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广东省广州六中、广雅中学、执信中学等六校2016届高三第一次联考数学(理)试题



2016 届高三六校第一次联考 理科数学试题 命题学校:珠海一中 2015,9,7 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1、复数

i 在复平面上对应的点位于( 3?i
B.第二象限

) C.第三象限 ) D.第四象限

A.第一象限

r />
2 2、已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”的(

A.充分不必要条件 C.充要条件 3、已知 sin? ? cos ? ? A.﹣1 B.﹣2

B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

2 ,则tan? ?
C.

cos ? 的值为 ( sin ?
D.2



1 2

4.直线 x sin ? ? 2 y ? 2 ? 0 的倾斜角的取值范围是( A. [0, ? ) C. [0, B. [0, D. [0,



?

] ? ( ,? ) 4 4 2 1 1 1 1 5、右图给出的是计算 ? ? ? ? ? ? ? 的 2 4 6 20
]
值的一个程序框图,其中判断框内应填入 的条件是( A. C. ) B.

?

?

3 ] ? [ ? ,? ) 4 4

?

i ? 10
i ? 20

i ? 10

D. i ? 20

6、将函数 f ? x ? ? sin ?2 x ? ? ? 的图象向左平移 则 ? 的一个可能取值为( A. )

?
8

个单位,所得到的函数图象关于 y 轴对称,

3? 4

B. 0

C.

?
4

D. ?

?
4

7、求曲线 y ? x2 与 y ? x 所围成图形的面积,其中正确的是 ( A. S ? C. S ?



? ( x ? x )dx
2 0

1

B. S ? D. S ?

? (x
0 1 0

1

2

? x)dx y )dy

? (y
0

1

2

? y)dy

? (y ?

8、设 l , m, n 为三条不同的直线, ? 为一个平面,下列命题中正确的个数是( ①若 l ? ? ,则 l 与 ? 相交 ②若 m ? ?,n ? ?,l ? m,l ? n, 则l ? ? ③若 l || m , m || n , l ? ? ,则 n ? ? ④若 l || m , m ? ? , n ? ? ,则 l || n A.1 B.2 C.3 D.4



0 9、如图,已知 | OA |? 1,| OB |? 3, OA ? OB ? 0 ,点 C 在线段 AB 上,且 ?AOC ? 30 ,设

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? m OC ? mOA ? nOB ? m, n ? R ? ,则 等于( n
A.



1 3

B.3

C.

3 3

D. 3

2 2 ) 10、 已知曲线 C : y ? 2x , 点 A(0, ?

及点 B(3 , a) , 从点 A 观察点 B , 要使视线不被曲线 C 挡 ).

住,则实数 a 的取值范围是( A. (4,+∞)

B.(-∞,4) C.(10,+∞) D.(-∞,10)

11、 某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长 为 2 的等腰直角三角形,左视图是边长为 2 的正方形,则此
正视图

四面体的四个面中面积最大的为( A. 2 2 C. 2 3 B. 4 D. 2 6

)

左视图

俯视图

12. 设函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) , ?x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ? x ,在 (0,??) 上
2

f ?( x) ? x ,若 f (6 ? m) ? f (m) ? 18 ? 6m ? 0 ,则实数 m 的取值范围为(
A. [?3,3] B. [3, ??) C. [2, ??)



D. (??, ?2] ? [2, ??)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

13、 已知关于 x 的二项式 ( x ?

a
3

x

) n 展开式的二项式系数之和为 32,常数项为 80,则实数

a 的值为
14、变量 x 、 y 满足条件 ?
?x ? y ? 1 ? 0 2 ,则 ( x ? 2) ?y ? 1 ? x ? ?1 ?

? y 2 的最小值为

15、 ? ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c ,且 a , b , c 成等比数列,若 sin B = 5 ,
13

cos B = 12 ,则 a ? c 的值为
ac



16 、 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 且

?

0
1 15

1

2

3
1 5

f ( x ? 3) ? f ( x) ? 3 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 , f (0) ? 0 ,则 f (2016) ?


P

a

b

三、解答题(17—21 为必做题) 17、 (本小题满分 12 分)若公比为 q 的等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,且满足 an = ( n ? 3 , 4 , 5 ?) (1)求 q 的值; (2)设 bn ? n ? an ,求数列 ?bn ? 的前项和 Sn

an ?1 ? an ? 2 , 2

18、 (本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人射击同一目标,各射击一次,已知甲击中目标的概
3 率为 5 ,乙与丙击中目标的概率分别为 m, n ? m ? n ? ,每人是否击中目标是相互独立的.记目

标被击中的次数为 ? ,且 ? 的分布列如下表: (Ⅰ)求 m, n 的值; (Ⅱ)求 ? 的数学期望.

