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江西省南昌市湾里区第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题



2015-2016 学年度湾里一中高二数学(文科)期中考试试卷

考试时间:120 分钟 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)

评卷人

得分 一、选择题

1.过点 ?1,

0 ? 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 2.与双曲线 x ?
2

) .

B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

y2 ? 1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线方程为( 4



x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? ?1 A. 2 8 3 12
C.

y 2 x2 y 2 x2 ? ? 1 D. ? ? 1 3 12 2 8
x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1(k ? 9) 的( ) 25 9 25 ? k 9 ? k
(B)短轴长相等 (D)离心率相等 )

3.曲线

(A)长轴长相等 (C)焦距相等

4.已知 ab ? 0 , bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c ? 0 通过(

A.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限
2 2

B.第一、二、三象限 D.第二、三、四象限

5.圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是 B. 1 ? 2
2

A. 2

C. 1 ?
2

2 2

D. 1 ? 2 2

6.已知点 A 是圆 C : x ? y ? ax ? 4 y ? 30 ? 0 上任意一点, A 关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的 对称点也在圆 C 上,则实数 a 的值( ) A. 10 B. ? 10 C. 4 D. ? 4

7.已知抛物线 y ?

y2 1 2 x 与双曲线 2 ? x 2 ? 1(a ? 0) 有共同的焦点 F , O 为坐标原点, P 8 a

在 x 轴上方且在双曲线上,则 OP ? FP 的最小值为( A. 3 ? 2 3 B. 2 3 ? 3 C. ?

??? ? ??? ?

) . D.

7 4


3 4

8.方程 x + y - 1

(

)

x 2 + y 2 - 4 = 0 所表示的曲线是(

???? ???? ? x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,点 E 是椭圆 C 上的动点, EF1 ? EF2 的 9.已知 F1 ,F2 为椭圆 C: 9 8
最大值、最小值分别为( A.9,7
2

) C.9,8
2 2

B.8,7

D.17,8

10.已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与曲线 x +y -4x-5=0 相切,则 p 的值为( ) A.

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

11 .已知椭圆 C :
2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦点为 F1 , F2 ,若点 ? 在椭圆上,且满足 a 2 b2


?? ? ?F1 ? ?F2 (其中 ? 为坐标原点) , 则称点 ? 为 “?” 点, 则此椭圆上的 “? ” 点有 (

个 A. 0 B. 2 C. 4 D. 8

12.已知 F1 , F2 分别为双曲线
2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任 a 2 b2
) D. ?3, ?? ?

PF1 意一点,若 的最小值为 8 a ,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( PF2
A. ?1,3? B. 1, 3 ? ?

?

? C. ? ? 3, 3?

第 II 卷(非选择题) 评卷人 得分 二、填空题

13.直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0被圆x ? y ? 25 截得的弦 AB 的长为
2 2
2



14.已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,若其渐近线与抛物线 y ? 4 x 的准线围成的三 角形面积为 1 ,则此双曲线的离心率等于 .

?x ? y ? 5 ? 0 ? 15.已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y ? 3 的最大值是 ?y ? 0 ?
2 2



16. 已知圆 O : x ? y ? 1 , 点 M ( x0 , y0 ) 是直线 x ? y ? 2 ? 0 上一点, 若圆 O 上存在一点 N , 使得 ?NMO ?

?
6

,则 x0 的取值范围是



评卷人

得分 三、解答题

17. (本题满分 12 分) 已知双曲线的中心在坐标原点,实轴在 x 轴上,其离心率 e ? 线上的点的最短距离为 2 2 ,求双曲线的方程.

2 ,已知点 2 5, 0 到双曲

?

?

:ax ? 3 y ? 1 ? 0 , l2:x ? (a ? 2) y ? a ? 0 . 18.已知直线 l1
(Ⅰ)若 l1 ? l2 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)当 l1 //l2 时,求直线 l1 与 l2 之间的距离.

