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河北省唐山市2012届高三第三次模拟考试数学(文)试题


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河北唐山市 2012 届高三第三次模拟

数学(文)试题
说明: 一、本试卷共 4 面,包括三道大题,24 道小题,共 150 分,其中(1)~(21)小题为 必做题, (22)~(24)小题为选做题。 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题。 三、做选择题时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑,如 需改动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案。 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回。 参考公式: 样本数据 x 1 , x 2 , ? x n 的标准差
1 n

锥体的体积公式 v ?

1 3

sh

s ?

[ ( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ]
2 2 2

其中 S 为底面面积,h 为高

其中 x 为样本平均数

球的表面积、体积公式

s ? 4? R ,V ?
2

4 3

?R

3

柱体的体积公式 V ? s h 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 R 为球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的。 1.复数 ) A.i
4 ? 3i (2 ? i)
2

?



B.-i
2

C.1 )

D.-1

2.已知全集 U=N, A ? ? x ? N | x ? 7 x ? 1 0 ? 0 ? , 则 C U A ? ( A. ? 2 , 3, 4 , 5 ? C. ? 2 , 3, 4 ?
3

B. ? 3, 4 , 5 ? D. ? 3, 4 ?
1
x

3.函数 f ( x ) ? ( x ? 2 ) ? ( ) 的零点所在的一个区间是(
2



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A. (-2,-1) B. (-1,0) C. (0,1) `D. (1,2) 4.执行右面的程序框图,若输出的 x=2,则输出 k 的值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 5.一支田径队共有运动员 98 人,其中女运动员 42 人,用分层抽样的方法抽取一个样本, 每名运动员被抽到的概率都是 ( ) A.12 人
2 7

,则男运动员应抽取

B.14 人

C.16 人

D.18 人
1 2 , 则 该 数 列 的 公 差 d= 1

6 . 等 差 数 列 ? a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知 S7 ? 2 1 , S1 1 ? ( ) A.5

B.4
a b

C.3 >1”成立的

`D.2

7.设 a、b ? R ,则“a>1 且 0<b<1”是“a-b>0 且



) A.充分面不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 六棱柱 A B C D E F ? A ' B ' C '' D ' E ' F ' 的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,且侧棱长 等 于 底面边长,则直线 B ' D ' 与 E F ' 所成角的余弦植为 (

) A.
6 3

B.
?
6

6 4

C.

1 4

`D.

3 4

9.函数 y ? c o s ( ? x ? ( A. [ ? )
2 1 , ] 3 3
x a
2 2

) 的一个单调增区间是

B. [ , ]
3 3
? y b
2 2

1 4

C. [ ?

1 5 , ] 6 6

D. [ ,
6

5 11 6

]

10.A、B 是椭圆

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右顶点,点 P 是该椭圆上与 A、B 不重合的

任意一点,设∠PAB=a,∠PBA= ? ,则

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( A. s in a ? c o s ? C. s in a ? c o s ?

) B. s in a ? c o s ? D. s in a 与 c o s ? 的 大 小 不 确 定
?????? ??? ???? ?

? y ? 1, ? 11. 动点 P (x, 满足 ? x ? 2 y ? 5 , y) ? x ? y ? 3, ?

点Q为 (1, -1) O 为坐标原点,? | O Q | ? O P ? O Q , ,

则 ? 的取值范围是 ( ) A. [ ? 2 , 2 ] B. [ ? 2 ,
2 2
2 , 与 12.函数 f ( x ) ? x , g ( x ) ? 1 o g x若 f ( g ( x ) 2

]

C. [ ?

2 2

,

2 2

]

D. [ ?

2 2

,

2]

g ( f ( x) )定 义 域 都 为 的

[a , b ] ( 0 ?

? a

b) ,

值域相同,则 ( ) A. a ? 1, b ? 4 C. a ? 1, b ? 4 B. a ? 1, b ? 1 D. a ? 1, b ? 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.经过点(3,0) ,离心率为
e ?1
x

5 3

的双曲线的标准方程为
1 2



14.已知 f ( x ) ?

e ?1
x

, 若 f (m ) ?

,则 f (? m ) ?



15.四棱台的正视图和侧视图都是如图所示的等腰梯形, 它的表面积等于 16.设 a 1 , a 2 , ? , a 1 o 成 等 比 数 列 , 且 a 1 a 2 ? a 1 o ? 3 2 , 记 x ? a1 ? a 2 ? ? ? a10 , y ?
1 a1 ? 1 a2 ?? ? 1 a10 ,则 x y ?