19、 (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 是侧棱 CC1 上的一点, CP ? m .

(Ⅰ)试确定 m ,使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2 ; (Ⅱ)在线段 AC 1 1 上是否存在一个定点 Q ,使得对任意的 m , D 1Q 垂直于 AP ,并证明你的 结论.

D1 A1 D A B B1

C1 P C

20、 (12 分)已知直线 x ? y ? 1 ? 0 经过椭圆 S: 点. (1)求椭圆 S 的方程;

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点和一个顶 a 2 b2

(2)如图,M,N 分别是椭圆 S 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第 一象限, 过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 C, 连接 AC, 并延长交椭圆于点 B, 设直线 PA 的斜率为 k . y ①若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; ②对任意 k ? 0 ,求证: PA ? PB . M A N O C P B x

21、 (本小题满分 12 分) 设定义在区间 [ x1 , x 2 ] 上的函数 y ? f ( x) 的图像为 C ,点 A 、 B 的坐标分别为

( x1 , f ( x1 )),( x2 f ( x2 )) 且 M ( x, f ( x)) 为图像 C 上的任意一点, O 为坐标原点, 当实数 ? 满
足 x ? ?x1 ? (1 ? ? ) x2 时,记向量 ON ? ?OA ? (1 ? ?)OB.若 | MN |? k 恒成立,则称函 数 y ? f ( x) 在区间 [ x1 , x 2 ] 上可在标准 k 下线性近似,其中 k 是一个确定的正数。 (Ⅰ)求证:A、B、N 三点共线

(Ⅱ)设函数 f ( x) ? x 2 在区间 [0 , 1] 上可在标准 k 下线性近似,求 k 的取值范围;
m m ?1 (Ⅲ)求证:函数 g ( x) ? ln x 在区间 ? ?e , e ? ? (m ? R) 上可在标准 k ?

1 下线性近似。 8

(参考数据: e ? 2.718, ln(e ? 1) ? 0.541) 四、解答题(三选一,多选者以前一题的分数计入总分)

22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形,延长 BA 和 CD 相交于点 P ,

PA 1 ? , PB 4

PD 1 . ? PC 2 AD (Ⅰ)求 的值; BC
(Ⅱ)若 BD 为⊙ O 的直径,且 PA ? 1 ,求 BC 的长.

B
?O

A P D

C

23、(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 直线 l : ?

? x ? a ? 4t , ? (t为参数),圆C : ? ? 2 2 cos(? ? ) (极轴与 x 轴的非负半轴重合,且 4 ? y ? ?1 ? 2t

单位长度相同) 。 (1)求圆心 C 到直线 l 的距离; (2)若直线 l 被圆 C 截的弦长为

6 5 , 求a 的值。 5

24、(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设对于任意实数 x ,不等式 | x ? 7 | ? | x ? 1| ≥ m 恒成立. (I)求 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m 取最大值时,解关于 x 的不等式: | x ? 3 | ?2 x ? 2m ? 12 .

2016 届高三六校第一次联考 理科数学试题参考答案及评分标准 二. 选择题: 1、B 2、A 3、D 4、B 5、A 6、C 11、如图,易知 ?BCD 的面积最大 7、A 8、C 9、B 10、D 11、C 12、B

D B

C

12 、 解 : 令 g ( x) ? f ( x) ?

1 2 x , 2

A

? g (? x) ? g ( x) ? f (? x) ?
∴函数 g ( x) 为奇函数 ∵ x ? (0 ,

1 2 1 x ? f ( x) ? x 2 ? 0 2 2

? ?) 时, g / ( x) ? f / ( x) ? x ? 0 ,函数 g ( x) 在 x ? (0 , ? ?) 为减函数

又由题可知, f (0) ? 0 ,

g (0) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 R 上为减函数

1 1 f (6 ? m) ? f (m) ? 18 ? 6m ? g (6 ? m) ? (6 ? m) 2 ? g ( m) ? m 2 ? 18 ? 6m ? 0 2 2


g (6 ? m) ? g (m) ? 0

∴ g (6 ? m) ? g (m) ,∴ 6 ? m ? m

, ?m ? 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

13、2

14、 5

15、 3 7

16、2016

∵ f (2016) ? f (2013) ? 3 ? f (2010) ? 6 ? ?? ? f (0) ? 2016 ? 2016

f (2016) ? f (2014) ? 2 ? f (2012) ? 4 ? ?? ? f (0) ? 2016 ? 2016 ? f (2016) ? 2016