19.营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供 75g 碳水化合物,60g 的蛋白质,60g 的脂肪.1000g 食物 A 含有 105g 碳水化合物,70g 蛋白质,140g 脂肪,花费 28 元;而 1000g 食物 B 含有 105g 碳水化合物,140g 蛋白质,70g 脂肪,花费 21 元.为了满足营养专家指出的 日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 g?花费多少钱?

20. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O : x ? y ? 4 和点 P(?1,1) ,
2 2

过点 P 的直线 l 交圆 O 于 A、B 两点 (1)若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设弦 AB 的中点为 M ,求点 M 的轨迹方程

y2 x2 y 2 1 ? x 2 =1 21. 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 , 椭圆的短轴端点与双曲线 2 a b 2
的焦点重合,过点 P(4,0) 且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 OA ? OB 的取值范围.

22. (本题 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) ,在此抛物
2

线上一点 N (2, m) 到焦点的距离是 3. (1)求此抛物线的方程; (2) 抛物线 C 的准线与 x 轴交于 M 点, 过 M 点斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于 A 、B 两 点.是否存在这样的 k ,使得抛物线 C 上总存在点 Q( x0 , y0 ) 满足 QA ? QB ,若存在,求 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 参考答案 1.A 【解析】 试题分析:因为所求直线与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,所以设所求直线为 x ? 2 y ? m ? 0 ,又 过点 ?1,0 ? ,代入求出 m ? ?1 ,所以所求直线为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,故选 A。 考点:两直线的平行 2. B 【解析】 试题分析:设双曲线方程为 x ?
2

y2 22 2 ? k ; 双曲线过点(2,2) ? k ,? k ? 3; 所以方 ,则 2 ? 4 4

程是:

x2 y 2 ? ? 1 ,故选 B 3 12

考点:1.双曲线的标准方程;2.双曲线的性质. 3.D 【解析】 试题分析:分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距,即可判断. 曲线

4 x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上,长轴长为 10,短轴长为 6,离心率为 ,焦距为 16.曲 25 9 5

线

x2 y2 ? ? 1(k ? 9) 表示焦点在 x 轴上,长轴长为 2 25 ? k ,短轴长为 2 9 ? k ,离心 25 ? k 9 ? k

率为

4 ,焦距为 16.则 D 正确. 25 ? k

考点:椭圆的几何性质

4.A 【解析】 试题分析:因为 ab ? 0 , bc ? 0 ,所以 a , b 同号, c, d 异号,所以 ax ? by ? c ? 0 通过第一、 二、四象限,故选 A. 考点:直线的方程 5.B 【解析】 试题分析:将圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 整理得: ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 ,圆心 (1,1) ,半径
2 2
2 2

r ? 1 . 圆 心 (1,1) 到 直 线 x ? y ? 2 ? 0 的 距 离 等 于

?2 2

? 2 ,因此圆上的点到直线

x ? y ? 2 ? 0 的最大距离为 1 ? 2 .
考点:1.直线与圆的位置关系;2.点到直线距离公式. 6.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 得 直 线 x ? 2 y ? 1 ? 0 过 圆 心 , 又 x ? y ? ax ? 4 y ? 30 ? 0 可 化 为
2 2

a a? a2 ? a ? ? 2 ? x ? ? ? ? y ? 2? ? ? 26 , 所 以 圆 心 为 ? ? ,?2 ? , 则 ? ? 2 ? ?? 2 ? ? 1 ? 0 , 解 得 2 2? 4 ? 2 ? ?