三、解答题:本大题共 8 小题,共 70 分。 (17~(21)小题为必做题, (22)~(24)小题 为选做题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 如图,为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离,观察者 找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A、B;找到一个点 D, 从 D 点可以观察到点 A、C:找到一个点 E,从 E 点可以观察 到点 B、C。并测得以下数据:CD=CE=100m,∠ACD=90°, ∠ACB=45°,∠BCE=75 °,∠CDA=∠CEB=60°,求 A、B 两 点
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之间的距离。

18. (本小题满分 12 分) 金融机构对本市内随机抽取的 20 家微小企业的产业结构调整及生产经营情况进行 评估,根据得分将企业评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级,金融机构将根据等 级对企业提供相应额度的资金支持。

(1)在答题卡上作出频率分布直方图,并由此估计该市微小企业所获资金支持的均值; .....

(2)金融机构鼓励得分前 2 名的两家企业 A、B 随机收购得分后 2 名的两家企业 a、b 中的一家,求 A、B 企业选择收购同一家企业的概率。

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, ABCD 是直角梯形, AB⊥BC, AB∥CD, AB=2BC=2CD=2。 (1)求证:平面 PBC⊥平面 PAB;

(2)若∠PDC=120°,求四棱锥 P—ABCD 的体积。

20. (本小题满分 12 分) 抛物线 C : y ? x 在点 P 处的切线 l 分别交 x 轴、y 轴于不同的两点 A、B,
2

???? ? 1 ???? AM ? M B 。当点 P 在 C 上移动时,点 M 的轨迹为 D。 2
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(1)求曲线 D 的方程:

(2)圆心 E 在 y 轴上的圆与直线 l 相切于点 P,当|PE|=|PA|,求圆的方程。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 1 n x ?
2 ( x ? 1) x ?1



(1)判断函数 f ( x ) 的单调性;

(2)证明:

( x ? 1)1 n x x ?1

? 2.

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 、 、 分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图,在△ ABC 中,∠C=90°,BC=8,AB=10,O 为 BC 上一点,以 O 为圆心,OB 为半径作半圆与 BC 边、AB 边分别交于点 D、E,连接 DE。 (1)若 BD=6,求线段 DE 的长;

(2)过点 E 作半圆 O 的切线,交 AC 于点 F, 证明:AF=EF。

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23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的 长度单位相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 p ? 2 (c o s ? ? s in ? ) 。 (1)求 C 的直角坐标方程:
1 ? x ? l, ? 2 ? (2)直线 l : ? ( l 为参数)与曲线 C 交于 A、B 两点,与 y 轴交于 E,求 ?y ?1? 3 l ? ? 2
| EA | ? | EB | .

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 设 f ( x ) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | . (1)解不等式 f ( x ) ? 2 ; (2)若存在实数 x 满足 f ( x ) ? a x ? 1 ,试求实数 a 的取值范围。

参考答案
一、选择题: A 卷:ADBCC B 卷:CDBCB 二、填空题: x2 y2 (13) 9 -16=1 BABDA CAABA DA DA

1 (14)- 2

(15)20+12 5

(16)2

三、解答题: (17)解: 连结 AB. 在△ ACD 中, CD=10 0 m,∠ACD=90?,∠CDA=60?, 则 AC=CDtan 60?=100 3 m; …4 分 在△ BCE 中, CE=100 m,∠BCE=75?,∠CEB=60?, CEsin 60? 则∠CBE=45?,BC= =50 6 m;…8 分 sin 45? 在△ ABC 中,

D A

C B

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AC=100 3 m,BC=50 6 m,∠ACB=45?, 则 AB= AC2+BC2-2AC· BCcos 45?=50 6 m. 故 A、B 两点之间的距离为 50 6 m. (18)解: (Ⅰ)频率分布直方图如下:
频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01