三、解答题(17—21 为必做题) 17、解: (1)由题意易知 2an ? an?1 ? an?2 ,---1 分 即 2a1qn?1 ? a1qn?2 ? a1qn?3 ,--2 分

? 2q2 ? q ? 1 ? 0

解得 q ? 1 或 q ? ?

1 2

-------- 3 分

(2)解:①当 q ? 1 时, an ? 1 , bn ? n ②当 q ? ?

Sn =

n( n ? 1) 2

----------5 分

1 1 n ?1 时, an ? ( ? ) 2 2 1 n ?1 bn ? n ? (? ) ---------------7 分 2 1 1 1 1 Sn = 1 ? (? )0 ? 2 ? (? )1 ? 3 ? (? ) 2 ? ?? ? n ? (? ) n ?1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ? (? )1 ? 2 ? (? ) 2 ? ?? ? (n ? 1) ? (? ) n ?1 ? n ? (? ) n - Sn = 2 2 2 2 2
相减得

3 1 1 1 ? ? 1 Sn ? 1 ? n ? (? )n ? ?(? ) ? (? )2 ? ? ? (? ) n?1 ? 2 2 2 2 ? ? 2

-------- 10 分

整理得

4 4 2n 1 n · ( ? ) -----------------------12 分 Sn = -( + ) 9 9 3 2

18、解:设甲、乙、丙各自击中目标分别为事件A、B、C (Ⅰ)由题设可知 ? ? 0 时,甲、乙、丙三人均未击中目标,即 P(? ? 0) ? P( A B C) ∴ P ?? ? 0 ? ? 2 ?1 ? m ??1 ? n ? ? 1 , 5 15 化简得 mn ? ? m ? n ? ? ? 5 ① 6 同理, ??2分

?

0
1 15

1

2

3
1 5

P

a

b

P ?? ? 3? ? 3 ? m ? n ? 1 ? mn ? 1 ② 5 5 3

??4分

联立①②可得 m ? 2 , n ? 1 3 2

??6分

(Ⅱ)由题设及(Ⅰ)的解答结果得: P(? ? 1) ? P( A B C ? A B C ? A B C)
? a ? P ?? ? 1? ? 3 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 ??8分 5 3 2 5 3 2 5 3 2 10

?b ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 13 15 10 5 30
? E? ? 0 ? 1 ? 1? 3 ? 2 ? 13 ? 3 ? 1 ? 53 15 10 30 5 30

?

?

??10分 ??12 分

19.解法一: (1)如图:

连AC, 设AC ? BD ? O, AP与面BDD1 B1 交于点G,连OG.

??1 分

因为PC // 面BDD1 B1 , 面BDD1 B1 ? 面APC ? OG, 故 OG // PC . 所 以 OG ?
又 AO ? DB, AO ? BB1 , 所以AO ? 面BDD1 B1   故 ?AGO即为AP与面BDD1 B1 所成的角。 ??3 分

1 m PC ? . 2 2

??4 分

2 1 OA 在 Rt △ AOG中, tan AGO ? ? 2 ? 3 2 ,即 m ? . m 3 OG 2 1 故当 m ? 时,直线 AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为 3 2 . ??6 分 3
(Ⅱ)依题意,要在 A1 C1 上找一点 Q ,使得 D1 Q ? AP .只需 D1 Q ? 面ACC1 A1 . ?7 分 设 AC 1 1?B 1D 1 ?O 1 ,可推测 A 1 C1 的中点 O 1 即为所求的 Q 点. 因为 D1 O1 ? A 1 C1 . D 1O 1 ? AA 1 ,所以 D 1O 1 ? 面ACC1 A 1. 即 D1 Q ? 面ACC1 A 1 . ??10 分 又 AP ? 面ACC1 A 1 . ,故 D 1O 1 ? AP . 即 D1 Q ? AP ??12 分 ??8 分

解法二: (1)建立如图所示的空间直角坐标系,??1 分

则 A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,1). 所以 BD ? (?1, ?1, 0), BB1 ? (0, 0,1), AP ? (?1,1, m), AC ? (?1,1,0).

