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初高中数学知识衔接资料



初高中数学衔接读本
数学是一门重要的课程, 其地位不容置疑, 同学们在初中已经学过很多数学 知识,这是远远不够的,而且现有初高中数学知识存在以下“脱节” :
1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多, 而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简

求值都要用到,如解 方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不 等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的 重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究 闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作 要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等 式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。 6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、 下;左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容 视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念(如重心、垂心、外心、内心等)和定理(如平行线分线段比例定 理,射影定理,相交弦定理、角平分线定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。有 鉴于此,特编写该读本,供教学之用,希望认真学习。

目 录
1.1 数与式的运算
1

1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理) 2 .2 二次函数 2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法

1.1 数与式的运算
1.1.1.绝对值
2

绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即

?a, a ? 0, ? | a |? ?0, a ? 0, ??a, a ? 0. ?
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a 和数 b 之间的距离. 例 1 解不等式: x ?1 ? x ? 3 >4. 练 习

1.填空: (1)若 x ? 5 ,则 x=_________;若 x ? ? 4 ,则 x=_________. (2)如果 a ? b ? 5 ,且 a ? ?1 ,则 b=________;若 1 ? c ? 2 ,则 c=________. 2.选择题: 下列叙述正确的是 (A)若 a ? b ,则 a ? b (C)若 a ? b ,则 a ? b 3.化简:|x-5|-|2x-13|(x>5) . ( )

(B)若 a ? b ,则 a ? b (D)若 a ? b ,则 a ? ?b

1.1.2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式

(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ;
3

(2)完全平方公式

(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 .

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 (2)立方差公式 (3)三数和平方公式 (4)两数和立方公式 (5)两数差立方公式

(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2(ab ? bc ? ac) ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 .

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x ? x ? 1)( x ? x ? 1) .
2 2

例 2 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a ? b ? c 的值.
2 2 2





1.填空: (1)

1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) ( 9 4 2 3

) ;

(2) (4m ? (3 )

)2 ? 16m2 ? 4m ? (

);

(a ? 2b ? c)2 ? a2 ? 4b2 ? c2 ? (

).

2.选择题: (1)若 x ?
2

1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于 2 1 2 1 2 2 (A) m (B) m (C) m 4 3
2 2



) (D)

1 2 m 16


(2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值 (A)总是正数 (C)可以是零 (B)总是负数



(D)可以是正数也可以是负数

1.1.3.二次根式
一般地,形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为

4

无理式. 例如 3a ? a2 ? b ? 2b , a 2 ? b2 等是无理式,而 2 x 2 ? 是有理式. 1.分母(子)有理化

2 x ? 1 , x2 ? 2xy ? y2 , a2 等 2

把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化 因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互 为有理化因式, 例如 2 与 2 , 等等. 一 3 a 与 a , 3 ? 6 与 3 ? 6 ,2 3 ? 3 2 与 2 3 ? 3 2 , 般地, a x 与 x , a x ? b y 与 a x ? b y , a x ? b 与 a x ? b 互为有理化因式. 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化 则是分母和分子都乘以分子的有理化因式,化去分子中的根号的过程. 在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式

a b ? ab (a ? 0, b ? 0) ;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行
运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式. 2.二次根式 a2 的意义

a2 ? a ? ?
例1

?a, a ? 0, ?? a, a ? 0.

将下列式子化为最简二次根式: (1) 12b ; (2) a 2b (a ? 0) ;
6 (3) 4 x y ( x ? 0) .

例 2 计算: 3 ? (3 ? 3) .

例 3 试比较下列各组数的大小: (1) 12 ? 11 和 11 ? 10 ; (2)

2 和 2 2- 6 6?4

例 4 化简: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005

例 5 化简: (1) 9 ? 4 5 ;

(2) x ?
2

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

5

例 6 已知 x ?

