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类比推理1


§2.1.1 类比推理

1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇. 3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征; 1)饶轴自转的行星; 有大气层,; 2)火星也绕太阳在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存,等等.

科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
4)利用平面向量的基本定理类比得到空间向量 的基本定理.

这种由两类对象具有某些类似特征和 其中一类对象的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理称为类比推 理.(简称;类比) 类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发 现的功能.

在数学中,我们可以由已经解决的问 题和已经获得的知识出发,通过类比 提出新问题和作出新发现。 数学家波利亚曾指出:“类比是一个伟大的
领路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几 何中的类比问题”

开普勒说:“我珍视类比胜过任何别的 东西,它是我最可信赖的老师,它能揭 示自然界的秘密。”

例1:类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想.
A B

c2=a2+b2
c

a


s1 o s2 s3

b



B

C

2 2 2 2 S =S +S +S 猜想: △ABC △AOB △AOC △BOC

例3:(2005年全国)计算机中常用的十六进 位制是逢16进1的计算制,采用数字09和字母A-F共16个计数符号,这些符 号与十进制的数的对应关系如下表;
十六进位 十进位

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

十六进位
十进位

8 8





10


11


12


13


14


15

例如用16进位制表示E+D=1B,则 A×B=( A )

A.6E B.72 C.5F D.0B

例4:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 ②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 一个特例,推广的命题为 设圆的方程为①
(x-a)2+(y-b)2=r2 与 ②(x-c)2+(y-d)2=r2(a≠c或
b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴

方程.

我们把上面所进行的推理过程概括为
从具体问题出发
观察、分析、 比较、联想

归纳、类比

提出猜想

合情推理
?

归纳推理和类比推理都是根据已有的实 事,经过观察、分析、比较、联想,再进 行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我 们把它们统称为合情推理。
通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推 理。数学研究中得到一个新结论之前,合情 推理常常能够帮助我们猜测和发现结论;证 明一个数学结论之前,合情推理常常能为我 们提供证明的思路和方向。

利用圆的性质类比得出求的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦

球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3

与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2

作业:P93-94
A组

5. B组

1.


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