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

??2 分

又由 AC ? BD ? 0, AC ? BB1 ? 0知 AC为平面BB1 D1 D 的一个法向量. ??3 分 设 AP 与 面BDD1 B1   所成的角为 ? ,

???? ??? ?

? ???? ????

????

??? ? ???? | AP ? AC | 2 ? ???? ? 则 sin ? ? cos( ? ? ) ? ??? 2 | AP | ? | AC | 2 ? 2 ? m2

?

??4 分

依题意有:

2 2? 2?m
2

?

3 2 1 ? (3 2) 2

,解得 m ?

1 . 3

??5 分

故当 m ?

1 时,直线 AP与平面BDD1 B1所成的角的正切值为 3 2 . ??6 分 3

(2)若在 A1 C1 上存在这样的点 Q ,设此点的横坐标为 x ,??7 分 则 Q( x,1 ? x,1), DQ ? ( x,1 ? x,0) . 1

???? ?

??8 分

依题意,对任意的 m 要使 D1Q ? AP ,只需 D1Q ? AP ? 0 对 ? m 恒成立

???? ? ??? ?

??9 分

??? ? ???? ? 1 D1Q ? AP ? AP ? D1Q ? 0 ? ? x ? (1 ? x) ? 0 ? x ? ,??11 分 2
即 Q 为 A1 C1 的中点时,满足题设的要求 ??12 分

20、解: (1)在直线 x ? y ? 1 ? 0 中令 x ? 0 得 y ? 1 ;??1 分 令 y ? 0 得 x ? ?1 ??2 分 ??3 分 y P M ??6 分 A N O C 中点坐标为( ? B x

? c ? b ? 1,
则椭圆方程为

? a2 ? 2

x2 ? y 2 ? 1 ??4 分 2

(2)① M (? 2,0) , N (0, ?1) ,M、N 的

1 2 2 , ? ),所以 k ? 2 2 2

x2 2 ? y 2 ? 1,解得 x ? ? ②法一:将直线 PA 方程 y ? kx 代入 ??7 分 2 2 2k ? 1


2 2k ? 1
2

? m ,则 P(m, mk ) , A(?m, ?mk ) ,于是 C (m,0) ,故直线 AB 方程为
??8 分
2 2 2

y?

0 ? mk k ( x ? m) ? ( x ? m) m?m 2
2 2

代入椭圆方程得 (k ? 2) x ? 2k mx ? k m ? 4 ? 0 ,??9 分 由 xB ? x A ?

2k 2 m m(3k 2 ? 2) mk 3 B ( , 2 ) ,因此 k2 ? 2 k2 ? 2 k ?2

??10 分

??? ? m(3k 2 ? 2) ??? ? mk 3 2mk 2 ?2mk ? m , ? mk ) ? ( , ) ??11 分 ? AP ? (2m, 2mk ) , PB ? ( k2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2

??? ? ??? ? 2mk 2 ?2mk ? AP?PB ? 2 ? 2m ? 2 ? 2mk ? 0 k ?2 k ?2

? PA ? PB

??12 分

法二:由题意设 P( x0 , y0 ), A(? x0 , ? y0 ), B( x1 , y1 ), 则C( x0 ,0) ,??7 分 ∵ A、C、B 三点共线,?

y y ?y y1 ? 0 ? 1 0, x1 ? x0 2 x0 x1 ? x0

??8 分

又因为点 P、B 在椭圆上,?

x0 2 y0 2 x2 y2 ? ? 1, 1 ? 1 ? 1 ,??9 分 2 1 2 1
??10 分

两式相减得: k PB ? ?

x0 ? x1 2( y0 ? y1 )

? kPA kPB ?
? PA ? PB

y0 x ?x ( y ? y )( x ? x ) [? 0 1 ] ? ? 1 0 0 1 ? ?1 x0 2( y0 ? y1 ) ( x1 ? x0 )( y0 ? y1 )
??12 分

??11 分

??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? 21、解(Ⅰ)由 ON =λ OA +(1-λ ) OB 得到 BN =λ BA ,???1 分

所以 B,N,A 三点共线. ???2 分
???? ??? ? ??? ? (Ⅱ)由 x ? ?x1 ? (1 ? ? ) x2 与向量 ON = ? OA +(1- ? ) OB ,

得 N 与 M 的横坐标相同.???3 分 对于 [0 , 1] 上的函数 f ( x) ? x ,A(0,0),B(1,1),???4 分
2
2 ???? ? 则有 MN ? x ? x2 ? ? x ? 1 ? 1 ,???5 分 2 4 ???? ? 故 MN ? ? 0,1 ? ;所以 k 的取值范围是 ? 1 , ? ? .???6 分 ? ? ? 4? ? ?4

? ?