3? 2 3? 2 ,求 3x2 ? 5xy ? 3 y 2 的值 . ,y? 3? 2 3? 2





1.填空: (1)

1? 3 =__ 1? 3

___; ___;

2 (2)若 (5 ? x)( x ? 3) ? ( x ? 3) 5 ? x ,则 x 的取值范围是_ _

(3) 4 24 ? 6 54 ? 3 96 ? 2 150 ? __ (4)若 x ? 2.选择题: 等式

___; __.

5 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1 ,则 ? ? ______ 2 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1

x ? x?2

x x?2

成立的条件是 (B) x ? 0 (C) x ? 2





(A) x ? 2 3.若 b ?

(D) 0 ? x ? 2

a2 ?1 ? 1 ? a2 ,求 a ? b 的值. a ?1
5- 4(填“>”,或“<”) .

4.比较大小:2- 3

1.1.4 分式
6

1.分式的意义 形如

A A A 的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称 为分式.当 M≠0 时,分式 具有下列性质: B B B A A?M ? . 上述性质被称为分式的基本性质. B B?M

A A? M ? ; B B?M
2.繁分式

a m?n? p 像 b , 这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 2m c?d n? p
例1 若

5x ? 4 A B ,求常数 A, B 的值. ? ? x( x ? 2) x x ? 2

例 2 (1)试证:

1 1 1 ? ? (其中 n 是正整数) ; n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 ? ?? ? ; 1? 2 2 ? 3 9 ?10

(2)计算:

(3)证明:对任意大于 1 的正整数 n, 有

1 1 1 1 ? ?? ? ? . 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 2

例 3 设e ? 练 习

c ,且 e>1,2c2-5ac+2a2=0,求 e 的值. a

1.填空题: 对任意的正整数 n, 2.选择题: 若

1 ? n(n ? 2)

(

1 1 ? ); n n?2

2x ? y 2 x ? ,则 ( x? y 3 y
2 2

) (A)1

(B)

5 4

(C)

4 5

(D)

6 5

3.正数 x, y 满足 x ? y ? 2 xy ,求

x? y 的值. x? y

4.计算

1 1 1 1 ? ? ? ... ? . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100

习题 1.1
7

A 组
1.解不等式: (1) x ? 1 ? 3 ; (3) x ?1 ? x ?1 ? 6 . 2.已知 x ? y ? 1,求 x3 ? y3 ? 3xy 的值. 3.填空: (1) (2 ? 3)18 (2 ? 3)19 =________; (2)若 (1 ? a ) 2 ? (1 ? a) 2 ? 2 ,则 a 的取值范围是________; (3)
1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ________. 1? 2 2? 3 3? 4 4? 5 5? 6

(2) x ? 3 ? x ? 2 ? 7 ;

B 组
1.选择题: (1)若 ? a ? b ? 2 ab ? ?b ? ? a ,则
(A) a ? b (B) a ? b (C) a ? b ? 0 ( (D) b ? a ? 0 ( (B) a (C) ? ?a (D) ? a ) )

(2)计算 a ?
(A) ?a

1 等于 a

2.填空: (1) a ?
1 1 3a 2 ? ab ? ____ , b ? ,则 2 2 3 3a ? 5ab ? 2b 2
2 2

____;

x 2 ? 3xy ? y 2 (2)若 x ? xy ? 2 y ? 0 ,则 ? __ x2 ? y 2

__;

y y 1 1 3.已知: x ? , y ? ,求 的值. ? 2 3 x? y x? y
4.解方程 2( x 2 ? 5.计算:
1 1 ) ? 3( x ? ) ? 1 ? 0 . 2 x x

1 1 1 1 ? ? ?? ? . 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 9 ?11

1.2

分解因式
8

因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及 待定系数法. 1.十字相乘法 例 1 分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ; 2.提取公因式法与分组分解法 例 2 分解因式: (1) x ? 9 ? 3x ? 3x ;
3 2

(2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

(2) 2 x2 ? xy ? y 2 ? 4 x ? 5 y ? 6 .

3.关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解. 若关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、 x2 ,则二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就
2

可分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) . 例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1) x ? 2 x ? 1;
2

(2) x ? 4 xy ? 4 y .
2 2



习 1.选择题: 多项式 2 x2 ? xy ?15 y 2 的一个因式为 (A) 2 x ? 5 y (B) x ? 3 y (C) x ? 3 y ( (D) x ? 5 y )

2.分解因式: (1) x2+6x+8; (2) 8a3-b3; (3) x2-2x-1; 习题 1.2 1.分解因式: (1) a ? 1 ;
3

(4)4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) .

