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普陀区2017届高三一模数学卷



普陀区 2016 学年第一学期高三数学质量调研
2016.12
考生注意: 1.本试卷共 4 页,21 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 2.本考试分试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在 试卷上作答一律不得分. 3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证好,并将核对后的条码贴在指定位置上, 在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分,否则一律得零分.
2 1.若集合 A ? x | y ? x, y ? R , B ? ? y | y ? sin x, x ? R? ,则 A ? B ?

?

?

2.若 ?

?
2

?? ?

?
2

, sin ? ?

3 ,则 cot ? ? 5

3.函数 f ( x) ? 1 ? log2 x ( x ? 1 )的反函数 f ?1 ( x) ? 4.若 (1 ? x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a5 x5 ,则 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 5.设 k ? R ,若

y2 x2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则半焦距的取值范围是 k k ?2
2 3

6.设 m ? R ,若函数 f ( x) ? ? m ? 1? x ? mx ? 1 是偶函数,则 f ( x ) 的单调递增区间是
x x 7.方程 log 2 9 ? 5 ? 2 ? log 2 3 ? 2 的解 x ?

?

?

?

?

8.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2kx ? 2 y ? k 2 ? 0 ( k ? R )和定点 P ?1, ?1? ,过点 P 可以作两条直线与 圆 C 相切,则 k 的取值范围是
? 9.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ABC ? 90 , AB ? BC ? 1 , 若 AC 1 与平面

B1BCC1 所成的角为

? ,则三棱锥 A 1 ? ABC 的体积为 6

10.掷两颗骰子得两个数,若两数的差为 d ,则 d ???2, ?1,0,1,2? 出现的概率的最大值 为 (结果用最简分数表示).
?

11 .设地球半径为 R ,若 A 、 B 两地均位于北纬 45 ,且两地处在纬度圈上的弧长为

2 ? R ,则 A 、 B 之间的球面距离是 4

(结果用含有 R 的代数式表示).

2 12 . 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 y ? f ( x) 满 足 f ( x? 2 ) ;函数 ? f (x , ) 且 ?1 ? x ? 1 时 , f ( x)? 1 ? x

?lg x , x ? 0, ,若 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 x ???5,10? ,函数 F ( x) 零点的个数是 g ( x) ? ? ?1, x ? 0.
二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方 格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

13.若 a ? b ? 0 ,则下列不等关系中,不能成立 的是??????????????( ....



1 1 (A) ? a b

1 1 ? (B) a ?b b

(C) a ? b

1 3

1 3

(D) a ? b
2

2

14. 设无穷等比数列 ?an ? 的首项为 a1 , 公比为 q , 前 n 项和为 Sn . 则 “ a1 ? q ? 1” 是 “ lim S n ? 1 ” 成立的? (
n ??



(A)充分非必要条件 (C)充要条件

(B)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件 )

15.设 ? ? l ? ? 是直二面角,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 a 、 b 与 l 均不垂直,则??( (A) a 与 b 可能垂直,但不可能平行 (C) a 与 b 不可能垂直,但可能平行 (B) a 与 b 可能垂直,也可能平行 (D) a 与 b 不可能垂直,也不可能平行

16. 设 ? 是两个非零向量 a 、 若对任意实数 t ,a ? tb 的最小值为 1, 则下列判断正确的是???? ( b 的夹角, (A)若 a 确定,则 ? 唯一确定 (C)若 ? 确定,则 b 唯一确定

? ?

?

?



?

(B)若 b 确定,则 ? 唯一确定 (D)若 ? 确定,则 a 唯一确定

?

?

?

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.已知 a ? R ,函数 f ? x ? ? a ?

1 . x

(1)当 a ? 1 时,解不等死 f ? x ? ? 2x ; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? 2 x ? 0 在区间 ? ?2, ?1? 上有解,求实数 a 的取值范围.

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的左、右两个焦点分别为 F1 , F2 , P 是椭圆上位于第一象限内的点, PQ ? x 轴, a 2 b2 5 3 垂足为 Q ,且 F1 F2 ? 6, ?PF1 F2 ? arccos , ?PF1 F2 的面积为 3 2 . 9 (1)求椭圆 ? 的方程;
18.已知椭圆 ? : (2)若 M 是椭圆上的点,求 MQ 的最大值.并求出 MQ 取得最大值时 M 的坐标.

19.现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛胚,经测定其密度为 7.8 g / cm3 ,总重量为 5.8kg .其中一个螺帽的三 视图如下图所示(单位:毫米) (1)这堆螺帽至少有多少个; (2)对上述螺帽作防腐处理,每平方米需要耗材 0.11 千克,共需要多少千克防腐材料(结果精确到 0.01 )

20.已知数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1 ? 1 ,对于任意的 n ? N ? ,均有 an?12 ? 1 ? 4an ? an ? 1? , bn ? 2log2 ?1 ? an ? ? 1 . (1)求证: ?1 ? an ? 是等比数列,并求出 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 中去掉 ?an ? 的项后,余下的项组成数列 ?cn ? ,求 c1 ? c2 ? ? ? c100 ; (3)设 d n ?
1 ,数列 ?dn ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ?1 ? m ? n ? ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列,若存在, bn bn ?1

求出 m 的值,若不存在,请说明理由.

21.已知函数 y ? f ? x ? , 若存在实数 m, k ? m ? 0 ? , 使得对于定义域内的任意实数 x , 均有 m ? f ? x ? ? f ? x ? k ? +f ? x ? k ? 成立,则称函数 f ? x ? 为“可平衡”函数,,有序对 ? m, k ? 称为函数 f ? x ? 的“平衡”数对. (1)若 m ? 1 ,判断 f ? x ? =sin x 是否为“可平衡”函数,并说明理由; (2)若 a ? R, a ? 0 ,当 a 变化时,求证: f ? x ? ? x 2 与 g ? x ? ? a ? 2x 的“平衡”数对相同;

?? ? ?? ?? ? ? (3)若 m1 , m2 ? R ,且 ? m1 , ? , ? m2 , ? 均为函数 f ? x ? ? cos 2 x ? 0 ? x ? ? 的“平衡”数对,求 m12 ? m22 的取值范围 2? ? 4? 4? ? ?



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