案] B [解析] ab<? a+b?2 a2+b2 ? 2 ? < 2 (a≠b). ) a2+b2 B.ab<1< 2 a2+b2 D. <1<ab 2 )
+3y

) D.③④

B.②③

C.②④

? ? a∥b? b⊥α? ?? ??α∥β. ? ? a⊥α? b⊥β ?

)

B.2 2

C.4

D.2 3

1 1? 1 1 + · =2,所以 x+3y=1.所以 + =? (x+ x 3y ?x 3y?

x 3y x 3y 1 · =2+2=4,当且仅当 = ,即 x=3y= 时,等号成立.故 3y x 3y x 2

1 4.设 0<x<1,则 a= 2x,b=1+x,c= 中最大的一个是( 1-x A.a C.c [答案] C [ 解析 ] 因为 b - c = (1 + x) - B.b D.不能确定

1-x2-1 1 x2 = =- < 0 ,所以 b<c. 又因为 (1 + 1-x 1-x 1-x

x)2>2x>0,所以 b=1+x> 2x=a,所以 a<b<c.

5.p= ab+ cd,q= ma+nc· 小为( ) B.p≤q D.不确定

b d + (m、n、a、b、c、d 均为正数),则 p、q 的大 m n

A.p≥q C.p>q [答案] B [解析] q=

mad nbc ab+ + +cd≥ ab+2 abcd+cd= ab+ cd=p. n m 1 1 n + ≥ 恒成立,则 n 的最大值为( a-b b-c a-c C .4 D.5 )

6.a>b>c,n∈N+, A.2 [答案] C [解析] B.3

(b-c)+(a-b) a-c a-c 1 1 4 + = = ≥ = .∴nmax=4. a-b b-c (a-b)(b-c) (a-b)(b-c) a-b+b-c a-c ( ) 2

1?x + ?a+b? ? 2ab ? 7.已知函数 f(x)=? ?2? ,a、b∈R ,A=f? 2 ?,B=f( ab),C=f?a+b?,则 A、B、 C 的大小关系为( A.A≤B≤C C.B≤C≤A [答案] A [ 解析 ] a+b 2ab 1 ≥ ab ≥ ,又函数 f(x) = ( )x 在 ( - ∞ ,+ ∞) 上是单调减函数, 2 2 a+b ) B.A≤C≤B D.C≤B≤A

a+b 2ab ∴f( )≤f( ab)≤f( ). 2 a+b 8 .命题“对于任意角 θ , cos4θ - sin4θ = cos2θ”的证明:“cos4θ - sin4θ = (cos2θ - sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了( A.分析法 B.综合法 C.综合法与分析法结合使用 D.间接证法 [答案] B [解析] 利用已有的公式顺推得到要证明的等式,故是综合法. 9.要证明 3+ 5<4 可选择的方法有以下几种,其中最合理的为( A.综合法 C.反证法 [答案] B B.分析法 D.归纳法 ) )

3 3 3 10.要使 a- b< a-b成立,a,b 应满足的条件是( A.ab<0 且 a>b B.ab>0 且 a>b C.ab<0 且 a<b D.ab>0 且 a>b 或 ab<0 且 a<b [答案] D [解析] 3

)

3 3 3 3 3 3 a- b< a-b?a-b+3 ab2-3 a2b<a-b.∴ ab2< a2b.

3 3 ∴当 ab>0 时,有 b< a,即 b<a; 3 3 当 ab<0 时,有 b> a,即 b>a. 二、填空题 11.已知 α、β 为实数,给出下列三个论断: ①αβ>0;②|α+β|>5;③|α|>2 2,|β|>2 2.以其中的两个论断为条件,另一个论断为 结论,写出你认为正确的命题是______. [答案] ①③?② [解析] ∵αβ>0,|α|>2 2,|β|>2 2 ∴|α+β|2=α2+β2+2αβ>8+8+2×8=32>25 ∴|α+β|>5 12.已知 a>0,b>0,m=lg [答案] m>n [解析] 因为( a+ b)2=a+b+2 ab>a+b>0,所以 13.若 sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0, 则 cos(α-β)=________. 1 [答案] - 2 [解析] 由题意 sinα+sinβ=-sinγ① cosα+cosβ=-cosγ② ①,②两边同时平方相加得 2+2sinαsinβ+2cosαcosβ=1 2cos(α-β)=-1, 1 cos(α-β)=- . 2 a+ b a+b > ,所以 m>n. 2 2 a+ b a+b ,n=lg ,则 m 与 n 的大小关系为________. 2 2

14.设 a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,则 a,b,c 的大小关系为________. [答案] a>c>b [解析] b= 4 4 ,c= ,显然 b<c, 7+ 3 6+ 2

而 a2=2,c2=8-2 12=8- 48<8- 36=2=a2, 所以 a>c. 也可用 a-c=2 2- 6= 8- 6>0 显然成立,即 a>c. 三、解答题 15.(2010· 陕西文,18)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点.

(1)证明:EF∥平面 PAD; (2)求三棱锥 E-ABC 的体积 V. [解析] 本题考查线面平行的判定,三棱锥的体积的求法,考查空间想象能力,推理论 证能力. 解:(1)在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,

∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (2)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G, 1 则 EG⊥平面 ABCD,且 EG= PA. 2 在△PAB 中,AP=AB,∠PAB=90° ,BP=2, ∴AP=AB= 2,EG= 2 , 2

1 1 ∴S△ABC= AB· BC= × 2×2= 2, 2 2

1 1 2 1 ∴VE—ABC= S△ABC· EG= × 2× = . 3 3 2 3 (a-b)2 a+b (a-b)2 16.已知 a>b>0,求证: < - ab< . 8a 2 8b (a-b)2 a+b (a-b)2 [证明] 为了证明 < - ab< , 8a 2 8b (a-b)2 (a-b)2 只需证 <a+b-2 ab< , 4a 4b a-b 2 ?a-b?2. 即证( ) <( a- b)2<? ? ?2 b? 2 a ∵a>b>0,∴a-b>0, a- b>0. a-b a-b 只需证 < a- b< 2 a 2 b 即证 a+ b a+ b <1< , 2 a 2 b b <2<1+ a a , b

只需证 1+ 即证

b <1< a

a b a ,即证 <1< . b a b

b a ∵a>b>0,∴ <1< ,∴原命题成立. a b sin(2α+β) sinβ 17.求证: -2cos(α+β)= . sinα sinα [证明] 要证明原等式成立. 即证明 sin(2α+β)-2sinαcos(α+β)=sinβ 又因为 sin(2α+β)-2sinαcos(α+β) =sin[(α+β)+α]-2sinαcos(α+β) =sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2sinαcos(α+β) =sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα =sin[(α+β)-α]=sinβ. 所以原命题成立. 18.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n. an (1)设 bn= n-1.证明数列{bn}是等差数列; 2 (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. [证明] (1)an+1=2an+2n an+1 an 两边同除以 2n 得 n = n-1+1 2 2



an+1 an - =1 2n 2n+1

an 又因为 bn= n-1,所以 bn+1-bn=1 2 即数列{bn}为等差数列. 且 b1=1,bn=n. (2)∵bn=n,∴an=n×2n ∴Sn=a1+a1+?+an =1×20+2×21+3×22+?+n×2n 1(1)
- -1

由(1)×2 得 2Sn=1×2+2×22+3×23+?+(n-1)×2n 1+n×2n(2)


(2)-(1)得 Sn=n×2n-1×20-×21-??-2n =n×2n-2n+1=(n-1)×2n+1 ∴数列{an}的前 n 项和 Sn=(n-1)2n+1
-1


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