(2) 4 x ? 13x ? 9 ;
4 2

(3) b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ;
2 2

(4) 3x ? 5xy ? 2 y ? x ? 9 y ? 4 .
2 2

2.在实数范围内因式分解: (1) x ? 5 x ? 3 ;
2

(2) x ? 2 2 x ? 3 ;
2

9

(3) 3x2 ? 4 xy ? y 2 ;
2 2 2

(4) ( x2 ? 2x)2 ? 7( x2 ? 2x) ? 12 .

3. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状.

4.分解因式:x2+x-(a2-a).

2.1

一元二次方程

2.1.1 根的判别式
我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变形为

(x ?

b 2 b 2 ? 4ac ) ? . 2a 4a 2

① 因为 a≠0,所以,4a2>0.于是

(1) 当 b2-4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根 x1,2=

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

(2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根 x1=x2=- (3)当 b2-4ac<0 时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 ( x ? 原方程没有实数根.

b 2 ) 一定大于或等于零,因此, 2a

由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定,我们把 b2-4ac 叫 做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有 (1) 当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根 x1,2=

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

(2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=-

(3)当 Δ<0 时,方程没有实数根. 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实数根,写出方程的实数根. (1)x2-3x+3=0; (3) x2-ax+(a-1)=0; (2)x2-ax-1=0; (4)x2-2x+a=0.

2.1.2

根与系数的关系(韦达定理)
10

若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , x1 ? 2a 2a
则有

x1 ? x2 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b ? ? ?? ; 2a 2a 2a a

2 ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac b 2? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2 2a 2a 4a 4a a

所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ? 韦达定理. 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1· x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1· x2,

b c ,x1· x2= .这一关系也被称为 a a

所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x2+px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0.因此有 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0. 例 2 已知方程 5 x
2

? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.

例3

已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根, 并且这两个实数根的平方和比两个

根的积大 21,求 m 的值.

说明: (1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围,然后再由 “两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值,取满足条件的 m 的值即可. (2)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式 Δ 是否大于或大于 零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.

例 4 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数.

例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根.
11

(1)求| x1-x2|的值; (2)求

1 1 ? 2 的值; 2 x1 x2

(3)x13+x23. 说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题, 为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则

x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a
?b ? b2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac ? ? 2a 2a 2a

∴| x1-x2|=

?

b2 ? 4ac ? . ? |a| |a|

于是有下面的结论: 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则| x1-x2|=

? (其中 Δ=b2-4ac) . |a|

今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论. 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取值范围.

练 习 1.选择题: (1)方程 x ? 2 3kx ? 3k ? 0 的根的情况是
2 2

( (B)有两个不相等的实数根 (D)没有实数根



(A)有一个实数根 (C)有两个相等的实数根

( 2 )若关 于 x 的方 程 mx2 + (2m + 1)x + m = 0 有两 个不相等 的实数根,则 实 数 m 的取值范围 是 ( ) (A)m<

1 4 1 ,且 m≠0 4

(B)m>-

1 4 1 ,且 m≠0 4

(C)m< 2.填空:

(D)m>-

(1)若方程 x2-3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则
12

1 1 ? = x1 x2



(2)方程 mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是 (3)以-3 和 1 为根的一元二次方程是

. .

3.已知 a 2 ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ,当 k 取何值时,方程 kx2+ax+b=0 有两个不相等的实数根? 4.已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)( x2-3)的值. 习题 2.1 A 组 1.选择题: (1)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (2)下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ? (B)3 (C)-2 (D)2 )

7 ; 3
( )

④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 ) (D)0,或-1

(D)4 个(3)关于 x 的一元二次方

程 ax2-5x+a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( (A)0 2.填空: (1)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= (2)方程 2x2-x-4=0 的两根为 α,β,则 α2+β2= (B)1 (C)-1

. .