2

a ? ?10 .
考点:1.圆的性质; 7.A 【解析】

y?
试题分析:抛物线

y2 1 2 x ? x2 ? 8 y ? x2 ? 1 2 (0, 2) ,则双曲线 a 8 ,焦点 F 为 的c ?2,

y2 ? x2 ? 1 2 P( m, n) 则 a ?3 , 即 双 曲 线 方 程 为 3 , 设 , (n ? 3) , 则
1 ? m2 ? n2 ? 1 n ? 3m ? 3 3 ,
2 2

1 4 3 7 ??? ? ??? ? ? m 2 ? n 2 ? 2n ? n 2 ? 1 ? n 2 ? 2n ? ( n ? ) 2 ? 3 3 4 4, 则 OP ? FP ? (m, n) ? (m, n ? 2)
因为 n ? 3 ,故当 n ? 3 时取得最小值,最小值为 3 ? 2 3 ,故选 A. 考点:1.抛物线、双曲线的几何性质;2.向量的坐标运算;3.二次函数求最值. 8.D 【解析】 试题分析: x + y - 1
2 2

(

)

x 2 + y 2 - 4 = 0 可得 x + y - 1 = 0 或 x2 + y 2 - 4 = 0 ,故 B,C 错;又由

于 x + y - 4 ? 0 ,所以 A 错; 考点:曲线与方程; 9.B 【解析】 试题分析:由题意可知椭圆的左右焦点坐标为

F1 (?1,0), F2 (1,0) , 设 E ( x, y ) , 则

EF 1 ? (?1 ? x,? y ), EF 2 ? (1 ? x,? y ) ,
2 2 2 所以 EF1 ? EF2 ? x ? 1 ? y ? x ? 1 ? 8 ?

8 2 1 2 x ? x ? 7 ( ?3 ? x ? 3) , 9 9

1 ? EF 2 有最小值 7 ,当 x ? ?3 时, EF 1 ? EF 2 有最大值 8 ,故选 B. 所以当 x ? 0 时, EF

考点:1.椭圆的定义及几何性质;2.向量的坐标运算. 10.D 【解析】
2 试题分析:由 抛物线 y = 2px ( p > 0 )得准线为 x ? ?

p 2 2 ,由 圆 x + y - 4x - 5 = 0 得 2

( x ? 2)2 ? y 2 ? 9 ,得圆心 C (2, 0) ,半径 r ? 3 ,∵抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+
y -4x-5=0 相切,∴ | 2 ?
2

p |? 3 ,解得 p ? 2 . 2

考点:抛物线的简单性质、直线与圆的位置关系. 11.C 【解析】

试 题 分 析 : 设 椭 圆 上 的 点 P( x0 , y0 ) , 可 知 PF 1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 , 因 为

?? ? ?F1 ? ?F2 ,则有

2

a2 ? e2 x02 ? x02 ? y02 ? x0 2 ? b 2 (1 ?
选 C. 考点:新定义,椭圆的焦半径公式. 12.A 【解析】

x0 2 2a ) ,解得 x0 ? ? ,因此满足条件的有四个点,故 2 a 2

PF1 (2a ? PF2 ) 2 4a 2 ? ? ? PF2 ? 4a ? 8a 当且仅当 PF 试题分析: 2 ? 2a 时取得最小 PF2 PF2 PF2

2

2a ? c ? a 解得, e ? 值,此时 PF 1 ? 4a .已知 PF 2 ? c ? a,即
e ? 1 .故选 A.
考点:双曲线离心率. 13.8 【解析】

c ? 3 .又因为双曲线离心率 a

试题分析:由题意可得:圆心 ?0,0? 到直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 的距离 d ? 所以被圆 x ? y ? 25 截得弦长为 2 5 ? 3 ? 8 。
2 2

15 3 ? 42
2

?3,

2

2

考点:圆的性质. 14. 2 【解析】 试 题 分 析 : 抛 物 线 的 准 线 x = - 1 与 双 曲 线 的 渐 近 线 y =?

b x 的交点分别为 a

( - 1, -

b b 1 2b b ), ( - 1, ) ,所以对应的三角形的面积为 鬃 1 = = 1 ,所以该双曲线为等轴双曲 a a 2 a a

线,故其离心率为 2 . 考点:双曲线的离心率.

