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2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和课件 文



第五章 数



第二节

等差数列及其前n项和

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1.理解等差数列的概念;2.掌握等差数列的通项公式与前n

项和公

式;3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知
识解决相应的问题;4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.等差数列的有关概念
差 (1)定义:如果一个数列从_________ 第二项 起,每一项与它的前一项的____ 都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。符号表示为 an+1-an=d ___________________ (n∈N ,d为常数)。


(2) 等 差 中 项 : 数 列 a , A , b 成 等 差 数 列 的 充 要 条 件 是 A = a+b 等差中项 ______________ ,其中 A 叫做 a,b 的______________ 。 2

2.等差数列的有关公式

a1+(n-1)d (1)通项公式:an=_________________ 。 n?n-1? ?a1+an?n na1+ d= (2)前 n 项和公式:Sn=________________________ 。 2 2

3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+
ak+al=am+an ___________________ 。

(n-m)

d,(n,m∈N+)。

(2) 若 {an} 为等差 数列, 且 k + l = m + n , (k , l , m , n ∈ N + ) ,则

(3)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N+),
md 是公差为_________ 的等差数列。 S3m-S2m (4)数列 Sm,S2m-Sm,___________ ,?也是等差数列。

4.等差数列的增减性与最值
公差d>0时为递_______ 增 数列,且当a1<0时,前n项和Sn有最______ 小 值; 公差d<0时为递________ 减 数列,且当a1>0时,前n项和Sn有最_____ 大 值。

基 础 自 测
(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个 数列是等差数列。( × ) 解析 错误。从第2项起,每一项与前一项的差都是同一个常数。 (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an +2。( √ ) 解析 正确。 (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的。( √ ) 解析 正确。当 d>0 时,是单调递增数列;当 d<0 时,是单调递减数 列;当d=0时,是常数列。

(4) 数列 {an} 为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数。 ( × ) 解析 错误。常数列也是等差数列。 (5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数。( × ) 解析 错误。常数列也是等差数列,其前n项和为Sn=na1。

[练一练] 1.在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=( A.12 C.16
解析

)

B.14 D.18
∵a2=2,a3=4,∴公差 d=a3-a2=2。

∴a10=a2+8d=2+2×8=18。 答案 D

2.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( A .5 B.8

)

C.10

D.14

解析 解法一:由等差数列的性质,可知 a1+a7=a3+a5,故 a7=(a3 +a5)-a1=10-2=8。故选 B。 解法二:设等差数列{an}的公差为 d,
?a1=2, 则? 解之得 d=1, ?2a1+6d=10,

故 a7=a1+6d=2+6×1=8。 答案 B

3.(2015· 课标全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的 前 n 项和。若 S8=4S4,则 a10=( A. 17 2 19 B. 2 D.12 )

C.10

8?a1+a8? 4×4?a1+a4? 解析 ∵公差 d=1,S8=4S4,∴ = , 2 2 1 即 2a1+7d=4a1+6d,解得 a1= 。 2 1 19 ∴a10=a1+9d= +9= 。 2 2 答案 B

4.(2016·宜春模拟)已知数列{an}的通项公式为an=3n-2(n∈N+),则
a3+a6+a9+a12+a15=( A.120 ) B.125

C.130
解析

D.135
{an}为等差数列,a3,a6??是首项为 7,公差为 9 的等差数

5×4 列,所以 a3+a6+a9+a12+a15=5×7+ ×9=125。故选 B。 2 答案 B

8 5 .若等差数列 {an} 满足 a7 + a8 + a9>0 , a7 + a10<0 ,则当 n = ________ 时,{an}的前n项和最大。 解析 由等差数列的性质可得 a7+a8+ a9=3a8>0,即a8>0;而a7+a10 =a8+a9<0,故a9<0。所以数列{an}的前8项和最大。

R

热点命题

深度剖析

考点一 等差数列的基本运算
【例1】 于( ) A .8 C.12 B.10 D.14 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等

3×?3-1? 3 ×2 【解析】 (1)因为 S3=3a1+ d=3×2+ d=12,所以 d 2 2 =2。所以 a6=a1+(6-1)d=2+5×2=12。 【答案】 C

(2)(2015·浙江卷)已知{an}是等差数列,公差d不为零。若a2,a3,a7成 2 -1 。 等比数列,且2a1+a2=1,则a1=________ ,d=________ 3
【解析】
?a2 a7, 3=a2· ? 由题意得 ?2a1+a2=1,

??a1+2d?2=?a1+d?· ?a1+6d?, 即? ?2a1+a1+d=1,

2 ? ?a1=3, 解得? ? ?d=-1。

【规律方法】
题的思想。

(1) 等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量

a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程组解决问

(2)数列的通项公式和前 n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而
a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。

变式训练 1 A .3 C.5

(1) 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,若 Sm - 1 =- 2 , Sm = ) B.4 D.6

0,Sm+1=3,则m=(

解析 解法一:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, ∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3。∴d=am
+1