(3)已知关于 x 的方程 x2-ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 . (4)方程 2x2+2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= .

3.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实数根?有两个 相等的实数根?没有实数根?

4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数.

B 组 1.选择题: (1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两根,则这个直角三角形的斜边长 等于 ( ) (A) 3
13

(B)3

(C)6

(D)9

(2)若 x1,x2 是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则

x1 x2 ? 的值为 x2 x1





(A)6

(B)4

(C)3

(D)

3 2

( 3 ) 如 果 关 于 x 的 方 程 x2 - 2(1 - m)x + m2 = 0 有 两 实 数 根 α , β , 则 α + β 的 取 值 范 围 为 ( ) (A)α+β≥

1 2

(B)α+β≤

1 2

(C)α+β≥1

(D)α+β≤1

( 4 ) 已 知 a , b , c 是 ΔABC 的 三 边 长 , 那 么 方 程 cx2 + (a + b)x + ( ) (A)没有实数根 (C)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根 (D)有两个异号实数根

c =0 的根的情况是 4

(5)若关于 x 的方程 x2+(k2-1) x+k+1=0 的两根互为相反数,则 k 的值为 ( (A)1,或-1 2.填空: (1)若 m,n 是方程 x2+2005x-1=0 的两个实数根,则 m2n+mn2-mn 的值等于 (B)1 (C)-1 (D)0



. .

(2)如果 a,b 是方程 x +x-1=0 的两个实数根,那么代数式 a +a b+ab +b 的值是 3.已知关于 x 的方程 x -kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围. 4.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1 和 x2.求: (1)| x1-x2|和 (2)x13+x23. 5.关于 x 的方程 x2+4x+m=0 的两根为 x1,x2 满足| x1-x2|=2,求实数 m 的值. 6. 已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根. (1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=- (2)求使
2

2

3

2

2

3

x1 ? x2 ; 2

3 成立?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由; 2

x1 x2 ? -2 的值为整数的实数 k 的整数值; x2 x1 x1 ,试求 ? 的值. x2

(3)若 k=-2, ? ?

7.若关于 x 的方程 x2+x+a=0 的一个大于 1、另一根小于 1,求实数 a 的取值范围

2.2

二次函数

2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质
14

问题 1 函数 y=ax2 与 y=x2 的图象之间存在怎样的关系? 为了研究这一问题,我们可以先画出 y=2x2,y=

1 2 x ,y=-2x2 的图象,通过这些函数图象与函数 y 2

=x2 的图象之间的关系,推导出函数 y=ax2 与 y=x2 的图象之间所存在的关系. 先画出函数 y=x2,y=2x2 的图象. 先列表: x x2 2x2 … … … -3 9 18 -2 4 8 -1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 4 8 3 9 18 y=2x2 y y=x2 … …

从表中不难看出,要得到 2x2 的值,只要把相应的 x2 的值扩大两倍就可以 了. 再描点、 连线, 就分别得到了函数 y=x2, y=2x2 的图象 (如图 2-1 所示) , 从图 2-1 我们可以得到这两个函数图象之间的关系:函数 y=2x2 的图象可以 由函数 y=x2 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到. 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y=

1 2 x ,y=-2x2 的图象, 2

并研究这两个函数图象与函数 y=x2 的图象之间的关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数 y=ax2(a≠0)的图象可以由 y=x2 的图象各点的纵坐标变为原来 的 a 倍得到.在二次函数 y=ax2(a≠0)中,二次项系数 a 决定了图象的开口方 向和在同一个坐标系中的开口的大小. 问题 2 函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2 的图象之间存在怎样的关系? 同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间 的关系.同学们可以作出函数 y=2(x+1)2+1 与 y=2x2 的图象(如图 2-2 所 示) ,从函数的同学我们不难发现,只要把函数 y=2x2 的图象向左平移一个单 位,再向上平移一个单位,就可以得到函数 y=2(x+1)2+1 的图象.这两个函 数图象之间具有“形状相同,位置不同”的特点. 类似地,还可以通过画函数 y=-3x ,y=-3(x-1) +1 的图象,研究它 们图象之间的相互关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
2 2