?

m m ?1 m (Ⅲ)对于定义在 ? em?1 ? ?e , ? 上的函数 y ? ln x ,A( e ,m ),B( e ,m ? 1 )

则直线 AB 的方程 y ? m ?

1 ( x ? em ) ,???7 分 em?1 ? em

设 N ( x, y) ,则易知 M ( x, ln x) ,且点 N 在直线 AB 上, y ? m ?

???? ? 所以, MN ? ln x ? y ? ln x ? m ?
令 h( x) ? ln x ? m ?
e
m ?1

e 1 ( x ? e m ) ???8 分 e m ?1 ? e m

m ?1

1 ( x ? em ) m ?e

1 ?em, ? ? m ? R? , ( x ? em ) ,其中 x ? ? em?1 ? m ?e

于是 h?( x) ? 1 ? m?11 m , x e ?e 列表如下:

???9 分

x
h' ( x)
h( x )

e

m

(e ,e -e ) +

m

m+1

m

e -e 0

m+1

m

(e -e ,e ) - 减

m+1

m

m+1

e

m+1

0



h(em?1 ? em )

0

???? ? 则 MN ? h ? x ? ,且在 x ? em?1 ? em 处取得最大值,???11 分
又 h(em?1 ? em ) ? ln ? e ? 1? ?

1 e?2 ? 0.123 ? ,从而命题成立. ???12 分 8 e ?1

四、解答题(三选一,多选者以前一题的分数计入总分)

22、解: (Ⅰ)由 ?PAD ? ?PCB , ?P ? ?P ,得 ?PAD 与 ?PCB 相似,???2 分 设 PA ? x, PD ? y 则有

B
?O

PA PD x y ? , ? ? y ? 2 x ,???4 分 PC PB 2 y 4 x
所以

A D

P

AD PA x 2 ??????5 分 ? ? ? BC PC 2 y 4

C

(Ⅱ)由题意知, ?C ? 90? ,???6 分

PA ? 1, ? PB ? 4

?????7 分

? PC ? 2 2 ???8 分

? BC 2 ? PB 2 ? PC 2 ? 8
23、解(1)把 ?

? BC ? 2 2 ???10 分
??2 分

? x ? a ? 4t 化为普通方程为 x ? 2 y ? 2 ? a ? 0, ? y ? ?1 ? 2t

把 ? ? 2 2 cos(? ?

?
4

) 化为直角坐标系中的方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0,

??4 分

?

圆心 C (1, ?1) 到直线的距离为

5 |1? a | 5
3 5

?? 5 分

(2)由已知圆的半径为 2 ,弦长的一半为

?? 7 分

? 3 ? ? a ?1 ? 所以, ? ? ? ? ?? ? 5? ? 5 ?

2

2

? 2?

2

??8 分

? a 2 ? 2a ? 0 , a ? 0或a ? 2

?? 10 分

? ? 6 ? 2 x , x ? ?7 ? 24、解(1)设 f ( x) ?| x ? 7 | ? | x ? 1 | ,则有 f ( x ) ? ?8,?7 ? x ? 1 ?2 x ? 6, x ? 1 ?
当 x ? ?7 时 f ( x ) 有最小值 8 当 ? 7 ? x ? 1 时 f ( x ) 有最小值 8 当 x ? 1 时 f ( x ) 有最小值 8 综上 f ( x ) 有最小值 8 所以 m ? 8 (2)当 m 取最大值时 m ? 8 原不等式等价于: | x ? 3 | ?2 x ? 4

------ 1 分

------ 2 分 ----- 3 分 ----- 4 分 ----- 5 分 ------6 分

----- 7 分

等价于: ?

?x ? 3 ?x ? 3 或? ? x ? 3 ? 2 x ? 4 ?3 ? x ? 2 x ? 4
1 ? x?3 3 1 3

----- 8 分

等价于: x ? 3 或 ?

-------- 9 分 ------ 10 分

所以原不等式的解集为 {x | x ? ? }



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