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2、1-2独立性检验的基本思想及其初步应用



1. 2 独立性检验的基本思想及其初步应用
一、选择题 1.假设有两个分类变量 X 与 Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其 2×2 列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d )

以下各组数据中,对于同一样本能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为( A.a=5,b=4,c=3,d=2 B.a=5,b=3,c=4,d=2 C.a=2,b=3,c=4,d=5 D.a=2,b=3,c=5,d=4 [答案] D n(ad-bc)2 [解析] 可以由公式 K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 分别计算 K2 的观测值 k 的值,用 k 的大小来决定 X 与 Y 有关系的可能性的大小. 2.在判断两个分类变量是否有关系的常用的方法中,最为精确的方法是( A.通过三维柱形图判断 B.通过二维条形图判断 C.通过等高条形图判断 D.以上都不对 [答案] D [解析] 最为精确的方法是利用随机变量 K2 进行独立性检验. )

3.某卫生机构对 366 人进行健康体检,阳性家族史者糖尿病发病的有 16 人,不发病的 有 93 人;阴性家族史者糖尿病发病的有 17 人,不发病的有 240 人,有______的把握认为糖 尿病患者与遗传有关系.( A.99.9% C.99% [答案] D [解析] 可以先作出如下列联表(单位:人): 糖尿病患者与遗传列联表 糖尿病发病 糖尿病不发病 总计 ) B.99.5% D.97.5%

阳性家族史 阴性家族史 总计

16 17 33

93 240 333

109 257 366

根据列联表中的数据,得到 K2 的观测值为 366×(16×240-17×93)2 k= ≈6.067>5.024. 109×257×33×333 故我们有 97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系. 4.下列关于 K2 的说法中正确的是( )

A.K2 在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关 B.K2 的值越大,两个事件的相关性就越大 C.K2 是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量,只对于两个分类变量适合 D.K2 的观测值 k 的计算公式为 k= [答案] C [解析] K2 值是用来判断两个分类变量是否有关系的一个随机变量, 并不是适应于任何 独立问题的相关性检验. 5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是( ) n(ad-bc) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

A.若 K2 的观测值为 k=6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病 B.从独立性检验可知,有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟, 那么他有 99%的可能患有肺病 C.若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的可能性使 得推判出现错误 D.以上三种说法都不正确 [答案] C [解析] 通过 k2 的观测值对两个变量之间的关系作出的判断是一种概率性的描述, 是一 种统计上的数据,不能把这种推断结果具体到某一个个体上. 6.为调查中学生近视情况,某校男生 150 名中有 80 名近视,女生 140 名中有 70 名近 视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( A.期望与方差 B.排列与组合 C.独立性检验 D.概率 [答案] C )

7.某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表: 认为作业多 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总数 18 8 26 认为作业不多 9 15 24 总数 27 23 50 )

则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为( A.99% C.90% [答案] B 50×(18×15-8×9)2 [解析] 由表中数据得 k= 26×24×27×23 ≈5.059>3.841. 所以约有 95%的把握认为两变量之间有关系. B.95% D.无充分依据

8.在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度 的乘积相差越大,两个变量有关系的可能性就( A.越大 C.无法判断 [答案] A 9.某调查机构调查教师工作压力大小的情况,部分数据如表: 喜欢教师职业 认为工作压力大 认为工作压力不大 总计 53 12 65 不喜欢教师职业 34 1 35 总计 87 13 100 ) B.越小 D.以上都不对 )

则推断“工作压力大与不喜欢教师职业有关系”,这种推断犯错误的概率不超过( A.0.01 C.0.10 [答案] B [解析] K2= n(ad-bc)2 (a+b)(a+c)(c+d)(d+b) B.0.05 D.0.005

100(53×1-12×34)2 = 87×13×65×35 ≈4.9>3.841, 因此,在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为工作压力大与不喜欢教师职业有关 系. 10.在一次独立性检验中,根据计算结果,认为 A 与 B 无关的可能性不足 1%,那么

K2 一个可能取值为( A.6.635 C.7.897 [答案] A 二、填空题

) B.5.024 D.3.841

11.统计推断,当________时,有 95%的把握认为事件 A 与 B 有关;当________时, 认为没有充分的证据显示事件 A 与 B 是有关的. [答案] K2>3.84,K2≤2.706 12. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况, 具体数据如下 表: 专业 性别 男 女 非统计专业 13 7 统计专业 10 20