O 图 2.2-1

x

y

y=2(x+1)2+1 y=2(x+1)2 y=2x2

-1

O 图 2.2-2

x

二次函数 y=a(x+h)2+k(a≠0)中, a 决定了二次函数图象的开口大小及方向; h 决定了二次函数图象的 左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”. 由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法: 由于 y=ax2+bx+c=a(x2+

b b b2 b2 x )+c=a(x2+ x + 2 )+c- a a 4a 4a
15

= a( x ?

b 2 4ac ? b 2 ) ? 2a 4a

所以, y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax2 的图象作左右平移、 上下平移得到的, 于是, 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: (1)当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 (? =-

b 4ac ? b2 , ) ,对称轴为直线 x 2a 4a

b b b b ; 当 x< ? 时, y 随着 x 的增大而减小; 当 x> ? 时, y 随着 x 的增大而增大; 当 x= ? 时, 2a 2a 2a 2a

函数取最小值 y=

4ac ? b 2 . 4a
2

b 4ac ? b2 , ) ,对称轴为直线 x (2)当 a<0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向下;顶点坐标为 (? 2a 4a
=-

b b b b ; 当 x< ? 时, y 随着 x 的增大而增大; 当 x> ? 时, y 随着 x 的增大而减小; 当 x= ? 时, 2a 2a 2a 2a

函数取最大值 y=

4ac ? b 2 . 4a

上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数 问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. y b 4ac ? b2 y b ( ? , ) A x=- 2a 4a

2a

O A (?

x

O x=- 图 2.2-4

x

A(-1,4)

y

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

b 2a

图 2.2-3

例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、 最大值(或最小值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并 画出该函数的图象. C O x=-1

D(0,1)

B

x

图 2.2-5

例 2 把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y=x2 的图 像,求 b,c 的值.

16

例 3 已知函数 y=x2,-2≤x≤a,其中 a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最 小值时所对应的自变量 x 的值.

说明:在本例中,利用了分类讨论的方法,对 a 的所有可能情形进行讨论.此外,本例中所研究的二 次函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类问题时,通常需要借助 于函数图象来直观地解决问题. 练 习 1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 (A)y=2x2 (C)y=2x2-1 (2)函数 y=2(x-1)2+2 是将函数 y=2x2 (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.填空题 (1)二次函数 y=2x2-mx+n 图象的顶点坐标为(1,-2),则 m= (2)已知二次函数 y=x2+(m-2)x-2m,当 m= 函数图象的顶点在 x 轴上;当 m= (3)函数 y=-3(x+2)2+5 的图象的开口向 当 x= 时,函数取最 ,n= . 时, (B)y=2x2-4x+2 (D)y=2x2-4x ( ) ( )

时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m=

时,函数图象经过原点. ,对称轴为 值 y= ;当 x ,顶点坐标为 ;

时,y 随着 x 的增大而减小.

3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况,并画出其图象. (1)y=x2-2x-3; (2)y=1+6 x-x2.

4.已知函数 y=-x2-2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求当函 数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

2.2.2 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式:
17

1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数. 当抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有 ax2+bx+c=0. ①

并且方程①的解就是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标(纵坐标为零) ,于是,不难发现, 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程①的解的个数有关, 而方程①的解的个数又与方程①的根 的判别式 Δ=b2-4ac 有关, 由此可知, 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ=b2-4ac 存在下列关系: (1) 当 Δ>0 时, 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点; 反过来, 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴有两个交点,则 Δ>0 也成立. (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线的顶点) ;反过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ=0 也成立. (3)当 Δ<0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴没有交点,则 Δ<0 也成立. 于是,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2 是方程 ax2+bx+ c=0 的两根,所以 x1+x2= ?

b c ,x1x2= , 即 a a
2

b c =-(x1+x2), =x1x2. a a

所以,y=ax2+bx+c=a( x ?

b c x? ) a a

= a[x2-(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1) (x-x2). 由上面的推导过程可以得到下面结论: 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为 y=a(x -x1) (x-x2) (a≠0). 这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标. 今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这 三种表达形式中的某一形式来解题. 例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1) ,求 二次函数的解析式. 说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函 数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地
18

解决问题. 例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数的表达 式.