15.-3 【解析】

?x ? y ? 5 ? 0 ? 试题分析: 满足约束条件 ? x ? y ? 0 的区域如图所示, 目标函数 z ? 2 x ? 4 y ? 3 在点 (0, 0) ?y ? 0 ?
处取得最大值.

考点:线性规划. 16. ? ?2,0? 【解析】 试题分析:当 MN 与圆相切时 ?NMO 取得最大值,只需满足此时 ?NMO ? 设 M ? x0 , x0 ? 2 ? ? x0 ? ? x0 ? 2 ? ? 2 ??2 ? x0 ? 0
2 2

?
6

? MO ? 2 ,

考点:1.直线与圆的位置关系;2.两点间距离 17.

x2 ? y 2 ? 2 或 x2 ? y 2 ? 14 ? 8 10

【解析】 试题分析:根据题意双曲线的中心在坐标原点,实轴在 x 轴上,其离心率 e ? 为

2 ,可设方程

x2 ? y 2 ? ? 2 在双曲线

上任取一点 ? x, y ? 点 2 5, 0 到双曲线上的点的距离设为 d 则

?

?

d2 ? x ? 2 5

?

?

2

? y 2 ? 2 x2 ? 4 5x ? 20 ? ? 2 ,然后在 x ? ? 或 x ? ?? 范围内求出最值令

其等于 8 即可. 试题解析:双曲线的其离心率 e ?
2 2 2 2 ,故双曲线方程可设为 x ? y ? ?

.2 分

在双曲线上任取一点 ? x, y ? 则d ? x?2 5
2

点 2 5, 0 到双曲线上的点的距离设为 d

?

?

?

?

2

? y 2 ? 2 x2 ? 4 5x ? 20 ? ? 2

4分 6分 8分

d 2 在区间 x ? ? 或 x ? ? ? 上的最小值为 8
当? ? 当? ?

5 时, d 2min ? d 2 x?

5

? 10 ? 20 ? 20 ? ? 2 ? 10 ? ? 2 ? 8 ,解得 ? 2 ? 2 ;

5 时, d 2min ? d 2 x?? ? 2? 2 ? 4 5? ? 20 ? ? 2 ? ? 2 ? 4 5? ? 20 ? 8 ,
2

解得 ? ? 2 5 ? 2 2 或 ? ? 2 5 ? 2 2 (舍) ,即 ? ? 14 ? 8 10 ; 综上:双曲线的方程为

10 分

x2 ? y 2 ? 2 或 x2 ? y 2 ? 14 ? 8 10

12 分

考点:双曲线方程、距离与最值. 18. (1) a ? 【解析】 试题分析:(1)讨论 a ? 2 是否为 0,将直线方程化成斜截式方程,利用“两直线垂直,斜率之 积为 ? 1 ”求出 a 值; (2)借助直线的斜截式方程,利用直线平行的条件求出 a 值,再利用两 平行直线间的距离公式进行求解. 试题解析:若 a ? 2 ,直线 l1 与 l2 相交但不垂直,所以,当直线 l1 与 l2 垂直或平行时, a ? 2 直线 l1 的方程可化为: y ? ?

3 4 2 ; (2) . 2 3

a 1 x? 3 3
2分

直线 l1 的方程可化为: y ?

1 a x? 2?a 2?a

(Ⅰ)若 l1 ? l2 ,则 ?

3 a 1 ? ? ?1 ,解得 a ? ; 2 3 2?a

5分

1 ? a ? ? ? ? 3 2?a (Ⅱ)当 l1 //l2 时,有 ? ,解得 a ? 3 , 1 a ?? ? ? 3 2?a ?

9分

此时, l1 , l2 的方程分别为: 3x ? 3 y ? 1 ? 0 , x ? y ? 3 ? 0 即 3x ? 3 y ? 9 ? 0 ,

故它们之间的距离为 d ?

| 9 ? 1| 32 ? 32

?