-am=3-2=1。 m? m- 1 ? m- 1 ∵Sm=ma1+ ×1=0,∴a1=- 。 2 2 m- 1 又∵am+1=a1+m×1=3,∴- +m=3。 2 ∴m=5。故选 C。

解法二:∵数列{an}为等差数列,且前 n 项和为 Sn, S ∴数列 n 也为等差数列。 Sm-1 Sm+1 2Sm -2 3 ∴ + = ,即 + =0,解得 m=5。经检验为原 m- 1 m+ 1 m m - 1 m+ 1 方程的解。故选 C。
? ? ? n? ? ? ? ? ? ?

m?a1+am? 解法三:由题意,知 Sm= =0, 2 ∴a1=-am=-(Sm-Sm- 1)=-2。 ∴am= 2,a1=-2。 又 am+1=Sm+ 1-Sm=3, ∴公差 d=am+ 1-am=1。 ∴3=am+ 1=a1+md=-2+m,∴m=5。 答案 C

(2)(2015·河南六市一联)在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0,若

ak=a1+a2+a3+?+a7,则k=(
A.22 C.24
解析

)
B.23 D.25

利用等差数列的通项公式、性质求解。因为数列{an}为等差

数列,所以 ak=a1+a2+?+a7=7a4,则 a1+(k-1)d=7(a1+3d),因为 a1=0,所以(k-1)d=21d,d≠0,解得 k=22,故选 A。 答案 A

考点二 等差数列的性质
【例2】 A.5 (1)(2015·课标全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若 ) C.9 D.11 B.7

a1+a3+a5=3,则S5=(

5?a1+a5? 【解析】 由 a1+a3+a5=3, 得 3a3=3, 解得 a3=1。 故 S5= 2 =5a3=5。 【答案】 A

(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等

于(

)
A.63 C.36
【解析】

B.45 D.27
由{an}是等差数列,得 S3,S6-S3,S9-S6 为等差数列。

即 2(S6-S3)=S3+(S9-S6), 得到 S9-S6=2S6-3S3=45,故选 B。 【答案】 B

S2 014 S2 008 (3)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 若 a1=-2 014, - = 2 014 2 008
2 016 。 6,则 S2 016=________

S 【解析】 由等差数列的性质可得 也为等差数列,设其公差为 d。 n S2 014 S2 008 则 - =6d=6,∴d=1。 2 014 2 008 S2 016 S1 故 = +2 015d=-2 014+2 015=1, 2 016 1 ∴S2 016=1×2 016=2 016。

? ? n? ? ? ? ? ? ? ?

【规律方法】 应用等差数列的性质应注意两点
(1)在等差数列{an}中,若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak是 常用的性质。

(2)掌握等差数列的性质,悉心研究每个性质的使用条件及应用方法,
认真分析项数、序号、项的值的特征,这是解题的突破口。

变式训练2 解析

(1)(2015·广东)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7

=25,则a2+a8=________ 。 10 根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5 =5。又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10。

(2)已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,
所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为( A.10 B.20 )

C.30
解析 10。 答案 A

D.40
设这个数列有2n项,则由等差数列的性质可知:偶数项之和

减去奇数项之和等于 nd ,即 25 - 15 = 2n ,故 2n = 10 ,即数列的项数为

(3) 设数列 {an} , {bn} 都是等差数列,且 a1 = 25 , b1 = 75 , a2 + b2 =
100,则a37+b37等于( A .0 ) B.37

C.100
解析

D.-37
设{an},{bn}的公差分别为d1,d2,则(an+1+bn+1)-(an+bn)

=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,∴{an+bn}为等差数列,又a1+b1= a2+b2=100,∴{an+bn}为常数列,∴a37+b37=100。 答案 C

考点三

等差数列的判断与证明
1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1= ,an=-2SnSn 2

【例 3】
-1

(n≥2)。 1 (1)求证:数列 S 是等差数列;
【解】 证明:当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1, ① ∵S1=a1≠0, 由递推关系知 Sn≠0(n∈N+), 1 1 由①式得 - =2(n≥2)。 Sn Sn-1 ? ? ?1? 1 1 ? ? ∴?S ?是等差数列,其中首项为 = =2,公差为 2。 S1 a1 ? n?
? ? ? ? ? ? ? ? n? ?

(2)求Sn和an。 1 1 1 【解】 = +2(n-1)= +2(n-1)=2n, Sn S1 a1
1 ∴Sn= 。 2n 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=- , 2n?n-1? 1 当 n=1 时,a1=S1= 不适合上式, 2

?1, n=1, ?2 ∴an=? 1 ?-2n?n-1?,n≥2。 ?