例 3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.





1.选择题: (1)函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 ( (D)无法确 ( ) )

1 (2)函数 y=- (x+1)2+2 的顶点坐标是 2 (A)(1,2) 2.填空: (B)(1,-2) (C)(-1,2)

(D)(-1,-2)

( 1 )已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点 ( -1, 0) 和 (2 ,0) ,则该二次函数的解析式可设为 y=a (a≠0) . (2)二次函数 y=-x2+2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于 (0,-2). .

2.2.3 二次函数的简单应用
19

一、函数图象的平移变换与对称变换 1.平移变换
问题 1 图象平移? 我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改 变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置 即可. 例 1 求把二次函数 y=x2-4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式: (1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位; (2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位. x=-1 y 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的

O A1(-3,-1) 2.对称变换 图 2.2-7 问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对 称变换时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这样的特点—— 只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图象的对称变换问题时,关键 是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题. 例 2 求把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式: (1)直线 x=-1; (2)直线 y=1. 二、分段函数 一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数. 例 3 在国内投递外埠平信,每封信不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分, 超过 40g 不超过 60g 付邮资 240 分,依此类推,每封 xg(0<x≤100)的信应付多少邮资(单位:分)?写出 函数表达式,作出函数图象. 分析:由于当自变量 x 在各个不同的范围内时,应付邮资的数量是不同的.所以,可以用分段函数给 出其对应的函数解析式.在解题时,需要注意的是,当 x 在各个小范围内(如 20<x≤40)变化时,它所对 应的函数值(邮资)并不变化(都是 160 分) . 解:设每封信的邮资为 y(单位:分) ,则 y 是 x 的函数.这个函数的解析式为
20

x A(1,-1)

?8 0 , x ? ?1 6 0 x ? ? ? y ? ?2 4 0 , x ? ?3 2 0 x ? ? ? ?4 0 0 , x ?

(0, 20] (20, 40] 940, 80] (60, 80] (80,100]

由上述的函数解析式,可以得到其图象如图 2.2-9 所示. y(分) 400 320 240 160 80 O
20 40 60 80 100

x(克)

图 2.2-9

2.3 方程与不等式
21

2.3.1 二元二次方程组解法
方程 x2 ? 2xy ? y2 ? x ? y ? 6 ? 0 是一个含有两个未知数, 并且含有未知数的项的最高次数 是 2 的整式方程, 这样的方程叫做二元二次方程. 其中 x 2 , 2 xy , y 2 叫做这个方程的二次项, x, y 叫做一次项,6 叫做常数项. 我们看下面的两个方程组:
? x 2 ? 4 y 2 ? x ? 3 y ? 1 ? 0, ? ? 2 x ? y ? 1 ? 0;

? x 2 ? y 2 ? 20, ? ? 2 2 ? ? x ? 5 xy ? 6 y ? 0.

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的, 第二个方程组是由两个 二元二次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组. 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解. 例 1 解方程组

? x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0.

① ②

例2

解方程

? x ? y ? 7, ? ? xy ? 12.

① ②




? x 2 ? y 2 ? 13, ? ?x ? y ? 5

1.下列各组中的值是不是方程组

的解?

? x ? 2, (1) ? ? y ? 3;
2.解下列方程组: (1)

? x ? 3, (2) ? ? y ? 2;

? x ? 1, (3) ? ? y ? 4;

? x ? ?2, (4) ? ? y ? ?3;

? y ? x ? 5, ? 2 2 ? x ? y ? 625;

? x ? y ? 3, (2) ? ? xy ? ?10;
? y 2 ? 2x , ? (4) ? 2 2 ? ? x ? y ? 8.

(3)

? x2 y 2 ? 1, ? ? 4 ?5 ? y ? x ? 3; ?