4 2 . 3

12 分.

考点:1.直线方程的一般式与斜截式;2.两直线垂直或平行的判定;3.两平行直线间的距 离公式. 19.设每天食用 x kg 食物 A,

y kg 食物 B,总成本为 z .那么

?0.105 x ? 0.105 y ? 0.075, ?0.07 x ? 0.14 y ? 0.06, ? ? ?0.14 x ? 0.07 y ? 0.06, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0;
目标函数为

z ? 28 x ? 21y.

二元一次不等式组①等价于

?7 x ? 7 y ? 5, ?7 x ? 14 y ? 6, ? ? ?14 x ? 7 y ? 6, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.
作出二元一次不等式组②所表示的平面区域,即可行域.

4 z 4 y ?? x? ? z ? 28x ? 21y ,将它变形为 3 21 ,这是斜率为 3 、随 z 变化的一族平行直 考虑 z z y 线. 21 是直线在 轴上的截距,当 21 取最小值时, z 的值最小.当然直线要与可行域相交,
即在满足约束条件时目标函数

z ? 28x ? 21y 取得最小值.

z z ? 28 x ? 21 y 由 3.3-11 可见,当直线 经过可行域上的点 M 时,截距 21 最小,即 z 最小.

解方程组

?7 x ? 7 y ? 5, ? ?14 x ? 7 y ? 6,

1 4 x? ,y? . 7 7 得 M 的坐标为
所以

zmin

①=

28x ? 21y ? 16.

答:每天食用食物 A 约 143g,食物 B 约 571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低 成本为 16 元. 【解析】略
2 2 20. (1) x ? ?1 或 y ? 1 (2) x ? y ? x ? y ? 0

【解析】 试题分析: (1)中直线与圆相交问题,一般会用到弦长一半,圆心到直线距离,圆的半径构 成的直角三角形,本题求解释首先设出直线方程,求得以上 3 个量,利用勾股定理得到斜率 的方程,进而求得斜率(2)中求动点轨迹方程的一般步骤:建系,设点,找关系式,坐标化 化简,去除多余点,本题中利用弦的中点与圆心的连线与弦垂直得到动点的关系式 试题解析: (1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x ? ?1 此时 A(?1, 3), B(?1,? 3) ,满足 | AB |? 2 3 2分

当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) 即 kx ? y ? 1 ? k ? 0 圆心 O 到直线 l 的斜率为: d ?

|1? k | k 2 ?1
此时直线 l 的方程为: y ? 1 6分 9分

2 2 由 d ? ( 3) ? 4 得: k ? 0

∴所求直线 l 的方程为: x ? ?1 或 y ? 1 。 (2)由圆的性质知: PM ? OM 设 M ( x, y ) 则 PM ? ( x ? 1, y ? 1) ∴ PM ? OM ? 0

OM ? ( x, y)

PM ? OM ? x( x ? 1) ? y( y ? 1) ? x 2 ? y 2 ? x ? y
∴点 M 的轨迹方程为: x ? y ? x ? y ? 0
2 2

12 分

考点:1.直线与圆相交的位置关系;2.动点的轨迹方程 21.(Ⅰ) 【解析】
y2 x2 ? 13 ? ? ? 1 ;(Ⅱ) ? ?4, ? 4 3 4? ?

y2 ? x 2 =1 的焦点重合,可求得 b .由离心率 试题分析:(Ⅰ)根据椭圆的短轴端点与双曲线 2

e?

c 1 2 2 2 ? 及 a ? b ? c 求 a , c .(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) , 代入椭圆方程, 整理得: a 2

(4k 2 ? 3) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 则点 A 、B 的横坐标是该方程的两个根.利用根与系数的关
系用 k 表示出 OA ? OB ,由此可求得 OA ? OB 的取值范围. 试题解析:(Ⅰ)由题意知 e ?

c2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,即 a 2 ? b 2 ? ,∴ e2 ? 2 ? 2 4 a 2 3 a a

2分

又双曲线的焦点坐标为 0, ? 3 , b= 3 ,

?