【规律方法】 断。

(1) 判断等差数列的解答题,常用定义法和等差中项

法,而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判 (2)用定义证明等差数列时,常采用两个式子an+1-an=d和an-an-1=

d,但它们的意义不同,后者必须加上“n≥2”,否则n=1时,a0无意义。

变式训练 3 a13=34,S3=9。

(2016·南昌模拟 )设等差数列 {an}的前n项和为 Sn,且a5 +

(1)求数列{an}的通项及前n项和公式;

?2a1+16d=34, 设公差为 d,由题意得? ?3a1+3d=9,

解得 a1=1,d=2,故 an=2n-1,Sn=n2。

an ,问:是否存在正整数 t,使得 an+t b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存 在,请说明理由。 2n-1 解 由(1)知 bn= , 2 n -1 + t 要使 b1,b2,bm 成等差数列,必须 2b2=b1+bm, 2 m- 1 3 1 即 2× = + , 3+t 1+t 2m-1+t 4 整理得 m=3+ , t-1 因为 m,t 为正整数,所以 t 只能取 2,3,5。 当 t=2 时,m=7; 当 t=3 时,m=5; 当 t=5 时,m=4。 所以存在正整数 t,使得 b1,b2,bm 成等差数列。 (2)设数列{bn}的通项公式为 bn=

考点四

等差数列前n项和的最值
已知在等差数列 {an}中,a1=31 ,Sn 是它的前 n 项的和,S10

【例 4】 =S22。 (1)求Sn;

【解】 ∵S10=a1+a2+?+a10, S22=a1+a2+?+a22, 又 S10=S22,∴a11+a12+?+a22=0, 12?a11+a22? 即 =0,即 a11+a22=2a1+31d=0。 2 又 a1=31,∴d=-2。 ∴Sn=na1+ n?n-1? d=31n-n(n-1)=32n-n2。 2

(2)这个数列前多少项的和最大?并求出这个最大值。 【解】 解法一:由(1)知,Sn=32n-n2=-(n-16)2+256, ∴当n=16时,Sn有最大值256。
解法二:由(1)知,
?an=31+?n-1?· ?-2?=-2n+33≥0, 令? (n∈N+), ?-2?=-2n+31≤0 ?an+1=31+n·

31 33 解得 ≤n≤ , 2 2 ∵n∈N+,∴n=16 时,Sn 有最大值 256。

【规律方法】 n 项和 Sn 最值的两种方法 【规律方法】求等差数列前 求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法
2 (1)(1) 函数法:利用等差数列前 n 项和的函数表达式 S = an +2bn n 函数法:利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn=an +,通过配 bn,通过配

方或借助图像求二次函数最值的方法求解。需要注意的是 n 的取值范围: n n 方或借助图像求二次函数最值的方法求解。需要注意的是 n 的取值范围: ∈N +。 ∈ N+。 (2)(2) 邻项变号法: 邻项变号法:
?am ≥ 0 , ? a ≥ 0, m ? ①a >0 , d <0 时,满足 的项数 m 使得 Sn 取得最大值为 Sm; 1 ? ①a1>0,d<0 时,满足 的项数 m 使得 S 取得最大值为 Sm; n a ≤ 0 +1 ? m a ≤ 0 + ? m 1 ?am 0 , ?≤ a ≤ 0, m ? ②当 a <0 , d >0 时,满足 的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm。 1 a <0,d>0 时,满足? ②当 的项数 m 使得 S 取得最小值为 Sm。 1 n a ≥ 0 + ? m ?a1m+1≥0

变式训练 4 A .5 C.7

(1)等差数列 {an}的前n 项和为 Sn ,已知a5+ a7 =4,a6+a8 ) B.6 D.8

=-2,则当Sn取最大值时,n的值是(

解析

依题意得 2a6 = 4,2a7 =- 2 , a6 = 2>0 , a7 =- 1<0 ;又数列

{an}是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各 项均为负数,于是当Sn取最大值时,n=6,选B。

答案 B

(2)已知等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和Sn的最大 110 。(n∈N+) 值为________
解析 因为等差数列{an}的首项 a1=20,公差 d=-2,代入求和公式 n?n-1? n?n-1? 得,Sn=na1+ d=20n- ×2 2 2
? 21? ?21? =-n2+21n=-?n- 2 ?2+? 2 ?2, ? ? ? ?

又因为 n∈N+, 所以 n=10 或 n=11 时, Sn 取得最大值, 最大值为 110。

S

思想方法

感悟提升

⊙1个技巧——利用等差数列的性质巧妙设项
若奇数个数成等差数列,可设中间三项为a-d,a,a+d; 若偶数个数成等差数列,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依

据等差数列的定义进行对称设元。
⊙2种思想——方程思想和函数思想 (1) 等差数列的通项公式,前 n 项和公式涉及“五个量”,“知三求

二”,需运用方程思想求解,特别是求a1和d。
(2)等差数列{an}中,an=an+b(a,b为常数),Sn=An2+Bn(A,B为常 数),均是关于“n”的函数,充分运用函数思想,借助函数的图像、性质简

化解题过程。
⊙4种方法——等差数列的判断方法 (1)定义法;(2)等差中项法;(3)通项公式法;(4)前n项和公式法。



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