2.3.2

一元二次不等式解法
22

二次函数 y=x2-x-6 的对应值表与图象如下:

x y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

由对应值表及函数图象(如图 2.3-1)可知 当 x=-2,或 x=3 时,y=0,即 x2-x=6=0; 当 x<-2,或 x>3 时,y>0,即 x2-x-6>0; 当-2<x<3 时,y<0,即 x2-x-6<0. 这就是说,如果抛物线 y= x2-x-6 与 x 轴的交点是(-2,0)与(3,0),那么 一元二次方程 x2-x-6=0 的解就是 x1=-2,x2=3; 同样,结合抛物线与 x 轴的相关位置,可以得到 一元二次不等式 x2-x-6>0 的解是 x<-2,或 x>3; 一元二次不等式 x2-x-6<0 的解是 -2<x<3.

23

上例表明:由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次 不等
y y y

式的 解集.

x1

O x2

x

那么,
O x1= x2 ① ② 图 2.3-2 x O ③ x

怎 样 解 一 元 二

次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)呢?

我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象来解一元二次 不等式 ax2+bx+c>0(a≠0). 为了方便起见,我们先来研究二次项系数 a>0 时的一元二次不等式的解. 我们知道, 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0), 设△=b2-4ac, 它的解的情形按照△>0, △=0, △<0 分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、 有两个相等的实数解和没有实 数解,相应地,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有 公共点(如图 2.3-2 所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax2+ bx+c>0(a>0)与 ax2+bx+c<0(a>0)的解. (1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0), 方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2(x1<x2),由图 2.3-2①可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为 x<x1,或 x>x2; 不等式 ax2+bx+c<0 的解为
24

x1<x<x2. (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有且仅有一个公共点,方程 ax2 b +bx+c=0 有两个相等的实数根 x1=x2=-2a ,由图 2.3-2②可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为 b x≠-2a ; 不等式 ax2+bx+c<0 无解. (3)如果△<0,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴没有公共点,方程 ax2+bx+c=0 没有实数根,由图 2.3-2③可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为一切实数; 不等式 ax2+bx+c<0 无解. 今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接求 解;如果二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系数大 于零的形式,再利用上面的结论去解不等式. 设相应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1 、 x2 且 x1 ? x 2 , ? ? b 2 ? 4ac ,则 三个“二次”之间的关系如下表:
??0 ??0 ??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根
x1 ? x2 ? ? b 2a

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集
ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

25

例3

解不等式: (1)x2+2x-3≤0; (3)4x2+4x+1≥0; (5)-4+x-x2<0. (2)x-x2+6<0; (4)x2-6x+9≤0;

例4

已知不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解是 x ? 2, 或 x ? 3 ,求不等式 bx2 ? ax ? c ? 0 的解.

例5

解关于 x 的一元二次不等式 x2 ? ax ? 1 ? 0(a 为实数).

例6

已知函数 y=x2-2ax+1(a 为常数)在-2≤x≤1 上的最小值为 n,试将 n 用 a 表示出来.





1.解下列不等式: (1)3x2-x-4>0; (3)x2+3x-4>0; (2)x2-x-12≤0; (4)16-8x+x2≤0.

2.解关于 x 的不等式 x2+2x+1-a2≤0(a 为常数) .

习题 2.3 A 组
1.解下列方程组:

? x2 2 ? ? y ? 1, (1) ? 4 ? x ? y ? 2 ? 0; ?
? x 2 ? y 2 ? 4, ? (3) ? 2 2 ? ? x ? y ? 2.

?( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9, (2) ? ? x ? 2 y ? 0;

26

2.解下列不等式: (1)3x2-2x+1<0; (3)2x-x2≥-1; (2)3x2-4<0; (4)4-x2≤0.

B 组
1. m 取什么值时,方程组
? y 2 ? 4 x, ? ? y ? 2x ? m

有一个实数解?并求出这时方程组的解. 2.解关于 x 的不等式 x2-(1+a)x+a<0(a 为常数) . 3.已知关于 x 不等式 2x2+bx-c>0 的解为 x<-1,或 x>3.试解关于 x 的不等式 bx2+cx +4≥0. 4.试求关于 x 的函数 y=-x2+mx+2 在 0≤x≤2 上的最大值 k

27



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