?

3分 6分

b2 ? 3 ∴ a 2 ? 4,

故椭圆的方程为

y2 x2 ? ?1 4 3

(Ⅱ)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4)
? y ? k ( x ? 4) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得: (4k ? 3) x ? 32k x ? 64k ? 12 ? 0 y2 ? ?1 ? 3 ? 4
2 2 2 2 由 ? ? (?32k ) ? 4(4k ? 3)(64k ? 12) ? 0 得: k 2 ?

1 4

7分

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?
2

32k 2 64k 2 ? 12 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
2 2

∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16k

9分

??? ? ??? ? 32k 2 87 64k 2 -12 2 2 ? OA ? OB =x1 x2 +y1 y2 = ?1+k 2 ? ? 4 k ? + 16k = 25- 2 2 2 4k +3 4k +3 4k +3

11 分

? 0 ? k2<

1 87 87 87 ? ? 2 <- , ,? ? 4 3 4k +3 4
即 OA ? OB 的取值范围是 ? ?4,

13 分

??? ? ??? ? ? 13 ? ? OA ? OB ? ? ?4, ? 4? ?

??? ? ??? ?

? ?

13 ? ? 4?

15 分

考点:1、圆锥曲线的方程;2、直线与圆锥曲线的关系;3、二次方程根与系数的关系;4、 函数的范围 22. (1) y ? 4 x ;(2) ??
2

? ?

5 ? ? 5? ? 0, ,0 ? ? ?. ? 5 ? ? ? 5 ?

【解析】 试题分析: (1)根据抛物线的定义列式即可求之; (2)根据题意设出直线方程,联立直线方

程和抛物线方程 ?

? y 2 ? 4x 2 , 整理得 ky ? 4 y ? 4k ? 0 , 假设存在直线与抛物线交于两点, ? y ? k ( x ? 1)
, 得 ? 1 ? k ? 1 且 k ? 0 , 由 QA ? QB , 可 得 其 斜 率 之 积 为 -1 ,

可得 ?

?k ? 0
2 ?16 ? 16k ? 0

4 4 4 4 2 ? ? ?1 ,整理 y 0 ? y 0 ? 20 ? 0 ,此时应满足 ? ? ( ) 2 ? 80 ? 0 ,综上 k k y 0 ? y1 y 0 ? y 2
可得 ?

5 5 ?k? 且k ? 0. 5 5
p , 2

试题解析: (1)抛物线准线方程是 x ? ?

?2 ?

p ? 3 ,? p ? 2 2
2

故抛物线的方程是 y ? 4 x . (2)设 Q( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 由?

? y 2 ? 4x 2 得 ky ? 4 y ? 4k ? 0 , ? y ? k ( x ? 1) ?k ? 0
2 ?16 ? 16k ? 0

由?

得 ?1 ? k ? 1 且 k ? 0 .

y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? 4 k

k QA ?

y 0 ? y1 y 0 ? y1 4 4 ? 2 ? ,同理 k QB ? 2 x0 ? x1 y 0 ? y1 y0 ? y2 y0 y ? 1 4 4
4 4 ? ? ?1 , y 0 ? y1 y 0 ? y 2

由 QA ? QB 得
2

即: y0 ? y0 ( y1 ? y2 ) ? y1 y2 ? ?16 , ∴ y0 ?
2

4 y 0 ? 20 ? 0 , k

4 5 5 ? ? ( ) 2 ? 80 ? 0 ,得 ? ?k? 且k ? 0, k 5 5
由 ? 1 ? k ? 1 且 k ? 0 得,

? 5 ? ? 5? ? 0, k 的取值范围为 ?? ,0 ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ?
考点:1、抛物线的定义;2、直线与抛物线的相交问题.



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