…12 分

0

50

60

70

80

90 得分

估计企业所获资金支持的均值为 - 0×3+1×8+3×6+6×3=2.2(千万元) x= . …4 分 20 (Ⅱ)记企业 X 选择收购 Y 为(X,Y),其中 X 为 A、B 中的一个,Y 为 a、b 中的一个. 根据题意,有以下情形: (A,a),(B,a); (A,a),(B,b); (A,b),(B,a); (A,b),(B,b). 2 1 所求概率 P= 4 = 2 . …12 分 (19)解: (Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD, P ∴PA⊥BC, 又 AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面 PAB, ∵BC?平面 PBC, ∴平面 PBC⊥平面 PAB. …4 分 2 2 (Ⅱ)连结 AC,则 AC= AB +BC = 5,AD= BC2+(AB-CD)2= 2, B A 设 PA=a(a>0) ,则 2 2 2 PC= PA +AC = a +5, C D 2 2 2 PD= PA +AD = a +2, 由余弦定理, PD2+CD2-PC2 1 1 cos ∠PDC= =- 2 =- 2 , …9 分 2PD· CD a +2 解得 a= 2. 故四棱锥 P—ABCD 的体积 1 1 2 V= 3 ·2 (AB+CD)· PA= 2 . BC· (20)解: (Ⅰ)对 y=x2 求导,得 y?=2x. 设点 P (x0,x2)(x0≠0),则直线 l 方程为 y-x2=2x0(x-x0), 0 0

…12 分

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x0 在 l 方程中分别令 y=0,x=0,得 A 2 ,0 、B (0,-x2). 0 x0 1 → 1 MB 设 M (x,y),AM = 2 →即 x- 2 ,y = 2 (-x,-x2-y),由此得 0 2 x0=3x,x0=-3y, 消去 x0,得曲线 D 的方程为 y=-3x2(x≠0). 1 (Ⅱ)依题意,直线 PE 方程为 y-x2=-2x (x-x0), 0 0 1 2 令 x=0,得 E 0,x0+ 2 . 1 x2 0 由|PE|=|PA|,得 x2+ 4 = 4 +x4, 0 0 1 解得 x2=1,或 x2=- 4 (舍去). 0 0

(

( )

)

…3 分

…6 分

(

)

…9 分

3 5 于是所求圆的圆心为 E 0, 2 ,半径 r=|PE|= 2 , 3 2 5 圆的方程为 x2+ y- 2 = 4 .

(

( )

)

…12 分

(21)解: (x-1)2 (Ⅰ)f ?(x)= ≥0, x(x+1)2 所以 f (x)在(0,+∞)单调递增. (x+1)ln x x+1 2(x-1) (Ⅱ)原不等式就是 -2>0,即 ln x- >0, x-1 x-1 x+1 x+1 也就是 · (x)>0. f x-1 由(Ⅰ) (x)在(0,+∞)单调递增,且 f (1)=0, ,f 当 x∈(0,1)时,f (x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f (x)>0; x+1 x+1 又当 x∈(0,1)时, <0;当 x∈(1,+∞)时, >0. x-1 x-1 (x+1)ln x 所以当 x>0,且 x≠1 时, -2>0, x-1 (x+1)ln x 因此 >2. x-1 (22)解: (Ⅰ)∵BD 是直径,∴∠DEB=90?, BE BC 4 24 ∴BD=AB= 5 ,∵BD=6,∴BE= 5 , 18 在 Rt△ BDE 中,DE= BD2-BE2= 5 .
A

…3 分 …5 分

[

]

…7 分 …10 分

…12 分

…5 分

E F

C

D

O

B

(Ⅱ)连结 OE,∵EF 为切线,∴∠OEF=90?,
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∴∠AEF+∠OEB=90?, 又∵∠C=90?,∴∠A+∠B=90?,又∵OE=OB,∴∠OEB=∠B, ∴∠AEF=∠A,∴AF=EF. …10 分 (23)解: (Ⅰ)在 ρ=2(cos θ+sin θ)中,两边同乘以 ρ, 得 ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ), 则 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2. …4 分 (Ⅱ)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,得 t2-t-1=0, 点 E 对应的参数 t=0,设点 A、B 对应的参数分别为 t1、t2,则 t1+t2=1,t1t2=-1, |EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1t2= 5. …10 分 (24)解: ?7-2x,x<3, ? 3≤x≤4, (Ⅰ)f (x)=|x-3|+|x-4|=?1, …2 分 ? ?2x-7,x>1. 5 9 作函数 y=f (x)的图象,它与直线 y=2 交点的横坐标为 2 和 2 ,由图象知 5 9 不等式 f (x)≤2 的解集为 2 , 2 . …5 分

[

]

y a=-2 y=2 y=f (x) y=ax-1 1 a= 2 y=ax-1 O -1 5 3 4 9 2 2 x

(Ⅱ)函数 y=ax-1 的图象是过点(0,-1)的直线. 当且仅当函数 y=f (x)与直线 y=ax-1 有公共点时,存在题设的 x. 1 由图象知,a 取值范围为(-∞,-2)∪ 2 ,+∞ .

[

)

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