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到 50×(13×20-10×7)2 K2= ≈4.844, 23×27×20×30 因为 K2≥3.841,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为 ________. [答案] 5% [解析] ∵k>3.841, 所以有 95%的把握认为主修统计专业与性别有关, 出错的可能性为 5%. 13.为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了 339 名 50 岁以下的人,调查结果 如下表: 患慢性气管炎 吸烟 不吸烟 合计 43 13 56 未患慢性气管炎 162 121 283 合计 205 134 339

根据列表数据,求得 K2 的观测值 k=________. [答案] 7.469 14.调查者通过随机询问 72 名男女中学生喜欢文科还是理科,得到如下列联表(单位: 名) 性别与喜欢文科还是理科列联表 喜欢文科 喜欢理科 总计

男生 女生 总计

8 20 28

28 16 44

36 36 72

中学生的性别和喜欢文科还是理科________关系.(填“有”或“没有”) [答案] 有 72×(16×8-28×20)2 [解析] 通过计算 K2 的观测值 k= ≈8.42>7.879.故我们有 99.5%的 36×36×44×28 把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系. 三、解答题 15.对某校小学生进行心理障碍测试,得到如下列联表(单位:名): 性别与心理障碍列联表 焦虑 女生 男生 总计 5 20 25 说谎 10 10 20 懒惰 15 50 65 总计 30 80 110

试说明三种心理障碍分别与性别的关系如何.(我们规定:如果随机变量 K2 的观测值 k<2.706,就认为没有充分的证据显示“两个分类变量有关系”) [解析] 对三种心理障碍焦虑、说谎、懒惰分别构造三个随机变量 K2,K2,K2,由题中 1 2 3 数据可得: 110×(5×60-25×20)2 2 K1的观测值 k1= ≈0.8627<2.706, 30×80×25×85
2 K2的观测值为

110×(10×70-20×10)2 k2= 30×80×20×90

≈6.366>5.024, 110×(15×30-15×50)2 2 K3的观测值为 k3= 30×80×65×45 ≈1.410<2.706. 所以样本数据没有充分的证据显示焦虑与性别有关, 97.5%的把握认为说谎与性别有 有 关,样本数据没有充分的证据显示懒惰与性别有关. 16. 某地区有关部门调查该地区的一种传染病与饮用不干净水的关系, 得到如下列联表 (单位:人): 传染病与饮用不干净水列联表 得病 干净水 52 不得病 466 总计 518

不干净水 总计

94 146

218 684

312 830

根据数据作出统计分析推断.(有关临界值请查阅教材第 16 页表 1-12) [解析] ≈54.21, 因为 54.21>10.828,所以我们有 99.9%的把握认为该地区的这种传染病与饮用不干净水 是有关的. [点评] 对数据作统计分析推断实质上是让我们来判断得这种传染病是否与饮用不干 由已知列联表中数据计算得 K2 的观测值为 k= 830×(52×218-94×466)2 518×312×146×684

净的水有关系,即根据数据求 K2 的观测值,再利用其与临界值的大小关系来判断. 17.为了研究性格与血型的关系,抽取 80 名被试者,他们的血型与性格汇总如下,试 判断性格与血型是否相关. 血型性格 A型 B型 总计 O 型或 A 型 18 17 35 B 型或 AB 型 16 29 45 总计 34 46 80

[解析] 由列联表中的数据得到: 80×(18×19-16×17)2 K2= ≈2.030≤2.706. 35×45×34×46 认为没有充分的证据显示“血型与性格有关系”. 18. 打鼾不仅影响别人休息, 而且可能与患某种疾病有关. 下表是一次调查所得的数据, 试问:每一晚都打鼾与患心脏病有关吗? 患心脏病 每一晚都打鼾 不打鼾 合计 30 24 54 未患心脏病 224 1355 1579 合计 254 1379 1633

[解析] 假设每一晚都打鼾与患心脏病无关系,则有 a=30,b=224,c=24,d=1355, a+b=254,c+d=1379,a+c=54,b+d=1579,n=1633. ∴K2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

1633×(30×1355-224×24)2 = =68.033. 254×1379×54×1579 ∵68.033>10.828. ∴有 99%的把握说每一晚都打鼾与患心脏病有关.



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